Тема 3

ПЕРЕХОДНЫК ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

В теме 3 рассмотрены причины возникновения переходных процессов (ПП) в линейных электрических цепях, правила (законы) коммутации, начальные условия при решении дифференциальных уравнений, описывающих ПП в линейных цепях. Приведены примеры расчета ПП в цепях первого порядка классическим и операторным методами при их включении под постоянное напряжение.

Установочная лекция 6 (2 ч)

Дидактические единицы:

3.1. Причины и вид кривых переходных процессов.

3.2. Правила (законы) коммутации.

3.3. Описание ПП. Начальные условия.

3.4. Классический метод анализа ПП в цепях первого порядка.

3.5. Операторный метод расчета ПП в цепях первого порядка.

СОДЕРЖАНИЕ

3.1. Причины и вид кривых переходных процессов

Переходным (динамическим) называют процесс изменения токов и напряжений в электрической цепи при её переходе из одного установившегося режима к другому. В установившихся режимах токи и напряжения не изменяют своего характера и определяются только видом действующих в цепи ЭДС Е источников напряжения и токов J источников тока (постоянные, синусоидальные или периодические несинусоидальные).

Причиной, вызывающей начало ПП, является коммутация, под которой понимают подключение цепи (рис. 3.1) или её отключение от внешнего источника электрической энергии e(t) (посредством ключа S₁), либо скачкообразное изменение параметров её элементов (источников энергии E_m, J_m, элементов R, L и C цепи, в т.ч. при их коротком замыкании, например, резистора R₂ посредством замыкания ключа S₂ или при отключении, например, ветви R₃ при размыкании ключа S₃) и т.д. Любые скачкообразные изменения параметров цепи посредством ключей приводят к возникновению ПП или изменению режима её работы.

Реальный процесс коммутации (срабатывания ключа) всегда длится хотя и малое, но конечное время Δt_k. В данной теме будем полагать Δt_k = 0.

В резистивной цепи (рис. 3.2a) при замыкании ключа S (с временем Δt_k = 0) в момент коммутации t = t_k, обычно совмещаемого с началом отсчёта времени t = 0, ток i мгновенно возрастает от нулевого уровня до уровня, равного I₀ (рис. 3.2б), как и потребляемая цепью мощность, в то время как энергия W_R = Pt необратимого преобразования в резисторах электрической энергии в тепловую возрастает линейно во времени (рис. 3.2в).

В цепи, содержащей элементы L и C, способные накапливать энергию, процесс установления новых токов в цепи протекает с запаздыванием по отношению к моменту коммутации t_k. Так, в схеме (рис. 3.3a) при включении дополнительной ветви с резистором R₂ в момент t_k ток i(t), имевший установившееся значение i_1у, возрастает до нового установившегося значения i_2у в течение времени t_пп, называемого временем переходного процесса, по апериодиче­­ско­­­му (1) или колебательному (2) закону (рис. 3.3б). Время переходного процесса t_пп обы­чно не превышает нескольких мили- или микросекунд.

Причиной переходного процесса (в нашем случае установления нового значения тока i_2у) является невозможность мгновенного изменения энергии W, накапливаемой или накопленной в магнитном и электрическом полях элементов L и C; энергия W изменяется пла­вно, обуславливая такое же плавное изменение тока i_L в индуктивной катушке и изменение напряжения u_C на конденсаторе, что обуславливает плавное изменение напряжений (токов) на­­­­­­ дру­­гих ветвях цепи.

Допустим, что энергия W при t = t₁ (рис. 3.3в) изменилась скачком на величину ΔW. Но тогда мощность источника энергии P = dW/dt → ꝏ, что невозможно, так как в природе не существует источников энергии бесконечной мощности; мощность всегда конечна (по значению).

3.2. Правила (законы) коммутации

Первое правило коммутации (1ПК) свойственно ветви с индуктивной катушкой L: т ок протекающий через индуктивную катушку, в момент коммутации не может измениться скачком, т.к. накопленная или накапливаемая энергия магнитного поля катушки, равная не может изменяться скачкообразно.

Ток i_L в первое мгновение после коммутации сохраняет такое же значение, какое было непосредственно перед коммутацией: т.е.

i_L(0₊) = i_L(0₋),

где t = 0_– – мгновение до коммутации; t = 0₊ – мгновение после коммутации. Напряжение u_L на индуктивной катушке может изменяться скачком.

Второе правило коммутации (2ПК) свойственно ветви с конденсатором С:

напряжение на конденсаторе в момент коммутации не может измениться скачком, так как накопленная или накапливаемая энергия электрического поля конденсатора, равная W_С = (Cu_c)²/2 не может изменяться скачкообразно. Напряжение u_C конденсатора в первое мгновение после коммутации сохраняет такое же значение, какое было непосредственно до коммутации:

u_C(0₊) = u_C(0₋).

Ток i_C в ветви с конденсатором может изменяться скачком.