4785
.pdf11
Рис.1
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13
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Рис. 2
15
E( y) ( ; ) .
2. РГР № 2 «Интегральное исчисление функции одной переменной»
2.1. Теоретический материал Таблица основных неопределённых интегралов
1. |
x dx |
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x 1 |
C ( 1); |
||||||
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||||||
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1 |
||||||||
2. |
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dx |
ln |
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x |
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C . |
|||||
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|||||||||||
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||||||||||||
|
|
x |
|
|
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||
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|
ax |
|
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|||||
3. |
axdx |
|
|
|
C . |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ln a |
4.exdx ex C .
5.sin xdx cos x C .
6.cos xdx sin x C .
7. |
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dx |
tgx C . |
|
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||||||||||||||||
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||||||||||||||||
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cos2 x |
|
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||||||||||||||||||||||
8. |
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dx |
ctgx C . |
|
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||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||
sin2 x |
|
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||||||||||||||||||||||||
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dx |
|
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1 |
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|
x |
|
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|||||||
9. |
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|
arctg |
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C . |
||||||||||||||||
x2 |
a2 |
a |
a |
||||||||||||||||||||||||||
10. |
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dx |
|
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1 |
ln |
|
x a |
|
C . |
|||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||
x2 |
a2 |
2a |
x a |
||||||||||||||||||||||||||
11. |
|
|
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|
dx |
|
|
|
|
arcsin |
x |
C . |
|||||||||||||||||
|
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a |
||||||||||||||||||||
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a2 x2 |
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|||||||||
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|
dx |
|
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|||||||||
12. |
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|
ln |
x |
|
x2 a2 |
|||||||||||||||||||||
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x2 a2 |
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dx x C .
C .
16
Основные правила интегрирования
1.C f (x)dx C f (x)dx .
2.f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx .
3. |
Если f (x)dx F(x) C , то |
||||||||||
|
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|
f (kx b)dx |
1 |
F (kx b) C . |
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|
k |
||
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4. |
|
f (x)dx |
ln |
|
f (x) |
C . |
|||||
f (x) |
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|||||
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5. |
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f (x)dx |
2 |
|
f (x) C . |
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|
f (x) |
||||||||||
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6.Интегрирование по частям: udv uv vdu .
b
7.Формула Ньютона-Лейбница: f (x)dx F (x) ba F (b) F (a)
a
Приложения определенного интеграла
1. Площадь фигуры, изображённой на рис.1, вычисляется по формуле:
b
S f2 (x) f1(x) dx .
a
Рис.1.
17
2.Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной
вполярных координатах уравнением , где вычисляется
по формуле
|
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1 |
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S |
|
2 d |
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||||||
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2 |
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||||||||
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3. |
Формулы для вычисления объёма тела вращения |
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|
b |
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|
VOx y2 (x) dx – вокруг оси Ox ; |
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a |
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|
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|
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|
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|
d |
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|
VOy x2 ( y) dy – вокруг оси Oy . |
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|
c |
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||
4. Длина кривой, заданной уравнением |
y f x , |
a x b |
||||||||||||||||
вычисляется по формуле |
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b |
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|
L |
|
1 f 2 x |
dx . |
|
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||||||
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|
a |
|
|
|
|
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||
|
Приближенное вычисление определенного интеграла |
|||||||||||||||||
Отрезок интегрирования a, b |
|
разбивается на n равных частей |
||||||||||||||||
точками |
x |
a, x , x , ... , x b |
|
|
с |
шагом |
h |
b a |
. |
Вычисляются |
||||||||
|
|
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||||||||||||||||
|
0 |
1 2 |
n |
|
|
|
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|
|
|
|
n |
|
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|||
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||
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|
|
yi f (xi ), |
|
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||||||||||||
значения подынтегральной функции в этих точках |
i 0; n . |
|||||||||||||||||
Формулы прямоугольников: |
|
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b |
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|
y(x) dx h y0 y1 y2 |
... yn 1 , |
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a |
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b |
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y(x) dx h y1 |
y2 y3 ... yn . |
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a |
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Формула трапеций: |
y |
|
|
y |
|
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|||||||
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b |
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|
y(x) dx h |
0 |
|
n |
y1 y2 |
... yn 1 . |
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
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|||
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|
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|
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|
|
Формула Симпсона ( n 2m ):
18
b |
|
h |
y |
|
|
2 y |
|
|
|
|
4 y |
|
|
|
|
|
|
y(x) dx |
y |
|
|
y |
... y |
|
y |
... y |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
|
0 |
|
2m |
|
2 |
4 |
|
2m 2 |
1 |
3 |
|
2m 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a
2.2 Варианты Расчетно-графической работы по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной»
Задача № 1. Найти неопределенные интегралы.
Вариант 1. |
Вариант 2. |
Вариант 3. |
|
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|
|
1 x 2 |
|
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|
x |
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|
2 |
|
|
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|
( x2 |
|
|
x )2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
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|
dx ; |
|
|
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1. |
|
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|
dx ; |
1. |
|
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dx ; |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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|
x |
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|
x |
|
|
|
x |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
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|
x |
|
|
|
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|
|
x |
|
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e |
x2 |
|
xdx ; |
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|
|
dx |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2. |
|
cos |
|
|
|
|
|
x |
dx ; |
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
; |
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
1 tgx |
||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
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|
|
||||||||||||
3. |
|
|
|
|
3 x dx ; |
3. ln6 x |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx ; |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
x |
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||
4. |
x cos(2x)dx ; |
4. |
x arctgxdx ; |
4. |
x e xdx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
x2exdx ; |
|
|
|
|
|
|
5. |
ex sin xdx ; |
5. |
x2 cos(2x)dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
|
|
|
|
3x 1 |
|
|
|
dx ; |
6. |
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
dx ; |
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 3x 1 |
3x2 4x 2 |
|
2x2 x 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
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( x 1)(x2 |
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Вариант 4. |
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Вариант 5. |
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Вариант 6. |
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6. |
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Вариант 7. |
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Вариант 8. |
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Вариант 9. |
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2 x |
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6. |
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dx |
6. |
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dx |
6. |
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|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4x2 x 3 |
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2x2 7x 1 |
2x2 x 1 |
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dx |
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2 sin x |
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x 1 |
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7. |
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7. |
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dx |
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7. |
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dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x x2 |
|
x 2 |
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2 cos x |
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x2 |
3 x 5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Вариант 10. |
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Вариант 11. |
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Вариант 12. |
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dx |
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1 |
2 |
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2x dx |
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1. |
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|
x |
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|
dx |
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||||||||||
1. |
|
cos 2x sin2 x |
|
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|
1. |
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|
1 x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
x |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
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|
dx |
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|
2 |
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|||||||||||||||
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3 |
|
5 |
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|
4 |
1dx |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
x |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
2. |
|
ln x |
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
cos2 |
|
x tg4 x |
|
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|
|
x |
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|
|
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|
|
e |
x |
|
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|
|
|
x |
|
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|
|
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|
sin x dx |
||||||||||||||||||||||
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|
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|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
ln x |
dx |
3. |
|
|
sin(e ) dx |
3. |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
1 3cos2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
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|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
x2 ln xdx |
4. |
x sin 2x dx |
|
4. |
x 3x dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
e x cos 2xdx |
5. |
(x 5) e x dx |
5. |
sin ln x dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
|
|
dx |
6. |
|
|
|
|
6. |
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3x2 x 3 |
2x2 6x 3 |
|
|
|
|
3x2 5x 6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
||||||||||||
|
|
4sin x 5cos x |
|
5 4sin x |
|
|
|
2sin x 5cos x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
20
Вариант 13. |
Вариант 14. |
Вариант 15. |
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|
1 x 2 |
|
|
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|
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|
x |
|
|
2 |
|
|
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|
( x2 x )2 |
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
x |
|
|
|
|
|
|
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|
|
x x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
cos |
3 |
x |
sin 2x dx |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln2 |
x 5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin2 |
x ctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg3 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4. |
x arctgx dx |
4. |
|
arccos x dx |
|
|
|
4. |
(x 7) e 5x dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
(3 x) e x dx |
5. |
|
ex sin 2x dx |
|
|
|
5. |
x sin 3x dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 3 |
|
|
|
|
|
dx |
6. |
|
|
|
|
3x 2 |
|
|
dx 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
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|
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|
4x2 4x 16 |
|
|
|
3x2 6x 5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
x2 3x 4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
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2sin x 3cos x |
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3 4 cos x |
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5 |
4sin x |
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Вариант 16. |
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Вариант 17. |
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Вариант 18. |
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1. |
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cos(2x) |
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dx |
1. |
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3x2 |
5x 4 |
dx |
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1 |
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2 |
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2 |
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|
2 |
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x sin |
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1. |
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|
x |
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|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos |
|
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|
x |
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|
x |
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|
x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
sin x |
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|
tg( |
|
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dx |
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|
|
dx |
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|
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|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||
2. |
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|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
x ) |
|
|
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|
|
2. |
|
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|
|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|
e |
cos x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
ln |
2 |
|
x 5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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6 |
x 1 |
|
|
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|
|
dx |
|
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|
x |
3 |
|
|
5 |
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|
|
4 |
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
arcsin |
|
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|
|
|
ectgx |
|
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|
|
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|
|
|
|
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|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
5 dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
dx |
3. |
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
sin |
2 |
x |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
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|
|
1 x2 |
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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||||||||||||||||
4. |
x3 e x2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
(4 x) e2 x dx |
4. |
e3x sin x dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
x cos |
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
x 7x dx |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
5. |
x ln2 x dx |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
|
|
|
x 1 |
|
|
dx |
6. |
|
|
|
|
|
7x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
x2 4x 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
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|
|
4x2 2x 5 |
|
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|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2sin x |
|
cos x 5 |
|
sin x 2 cos x |
|
3 |
cos x |
|
|
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|
|
|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Вариант 19. |
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Вариант 20. |
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Вариант 21. |