4743
.pdf
|
∞ |
(−1) |
n |
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(n |
|
+ 2)3n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∞ |
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n=1 n2 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
||||
10. ∑(−1)n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n +1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∞ |
n |
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
11. |
∑ |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n=1 n +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
12. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
2 |
n |
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. ∑ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n n2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
33
|
∞ |
5 |
n |
x |
n |
|
|||||
19. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n=1 3n + 2 |
|
|||||||||
|
∞ |
|
|
x |
n |
|
|||||
20. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n2 + 4 |
|
|||||||||
|
n=1 |
|
|
||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
x |
n |
|||
21. |
∑ |
(−1)n+1 |
|
||||||||
5n n |
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
∞2n+1 xn
22.∑ 3 nn=1
|
∞ |
|
x |
n |
|
|
|||
23. |
∑ |
|
|
|
|
|
|||
|
n3 +1 |
||||||||
|
n=1 |
||||||||
|
∞ |
9 |
n |
x |
n |
||||
24. |
∑ |
|
|
|
|||||
n +5 |
|||||||||
|
n=1 |
III. Найти три первых отличных от нуля члена разложения функции в ряд Тейлора в окрестности точки x0.
1. |
|
x |
|
|
, x0 = 0 |
13. |
|
|
|
1 |
|
, x0 = −2 |
|||
|
3 + 4x |
|
x2 + 4x +1 |
||||||||||||
2. |
|
x |
|
|
, x0 =0 |
14. |
|
|
x + 2, x0 =1 |
||||||
|
4 + x2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
3 27 − x , x0 = 0 |
15. |
ln(x + |
x 2 +1), x0 = 0 |
|||||||||||
4. |
1 |
|
, x0 =0 |
16. |
1 |
|
, x0 =1 |
||||||||
|
cos x |
|
sin x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. |
ln(x2 + 3x + 2), x0 = 0 |
17. |
|
|
2x |
, x0 = 0 |
|||||||||
|
|
3 + x2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
|
1 |
|
, x0 = 2 |
18. |
3 8 − x2 , x0 = 0 |
|||||||||
1 − x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
|
1 |
|
|
, x0 =3 |
|
19. |
|
|
|
|
1 |
|
, x0 |
=1 |
||||||
|
x2 − 6x + |
5 |
|
3 |
− 2x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
8. |
3 x , x0 =1 |
|
20. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
, x0 |
= 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
4 − x |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
ln(x2 + 6x +12), x0 = −3 |
|
21. |
|
ln(3 − x), x0 =1 |
||||||||||||||||
10. |
|
|
16 + x2 , x0 =0 |
|
22. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
, x0 = 0 |
|||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 + x |
|
|||||||||
11. |
1 |
, x0 |
=3 |
|
23. |
e |
x2 |
, x0 |
=1 |
|
|||||||||||
|
|
3 + x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
ln(5 + x), x0 = 2 |
|
24. |
|
|
|
|
|
x |
|
|
, x0 |
= 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
9 + x |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
25. sin(x2 ), x0 |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IV. Вычислить с точностью 0,001
1. |
|
|
1 |
|
9. 4 e |
17. cos 15˚ |
|||||||
|
|
e |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
3 |
e |
10. sin 18˚ |
18. |
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
5 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. sin 9˚ |
11. cos 9˚ |
19. arctg 0,5 |
|||||||||||
4. cos 18˚ |
12. ln 1,2 |
20. |
|
|
1 |
|
|
||||||
3 |
7 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. 3 1,06 |
13. arctg 0,1 |
21. ln 0,9 |
|||||||||||
6. arctg 0,2 |
14. |
9,5 |
22. 4 17 |
||||||||||
7. ln 1,1 |
15. ln 0,8 |
23. ln 1,5 |
|||||||||||
8. |
|
|
1 |
|
16. sin 15˚ |
24. arctg 0,3 |
|||||||
3 |
e |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
25. 3 |
25 |
|
|
|
|
|
|
35
V. Вычислить определенный интеграл, используя разложение подинтегральной функции в степенной ряд. Вычислять с тремя десятичными знаками.
|
0,5 |
|
|
|
1. |
∫ e−x2 dx |
|||
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2. |
∫ |
x cos x dx |
||
|
0 |
|
|
|
|
0,5 sin x |
|
||
3. |
∫ |
|
dx |
|
x |
||||
|
0 |
|
0,5 dx
4. ∫0 1 + x3 dx
0,5
5. ∫x cos x dx
0
1
6. ∫ x sin x dx
0
0,3 ln(1 + x) |
|
||
7. ∫ |
|
dx |
|
x |
|||
0 |
|
|
0,3 ln(1 + x) |
|
|
|
|||||||||||
9. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0,4 arctgx |
|
|
|
|
|
|||||||||
10. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11. |
0,25 |
|
x |
cos xdx |
|||||||||||
∫ |
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0,2 ln(1 |
+ 2x) |
|
|
|||||||||||
12. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
−x2 |
|
|
|
|
|
|
|||
13. ∫e |
|
|
2 |
dx |
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin(x2 ) |
|
|
|
|
|
|||||||||
14. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0,5 ln(1 + x2 ) |
|
|||||||||||||
15. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−x2 |
|
|
|
|
|||
17. |
∫e |
|
3 |
dx |
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 ln(1 |
− x) |
|
|
|||||
18. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
x |
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0,5 |
|
|
dx |
|
|
|
|
19. |
∫ |
|
|
|
|
||||
|
+ x |
3 |
|
||||||
|
|
0 2 |
|
|
|
0,25 sin 2x
20. ∫ dx
0 x
21.∫0 1 +dxx4
0.3dx
22.∫ 3 1 + x 200,5
1 dx
23. ∫0 3 + x4
0,25 |
−x |
2 |
|
1 sin x |
|
0,5 |
dx |
1 |
dx |
|
8. ∫ e |
|
|
dx |
16. ∫ |
|
dx |
24. ∫ |
|
25. ∫ |
|
|
|
x |
4 + x4 |
3 8 + x2 |
||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
36
VI. Найти три первых отличных от нуля члена разложения
в степенной ряд функции, являющейся решением задачи Коши:
1. |
y′= xy2 + y, |
y |
|
|
x=0 =1 |
13. |
y′= 2cos x − xy2 , |
|
|
|
|
|
|
y |
|
x=0 =1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2. |
y′ = xex + y2 , |
|
|
14. y′= y2 + xy, y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
x=0 =1 |
|
|
x=0 = 2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
y′= 2xy + ex , |
|
|
|
|
|
15. y′ = x 2 +1,5y2 , |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
x=0 = 0 |
y |
|
|
x=0 = −1 |
|||||||||||||||||||||||||
4. |
y′= xy + yex , |
|
|
|
|
|
16. |
y′= y2 −3x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
x=0 =1 |
y |
|
|
|
x=0 = 2 |
||||||||||||||||||||||||
5. |
y′= x 2 |
+ yex , |
|
|
|
|
|
|
17. |
y′= 2xy2 + cos x, |
|
|
||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
x=0 =1 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
x=0 = −1 |
||||||||||||||||||
6. |
y′= x 2 |
+ y2 , |
|
|
|
|
|
|
|
18. y′= y2 + 2xex , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
y |
|
|
|
x=0 =1 |
y |
|
x=0 = −1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
7. |
y′ = 2x2 y + y2 , y |
|
|
19. y′= 2y − xy2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x=0 = −1 |
y |
|
|
|
|
|
|
x=0 = 2 |
||||||||||||||||||||||||
8. |
y′= 2x + y2 , |
|
|
|
|
|
20. |
y′= xy2 − y − x, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
x=0 = −1 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
x=0 = −1 |
|||||||||||||||||||||||
9. |
y′= x 2 |
+ 2y2 , |
|
|
|
|
21. |
y′= y2 + yex , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
x=0 = −1 |
y |
|
|
|
|
|
x=0 =1 |
|||||||||||||||||||||
10. |
y′=3x + y2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
22. y′= x 2 y + y2 , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
x=0 = −1 |
y |
|
x=0 =1 |
||||||||||||||||||||||||||
11. |
y′=sin x + xy2 , |
|
|
|
|
|
|
23. y′= y2 − x cos x, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
x=0 =1 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
x=0 = −1 |
||||||||||||||||||
12. y′= x 2 y − 2y2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. |
y′= xex − y2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
x=0 =1 |
y |
|
|
|
|
|
|
x=0 = −1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
25. |
|
|
|
|
y′= y2 + ysin x, y |
|
x=0 = −1 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||
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|
|
|
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|
|
|
|
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||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
VII. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом 2π функцию.
|
|
1 |
x, |
− π≤ x < 0, |
||
|
− |
|
|
|
||
|
2 |
|||||
1. |
|
|
|
|||
f (x) = |
1 |
|
|
|
||
|
|
x, |
0 ≤ x < π. |
|||
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. f (x) = |
0, − π≤ x <1, |
x −1, 1 ≤ x < π. |
3. |
f (x) = |
π, − π≤ x < 0, |
|
|
||
π − x, |
0 ≤ x < π. |
|
|
|||
|
|
|
− π≤ x < |
π |
, |
|
|
|
x + π, |
2 |
|||
4. |
f (x) = |
|
|
|||
π ≤ x < π. |
||||||
|
|
3π −3x, |
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
f (x) = 1 + x, − π≤ x < 0, |
|
−1 + x, 0 ≤ x < π. |
6. |
f (x) = x, |
− π≤ x <0, |
|
|
|
|||
|
0, 0 ≤ x < π. |
|
|
|
|
|||
|
|
− π≤ x < − |
π |
, |
||||
|
−1, |
2 |
||||||
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
|
− |
≤ x < |
, |
|
|
||
f (x) = 0, |
2 |
6 |
|
|
||||
|
|
π |
|
|
|
|
||
|
|
≤ x < π. |
|
|
|
|
||
|
2, |
6 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
f (x) = 3, |
− π≤ x <0, |
|
|
|
|||
|
3 − x, |
|
0 ≤ x < π. |
|
37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− π≤ x < |
|
π |
, |
|
|||||||||||||
13. |
|
− x, |
|
2 |
|
|||||||||||||||||
f (x) = |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
− π, |
|
≤ x < π. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
− π≤ x < − |
π |
, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1, |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|||||
14. |
|
|
|
|
− |
≤ x |
< |
, |
|
|
|
|
||||||||||
f (x) = x, |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
π |
≤ x < π. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
−1, |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
15. |
f (x) = |
|
1 |
x +1, |
|
0 ≤ x < 2π. |
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
π |
− x, |
|
− |
π |
≤ x < |
|
π |
, |
|||||||||||
16. |
f (x) = |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
π |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0, |
|
|
≤ x < |
|
|
π. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
− π≤ x < 0, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
17. |
|
|
|
|
0 |
≤ x < |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f (x) = x, |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
≤ x < π. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
π − x, |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
18. |
f (x) = x, |
|
π≤ x <3π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. f (x) = |
π, − 2π≤ x < −π, |
− x, − π≤ x < 0. |
20. f (x) = |
1, − π≤ x <1, |
2 − x, 1 ≤ x < π. |
38
9. f (x) = |
− x +1, − π≤ x < 0, |
2x +1, 0 ≤ x < π. |
10. f (x) = − 2,x,
π −
11. f (x) = π,2
0,
12. f (x) = x,
π,4
−π≤ x < −1,
−1 ≤ x < π.
x, − π≤ x < π2 , π2 ≤ x < π.
− π≤ x <0, 0 ≤ x < π4 ,
π4 ≤ x < π.
25. f (x) = |
2x −1, − π≤ x < 0, |
−1, 0 ≤ x < π. |
21. |
f (x) = x + 2, |
− π≤ x < −1, |
|||||||
|
1, −1 ≤ x < π. |
|
|
|
|||||
|
|
− π≤ x < − |
π |
, |
|
||||
|
1, |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
π ≤ x < 0, |
|
|||||
|
−1, |
|
− |
|
|||||
22. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
f (x) = |
0 ≤ x < π, |
|
|
|
|
|
|||
|
1, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ≤ x < π. |
|
|
|
||||
|
−1, |
|
|
|
|
||||
23. |
f (x) = x − 2, − 2π≤ x < 0. |
||||||||
|
|
|
− π≤ x < − |
π |
, |
||||
|
−1, |
|
3 |
||||||
|
|
|
π |
|
π |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
24. |
|
− |
≤ x < |
, |
|
|
|||
f (x) = 2, |
3 |
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
π |
≤ x < π. |
|
|
|
||
|
−1, |
|
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VIII. Разложить в ряд Фурье функцию в интервале (0, ℓ ).
1. |
f (x) = 2x + 4, |
|
l =3, |
посинусам |
||
2. |
f (x) =3 − x 2 , |
|
l = 4, |
по косинусам |
||
3. |
f (x) = x 2 −3, |
|
l =3, |
посинусам |
||
4. |
f (x) = x + |
x2 |
, |
l =1, |
покосинусам |
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|