4743

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

I = ∫ f (x)dx = ∫

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

1.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

	∞
Исследуемый ряд ∑un
	n=1
выполнен ли необходимый		нет	исследуемый ряд расходится
признак сходимости
	да
выполнено ли неравенство		нет	см. исследование сходимости
un > 0 при всех n ≥ n0 , n0 N			знакопеременных рядов
	да
записываем n un
вычисляем l = lim n u n
n→∞
l < 1	сравниваем l с 1		l > 1
	l = 1
ряд (3) сходится	признак не дает		ряд (3) расходится
	ответа на вопрос
	о сходимости или
	расходимости
	ряда

Рекомендация: нужно применить другие признаки (напр., интегральный).

n +

1 n2

∞

Пример: ∑

n=1

n +1 n2

1 n

тогда

Решение: Здесь

n un

Вычислим l: l = lim n

= lim

n +1

lim(1 +

)

<1.

n→∞

n→∞ 3

3 n→∞

Согласно признаку Коши ряд сходится. Ответ: ряд сходится.

Замечание. Для некоторых рядов с положительными членами трудно проверить выполнение необходимого признака сходимости. В этих случаях можно сразу применять достаточные признаки Даламбера или Коши.

Пример.

∞

∑n!(n + 2)!

n=1 (2n −1)!

n!(n + 2)!

(n +1)!(n +3)!

Решение: Здесь un =

тогда un+1 =

Вычислим

(2n −1)!

(2n +1)!

l = lim

un+1

= lim

(n +1)!(n + 3)!(2n −1)!

= lim

(n +1)(n + 2)

(2n +1)!n!(n + 2)!

n→∞ un n→∞

n→∞

2n(2n +1)

n2 + 3n + 2

1 +

<1.

lim

= lim

n→∞ 4n2 + 2n

n→∞

4 +

Согласно признаку Даламбера ряд сходится. Проверить, что lim u n = 0,

n→∞

Для данного ряда труднее, чем вычислить l = lim un+1 .

n→∞ un

Ответ: ряд сходится.

Интегральный признак Коши.

Если функция f(x) определена при всех x ≥1, непрерывна, неотрицательна

∞		∞
и убывает, то ряд ∑f (n) и несобственный интеграл ∫f (x)dx сходятся или
n=1		1
расходятся одновременно.
Алгоритм применения интегрального признака Коши.
∞
Исследуемый ряд ∑un
n=1
Выполнен ли необходимый	нет	исследуемый ряд расходится
признак сходимости
да
являются ли члены ряда	нет	см. исследование сходимости
положительными		знакопеременных рядов
да
являются ли члены данного	нет	нужно использовать
ряда убывающими		другие признаки
да

полагаем u n = f (n) и записываем f(x)

+∞

вычисляем интеграл Ι = ∫f (x)dx

		1
I сходится	сходится или расходится интеграл					I расходится
ряд (3) сходится					ряд (3) расходится
	∞	1
Пример: ∑		1		.
Пример: ∑		(n +1)ln(n +1)		.
n=1		(n +1)ln(n +1)		1			1
Решение.	Здесь un =			1	, а значит,	f (x) =	1	.
Решение.	Здесь un =		(n +1)ln(n +1)		, а значит,	f (x) =	(x +1)ln(x +1)	.
			(n +1)ln(n +1)				(x +1)ln(x +1)

Эта функция определена при x ≥1, непрерывна, принимает положительные

	+∞	dx		1+∞ = +∞.
значения и убывает. Вычислим I: I =	∫1		=ln ln(x +1)
		(x +1)ln(x +1)

Так как интеграл расходится, то, согласно интегральному признаку Коши, ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

∞	1
Пример: ∑	1
Пример: ∑	(n +1)ln	2 (n +1)
n=1	(n +1)ln	2 (n +1)
Решение: Здесь un =		1			, f (x) =	1		,
Решение: Здесь un =			(n +1)ln2		, f (x) =	(x +1)ln2		,
			(n +1)ln2	(n +1)		(x +1)ln2	(x +1)

+∞

= ln12 .

Интеграл сходится, а значит, согласно интегральному признаку Коши, и ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды.

∞

Ряд ∑un называется знакопеременным, если среди его членов имеются

n=1

как положительные, так и отрицательные.

∞	sin n	α
Пример: ∑	sin n	α	,	α R.
Пример: ∑	2		,	α R.
n=1	n

Если, например, положить α = π6 , то имеются группы, содержащие по

5 слагаемых, которые попеременно то положительны, то отрицательны.

∞

Исследование сходимости знакопеременного ряда ∑un ведется на

n=1

основании свойств членов соответствующего ряда, составленного из

∞

абсолютных величин членов un, то есть ряда ∑un .

n=1

∞

Знакопеременный ряд ∑un называется абсолютно сходящимся, если ряд

				n=1
∞
∑	un	сходится.
∑	un	сходится.
n=1		Так, ряд ∑sin nα		абсолютно сходится, поскольку ряд ∑ sin nα
		∞		∞
				n=1

		n=1	n2		n2

сходится при любом α R согласно неравенству sin α ≤1 и 1-му признаку

сравнения. Имеет место

Теорема 3. Если знакопеременный ряд абсолютно сходится, то он и просто сходится.

Замечание. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Например, ряд ∑∞ (−1)n−1 сходится (ниже это можно будет установить с

n=1 n

∞	1
помощью признака Лейбница), а соответствующий ряд ∑		из абсолютных
	n
n=1

величин членов данного ряда является рядом Дирихле с α = 12 и потому

расходится.

∞

Знакопеременный ряд ∑un называется условно сходящимся, если он

n=1

∞

сходится, а ряд ∑un расходится.

n=1

∞

Знакопеременный ряд вида ∑(−1)n−1 un , un >0 называется

n=1

знакочередующимся.

На основании свойств последовательности un, un>0 устанавливается следующий достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда:

Признак Лейбница. Если последовательность un, un>0 такова, что 1) un ≥ un+1 при всех u n ≥ u0 , n0 N;

2) lim u n = 0,

n→∞

∞

то знакочередующийся ряд ∑(−1)n−1 un , un >0 сходится, его сумма

n=1

положительна и не превосходит первого члена. Алгоритм применения признака Лейбница

∞

Исследуемый ряд ∑(−1)n−1 un ,un >0

n=1

pассматривается последовательность un, un>0

выполнено ли условие

нет

исследуемый ряд расходится

lim un = 0

n→∞

Да выполнено ли условие монотонности un ≥ un+1 при всех n ≥ n0 ,n0 N

нет

да

признак не дает

исследуемый ряд сходится

ответа на вопрос

о сходимости или

расходимости

ряда

∞

(−1)n−1 (n + 2)

Пример:

∑

n2 + 3n + 5

n=1

Решение. Здесь un

n + 2

, ряд знакочередующийся. Проверим

n2 + 3n + 5

выполнение двух условий

признака Лейбница:

n + 2

n + 3

при всех n N;

n2 + 3n + 5

(n +1)2 + 3(n +1) + 5

n + 2

2) lim

= lim

=0.

3 5

n→∞ n2 + 3n +

n→∞

1 +

Это означает, что исследуемый ряд сходится.

∞	n + 2
Ранее нами было показано, что ряд ∑		расходится согласно

n=1 n2 +3n +5

3-му признаку сравнения. Следовательно, исследуемый ряд сходится условно. Ответ: ряд сходится условно.

Степенной ряд, его область сходимости.

Степенным рядом называется ряд вида

a0 + a1x + a 2 x 2 + a 2 x2 +... + a n x n +...,	(5)
где a0 ,a1,a 2 ,...,a n ,... − фиксированные числа (коэффициенты ряда), х -
переменная величина.
Ряд (5) можно записать также в форме
∞
∑a n xn .	(5’)
n=0

Если положить x = x0 , то есть зафиксировать значение переменной, то ряд (5) превратится в числовой ряд

∞

∑an x0n, n=0

который может сходиться или расходиться. Очевидно, что при x=0 ряд (5) сходится. Справедлива

Теорема Абеля. Если ряд (5) сходится при x = x0 ≠ 0, то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству x < x0 .

Из теоремы Абеля вытекает Следствие. Если ряд (5) расходится при некотором значении х = х1, то он

расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству x > x1 . Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R, R ≥0,

что при x < R ряд (5) абсолютно сходится, а при x > R −расходится. Интервалом сходимости степенного ряда называется интервал ]− R,R[,

где R- его радиус сходимости.

Радиус сходимости R можно вычислять по одной из формул

R = lim		a n	, R =	1		,
R = lim	a n+1		, R =			,
n→∞	a n+1			lim n	a n
				n→∞

если соответствующий предел существует.

Ряд (5) может также сходиться на одном или обоих концах x = −R, x = R

интервала сходимости.

В этом случае эти точки в объединении с интервалом сходимости образуют область сходимости степенного ряда.

Алгоритм нахождения области сходимости степенного ряда

∞

исследуемый ряд ∑a n xn

(5)

n=0

записываем

an+1

Вычисляем R:

a n

R = lim

или

R =

a n+1

lim n

a n

n→∞

R=0

сравниваем R c 0, ∞

R=∞

0 < R < ∞

ряд (5) сходится

составляем два числовых

ряд (5) сходится

∞

(6)

∑(−1)n a n R n

Ответ: ]− ∞,∞[

только при х=0

ряда:

n=0

∞

∑a n R n

(7)

n=0

исследуем сходимость рядов (6), (7)

ряд (6) сходится,

ряд (6) расходится

ряд (6) расходится,

ряд (7) сходится

ряд (7) расходится

ряд (7) сходится

ряд (7)расходится

записываем ответ

[− R,R]

[− R,R[

]− R,R]

]− R,R[

∞

(−1)n xn

Пример: найти область сходимости ряда ∑

+1)3n

n=0

Решение: Здесь

a n

a n+1

а значит,

+1)3n

+ 2)3n+1

R = lim

lim

(n + 2)3n+1

= 3 lim

n + 2

=3.

n→∞

a n+1

n→∞

(n +1)3n

n→∞ n +1

Составляем два числовых ряда при x = -3 и х = 3:

∞

(−1)n (−3)n

∞

(−1)n 3n

∞

(−1)n

∞

(−1)n−1

∑

= ∑

∑

= ∑

(n +1)3n

n +1

n=0

n=0 n +1

n+1 n

n=0

n=1

Первый из них является гармоническим и, следовательно, расходится. Второй является знакочередующимся и сходится согласно признаку Лейбница (проверить самим).

Ответ: ]− 3, 3].

Ряд Тейлора и его приложения.

Рядом Тейлора для функции f(x) называется ряд вида

∞

(n)

(x0 )

∑

(x − x0 )n .

(8)

n=0

Если х0=0, то ряд (8) называется рядом Маклорена для функции f(x).

Известны следующие стандартные разложения элементарных функций в

ряды Маклорена:

2n+1

∞

(ln a)

∞

(−1)

ex = ∑

, a x =

∑

, sin x = ∑

(−1)

, cos x = ∑

, -∞ < x < ∞;

(2n)!

n=0

(2n +1)!

n=0

∞ (−1)n−1 xn

∞

(−1)n x2n+1

ln(1 + x) = ∑

, -1 < x ≤ 1; arctg x = ∑

, -1 ≤ x ≤ 1;

2n +1!

n=1

n=0

∞

= ∑(−1)n xn , -1 < x < 1;

1 + x

n=0

α(α −1) x

α(α −1)(α − 2) x3

(1 + x)α =1 + αx +

2 +

+..., −1 < x <1.

Последний ряд называется биномиальным.

С помощью стандартных разложения можно получать разложения в

степенные ряды некоторых сложных функций. Например,

e−x2

∞

(−1)

= ∑

(−x2 )n

= ∑

, − ∞ < x < ∞;

n=0 n!

n=0

∞

(−1)

∞

(−1)

sin 3x = ∑

(3x)2n+1 = ∑

x2n+1

− ∞ < x < ∞;

(2n +

(2n +1)!

n=0

1)!

n=0

∞

−1

∞

ln(1 −

) =

∑

(−1)

(−

)n = −∑

, − 4 ≤ x < 4.

n=1

n=1 n 4n

Рядами Тейлора пользуются для вычисления значений функций при

различных значениях х.

Пример: Вычислить

с точностью до 0,001:

3 l

															1 2					1	3		1 4
						1		−	1			1
									1
		Решение.					= e		3 =1 −				+		3			−		3		+	4	−...
															3					3			4
						e					3				2!					3!			4!
						e					3				2!					3!			4!
		Ограничиваясь первыми четырьмя членами, получим следующее
приближенное равенство:
					1 2			1 3
	1		1										1			1				1

		≈1 −		+	3		−	3		=1	−			+			−				≈ 0,716,
3	e	≈1 −	3	+	2!		−	3!		=1	−		3	+	18		−		162		≈ 0,716,
3	e		3		2!			3!					3		18				162

при этом мы делаем ошибку δ, которая по абсолютной величине меньше первого из отброшенных членов, то есть

	1	4
					1
	4
δ<	4		=				< 0,001.
δ<	4!		=	6144			< 0,001.
	4!			6144
	Ответ:					1		≈ 0,716.
	Ответ:				3			≈ 0,716.
					3	e

Известно, что существуют определенные интегралы, которые, как функции верхнего предела, не выражаются в конечном виде через элементарные функции. Такие интегралы иногда бывает удобно вычислять с помощью рядов.

Рассмотрим

0,5

2 dx с точностью до 0,001.

пример: вычислить

∫ e−x

Решение. Здесь первообразная от e−x2 не является элементарной

функцией. Разложим

e−x2 в ряд Маклорена

−x

1 −

−

+...

Интегрируя обе части этого равенства в пределах от 0 до 0,5, получим:

0,5

−x2

0,5

0,125

0,03125

0,0078125

∫ e

−

= 0,5 −

−

+... ≈

dx = x −

1! 3

2! 5

3! 7

+...

≈0,5 − 0,125

+ 0,03125 ≈ 0,461.

0,0078125

Погрешность δ при этом не превосходит

<0,001.

0,5

Ответ:

∫ e−x2 dx ≈ 0,461.

С помощью степенных рядов можно решать дифференциальные уравнения. При этом решение уравнения представляют в виде ряда Тейлора, сумма конечного числа членов этого ряда будет приближенно равняться искомому частному решению (предполагается, что решение в виде ряда существует).

Пример: найти 5 членов разложения в ряд решения дифференциального уравнения

																										y′′= y cos y′ + x,
удовлетворяющего начальным условиям
																						y(0) =1,														′							π
				Решение.																		y(0) =1,													y (0) =								3 .
				Решение.													Так как начальные условия заданы при x=0, то решение ищем в
виде ряда Маклорена																																																y1V (0)
				y(x) =1 +													πx +						y′′(0)							x2					+			y′′′(0)					x3 +					y1V (0)							x4			+....
				y(x) =1 +													πx +													x2					+								x3 +												x4			+....
																3									2!														3!											4!
				Подставим начальные условия в уравнение, получим
						′′																			′											π					1
				y (0)								= y(0)cos y (0) = cos																									3 =				2.
				Продифференцируем исходное уравнение:
				y		′′′							′	cos y						′														′		′′			+1.																															(9)
				y					= y					cos y							+ y(−sin y )y																		+1.																															(9)
				Подставим в полученное равенство x=0:
						′′′									π			1								3						1								π				3
						′′′							=		3			2			−	1				2					2 +1 =									6		−		4			+1
				y (0)									=		3			2			−	1				2					2 +1 =									6		−		4			+1
	1V			Продифференцируем равенство (9):																																												2
y	1V		= y		′′			cos y						′	+						′								′				′′										′			′′		2	− ysin y								′		y			′′′								(10)
y			= y					cos y							+		2y (−sin y )y																		− ycos y (y )														− ysin y										y											(10)
				Подставим в (10) x=0. Получим
	1V								1						π							π						π					1								π			1							π			π							3
	1V								1						π							π						π					1								π			1							π			π							3
y			(0) =								cos						− 2							sin											− cos											−sin										−									=
y			(0) =						2		cos				3		− 2					3		sin				3					2		− cos						3			4		−sin					3			6		−				4			+1		=
									2						3							3						3					2								3			4							3			6						4
		1		π							3				1										π						3											1			π			3				π 3								3				3			1		3		π	3
=		1	−	π							3		−		1		−				3				π		−				3				+					=		1	−		π			3		−		π 3					+			3		−		3	=		1	−	3	−	π	3
																																					1																																				.
		4		3						2					8						2				6						4						1					8				6							12							8				2			2		2		4		.
		4		3						2					8						2				6						4											8				6							12							8				2			2		2		4
				Следовательно,																																																												3
											π					1 2								1				π							3								3				1				1					3 π								3		4

y(x) =1							+						x +						x			+									−								+					+									−						−								+... .
y(x) =1							+				3		x +			4			x			+		6				6			−				4				+	1 x				+		24					2		−	2					−				4	x			+... .
											3					4								6				6							4											24					2			2									4

В этом примере мы искали решение методом последовательных дифференцирований.

Если уравнение является линейным, то решение можно искать методом

∞

неопределенных коэффициентов в виде степенного ряда ∑cn (x − x0 )n . Этот

n=0

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.20211.51 Mб04739.pdf
#
08.01.2021201.66 Кб1474.pdf
#
08.01.20211.51 Mб24740.pdf
#
08.01.20211.51 Mб04741.pdf
#
08.01.20211.51 Mб24742.pdf
#
08.01.20211.52 Mб24743.pdf
#
08.01.20211.52 Mб64744.pdf
#
08.01.20211.52 Mб04745.pdf
#
08.01.20211.52 Mб24746.pdf
#
08.01.20211.53 Mб64747.pdf
#
08.01.20211.53 Mб24748.pdf