4785

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Задача № 5.

Вычислить объём тела, полученного при вращении

вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

1.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Вариант 15.

Вариант 16.

Вариант 17.

Вариант 18.

Вариант 19.

Вариант 20.

Вариант 21.

Вариант 22.

Вариант 23.

Вариант 24.

Вариант 25.

Задача № 7.

Вариант 1.

Вариант 3.

Вариант 5.

Вариант 7.

Вариант 9.

Вариант 11.

				31
y 1 ln sin x ,						x	.
					3		2
x2 y2 16 .
y 5 ln cos x ,					0 x		.
							6

y 3 ln			x2	1 ,	2 x 3 .
								3	.
y 1 x2			arcsin x,			0 x		3
y 1 x2			arcsin x,			0 x		4
								4
y 2 ln sin x ,						x	.
					3		2
y2 x 1 3 ,				1 x 2 .

y ln	x2	1 , 3			x 4 .
x2 y2 25.
y 7 ln sin x ,						x	.
					3		2

3y2 x 1 3 , 1 x 2 .

Исследовать на сходимость несобственный интеграл.

1 dx

x2 .

1 x2 .

1 dx

0 x .

xe x2 dx .

arctgx dx .

0 1 x2

1		x2dx
			.


0	1 x6

Вариант 2.

Вариант 4.

Вариант 6.

Вариант 8.

Вариант 10.

Вариант 12.

0 dx

4 x2 .

2	dx
	dx
			.
	x2	4	.
0

x2 e x3 dx .

e
ln x dx .
0	x
0
e	dx
	dx
x ln x .
1
1	xdx .
	xdx .
0	1 x2

Вариант 13.

Вариант 15.

Вариант 17.

Вариант 19.

Вариант 21.

Вариант 23.

Вариант 25.

			x2dx
										.
		x3 3							2	.
0		x3 3
			dx
			dx
						.
	4 x2					.
0

			dx	.
			x2	.
1
e			dx
			dx
								.
	x ln2 x							.
1
0			dx
			dx
					.
	9 x2				.

			dx
			dx
							.
	16 x2						.

e ln2 x dx

0 x .

Вариант 14.

Вариант 16.

Вариант 18.

Вариант 20.

Вариант 22.

Вариант 24.

1		xdx
		xdx	.


0	1 x4
		x2dx
					.
	x3 3			3	.
0	x3 3

xex2 dx .

3		dx
		dx
				.
	x2 9			.
0
			e2 xdx
							.
		e2 x 2				3	.
0		e2 x 2

2			xdx
			xdx		.


			4 x4
1			4 x4

Задача № 8. Вычислить приближённо определённый интеграл с помощью формулы прямоугольников, формулы трапеций и формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на n частей. Все вычисления производить с точностью до 0,001.

	8			1
Вариант 1.	4 1 x3 dx, n 8.		Вариант 2.			4 x3 dx, n 10.
	0			0
	9			4
Вариант 3.		16 x2 dx, n 10.	Вариант 4.		4 64 x3 dx, n 8.
	1			4
	2			1
Вариант 5.		4 8 x3 dx, n 8.	Вариант 6.		9 x3 dx, n 10 .
	6			0
	10			5
Вариант 7.		18 x2 dx, n 10.	Вариант 8.		4 27 x3 dx, n 8.

					0										3
Вариант 9.				4		1 x3				dx, n 8 .			Вариант 10.		4 27 x2							dx, n 8 .
				8											5
						0									0
Вариант 11.						4 x2				9 dx, n 8 .			Вариант 12.			4 4 x2					dx, n 10 .
					8										2
					2										1
Вариант 13.							4 8 x3 dx, n 10 .						Вариант 14.					1 x3		dx, n 10 .
					8										9
					4										10
Вариант 15.						4 x2 16 dx, n 10 .							Вариант 16.		4 1 x3 dx, n 10 .
					6										0
					4										7
Вариант 17.								4 x3 dx, n 8.					Вариант 18.			16 x2 dx, n 10 .
					0										3
					4										2
Вариант 19.							4 64 x3				dx, n 10 .		Вариант 20.		4	8 x3			dx, n 10 .
					6										8
					3										1
Вариант 21.									9 x3 dx, n 10 .				Вариант 22.		4	1 x3			dx, n 8 .
Вариант 23.					2										7
Вариант 23.															0
															0
7													Вариант 24.		4		27 x2				dx, n 10.
	4	27 x	3	dx, n 10 .											5
		27 x		dx, n 10 .

3
					6										6
Вариант 25.								18 x2			dx, n 10 .		Вариант .			4 9 x2					dx, n 8
					4										2
		2.3. Образец решения РГР.
		Задача № 1. Найти неопределенные интегралы.

1.		Вычислить интеграл										x5 x x 2		dx .
1.		Вычислить интеграл												dx .
												x

Преобразуем подынтегральную функцию:

x5 x

x 2

x4 x2

x x 2

Тогда

dx = x4 x2

dx = x4dx

1dx

x2 dx 2 x =

2ln

C .

При вычислении использовали свойства неопределённого интеграла:

а)

f1(x) f2 (x) dx f1(x)dx f2 (x)dx ,

б)

Cf (x)dx C f (x)dx ,

и табличные интегралы 1)

и 2).

Вычислить интеграл

x 3 5 x2 dx .

Делаем замену

5 x2 t ,

тогда

2xdx dt и

xdx

dt . Следовательно,

5 x2 t

3 5 x2 4 C .

x 3 5 x2 dx =

t 3 dt

C =

xdx 2 dt

Вычислить интеграл

arctg 2 x

dx .

1 x2

Делаем замену

arctgx t ,

тогда

dt .

1 x2

Следовательно,

arctg 2 x

= t2dt

arctg3 x

C .

1 x2

Вычислить интеграл

xsin 5x dx .

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

udv uv vdu .

x sin(5x)dx

u x

dv sin(5x)dx

cos(5x)dx

du dx

x cos(5x)

cos(5x)

x cos(5x)

sin(5x) C .

5.Вычислить интеграл ln 2x dx .

ln 2x dx =	u ln(2x)			dv dx	xln(2x) x	1	dx xln(2x) x C .

	1

	du		dx	v x		x
		x

																																				35
6.					Вычислить интеграл																										5x 3									dx .

																										3x2 3x 10
																																							5			2x 1					11
						5x 3								=		1					5x 3										dx					1		2				2x 1						2		dx =
						5x 3										1					5x 3															1
										dx
	3x2 3x 10									dx							3		x2 x									10								3						x2 x				10
																			x2 x																							x2 x
																												3														3
		1			5				2x 1						dx					1 11														dx

		3				2		x2 x					10							3			2											1 2			37
								x2 x																										1 2			37
														3													x
																											x										12
																																		2			12
																																	x			1
			5	ln			x2		x		10							11			1				arctg								x			2	C .
			5								10							11			1															2


		6										3				6					37												37

																					12												12

																																	(x)
Воспользовались правилом																													(x) dx ln														(x)		C					и		табличным
интегралом 9).																													(x) dx ln														(x)		C
интегралом 9).
7.					Вычислить интеграл																									7x 15											dx .

																										x3 2x2										3x
а) Знаменатель подынтегральной функции разложим на множители:
x3					2x2 3x x									x2		2x				3				x					x							x 3						.
x3					2x2 3x x									x2		2x				3				x					x				1			x 3						.
б)						подынтегральную функцию представим в виде суммы простейших
дробей:
																7x 15													A							B							C	.
														x3 2x2 3x																														.
														x3 2x2 3x															x						x	3							x 1
Тогда
									7x 15															3												Bx													x
																			A			x		3						x		1				Bx						x 1 Cx							x		3	,
								x3 2x2 3x																									x x 3 x 1																			,

Следовательно,

7x 15 A x 3 x 1 Bx x 1 Cx x 3 .

Определим постоянные А, В и С.

Если	x 0 ,	то	15 3A	и	A 5 ;
если	x 3 ,	то	36 12B		и B 3;
если	x 1,	то	8 4C	и	C 2 .

Тогда

7x 15

x3 2x2 3x

5ln

3ln

x 3

2ln

x 1

C .

x 3

x 1

Задача № 2. Вычислить указанные определённые интегралы.

2dx

1.1 7 3x 3 .

		Пользуясь правилом											f kx b dx														1	F kx b C ,
		Пользуясь правилом											f kx b dx														k	F kx b C ,
																											k
табличным интегралом 1) и формулой Ньютона-Лейбница, получаем:
																					7					3x					2								2
		2		dx					2										1											2	2					1			2
				dx						= 7 3x 3 dx									1																	1
				3x				3		= 7 3x 3 dx																								6 7		3x		2
		1 7		3x					1										3						2						1			6 7		3x			1
									1						1							1				1					1				1		5
																																	1					.
					6 7				3 2		2		6 7		3			1		2						6			2				1					.
					6 7				3 2				6 7		3			1				6				6		4				6		16			32
			4
		2.		x cos 2x dx .								Интегрируя по частям, получаем:
				0
										b						b
										b						b
										udv uv				ba vdu
										udv uv				ba vdu
										a						a
										a						a
4 x cos 2x dx =										u x			dv cos 2xdx										=		x		sin 2x						4		1	4 sin 2xdx
4 x cos 2x dx =										u x			dv cos 2xdx										=				sin 2x									4 sin 2xdx
0																1								2									0		2	0
0							du dx						v				sin 2x																0			0

															2
															2



	4										1						4														1						1
		sin		2					0			cos 2x					4					sin											cos					cos 0
=
=
	2					4					4						0			8						2					4				2		4
	2					4					4						0			8						2					4				2		4

		1	0				1			1				2 .
			0							1				2 .
8	4					4								8
				e
	3.				ln3 x dx								.		Пользуясь		формулой					замены переменной в
	3.												.		Пользуясь		формулой					замены переменной в
			1					x
			1
определённом интеграле и учитывая, что ln1 0																					и ln e 1,получаем:
		e		ln3 x dx										ln x t		1		t4	1	1		0	1


												=		dx		= t3dt								.
												=		dx	dt	= t3dt								.
	1				x											0	4		0	4	4		4
					x									x			4			4	4		4


			12						x
				e4							dx =
	4.			e4					3		dx =
			9
	3 e4					x		12				3 e4 4 e4 3 3 e0 e1 3 1 e 3 e 1 .
						x		12

						3
								9
								9
			При вычислении интеграла воспользовались 3-им правилом
интегрирования и табличным интегралом 4).
	Задача № 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
															y x2 3x 5;				y x 2.

Найдём абсциссы точек пересечения графиков, заданных функций. Для этого объединим уравнения в систему

y x2 3x 5,y x 2.

Решая полученную систему уравнений, получаем:

x1 3;

x2 1.

Рис.1.

После построения графиков заданных функций получим фигуру

(рис.1), ограниченную прямой y x 2 и параболой y x2 3x 5. Площадь фигуры, изображённой на рис.1, вычисляется по формуле:

											b
								S f2 (x) f1(x) dx ,
											a
где			f	2		(x) x 2,	f (x) x2		3x 5, следовательно,
				2			1
		1							1							3				1
																				1

S				x 2 x2 3x 5 dx x2 2x 3 dx											x		x2	3x
S				x 2 x2 3x 5 dx x2 2x 3 dx													x2	3x
	3								3					3						3
	3						( 3)3		3											3
		1					( 3)3			2		1							2
					1 3			( 3)			3 ( 3)		2	9 9				9 10			.
					1 3			( 3)			3 ( 3)		2	9 9				9 10			.
		3					3					3							3

Первое уравнение задаёт гиперболу, а уравнение x 6 задаёт вертикальную прямую. После их построения, получаем фигуру, ограниченную гиперболой и вертикальной прямой.

Рис.2.

Пользуясь формулой для вычисления объёма тела вращения

VOx f 2 (x) dx ,

находим объём тела (рис.2), образованного вращением нашей фигуры вокруг оси Ox :

	6	4		2						4	x3		6	4	63
	6	4		2						4	x3		6	4	63
VOx	3		x		4		dx					4x				4 6
VOx			x		4		dx					4x				4 6
		9								9	3		3	9	3
								3
						4		3	4 3 8 8 16 (куб. ед.)
						9		3	4 3 8 8 16 (куб. ед.)
						9		3

6
	4 9 x2 dx,					n 8.
	2
	Разобьём отрезок интегрирования										[–2;6]	на 8	равных частей с шагом
h	6 ( 2)		1 точками x 2, x						1, x			0,	x 1,		x	2,	x 3,
h			1 точками x 2, x						1, x			0,	x 1,		x	2,	x 3,
8						0		1			2		3		4		5
8
x6 4,		x7 5,			x8 6 .

		Вычислим значения						функции			y 4 9 x2				в	этих	точках:

yi y(xi ), i 0;8.						Запишем результаты вычислений в таблицу:

i		0		1			2	3			4	5		6		7		8

xi		-2		-1			0	1			2	3		4		5		6

yi		1,899		1,778			1,732	1,778		1,899		2,060		2,236		2,415		2,590

Запишем формулы приближённого вычисления интеграла для случая разбиения отрезка интегрирования на 8 частей.

Формулы прямоугольников:

				b			y0					... y7 ,
				y(x) dx h			y0	y1		y2		... y7 ,
				a
				b			y1					... y8 .
				y(x) dx h			y1	y2 y3				... y8 .
				a
Формула трапеций:
		b				y	y
						y	y
		y(x) dx h					0	8	y1 y2 ... y7				.
		y(x) dx h					2		y1 y2 ... y7				.
		a					2
		a
Формула Симпсона:
b		h	y y			2	y y y					4 y y y y .
	y(x) dx	h
	y(x) dx
	3			0	8		2		4		6	1	3	5	7
				0	8		2		4		6	1	3	5	7

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.20211.7 Mб34780.pdf
#
08.01.20211.71 Mб24781.pdf
#
08.01.20211.71 Mб34782.pdf
#
08.01.20211.71 Mб14783.pdf
#
08.01.20211.72 Mб24784.pdf
#
08.01.20211.72 Mб14785.pdf
#
08.01.20211.72 Mб14786.pdf
#
08.01.20211.72 Mб04787.pdf
#
08.01.20211.72 Mб14788.pdf
#
08.01.20211.73 Mб124789.pdf
#
08.01.2021202.53 Кб3479.pdf