Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4743

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

1.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

ряд подставляют в уравнение и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях (х – х0), решают систему относительно сn.

Пример: найти разложение в ряд решения дифференциального уравнения y′′+ x 2 y = 0,

удовлетворяющего начальным условиям y(0) = 0, y′(0) =1.

Решение. Так как начальные условия заданы при х=0, то решение ищем в виде ряда Маклорена

		∞
y(x) = x + ∑cn xn .				(11)
		n=2
Найдем y′′ и, подставляя в уравнение y и y", получаем
∞			∞
∑n(n −1)cn xn−2		+ x2	(x + ∑cn xn ) =0.
n=2			n=2
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой
частях, приходим к системе
2C2 = 0
	3C3 = 0
2	3C3 = 0
	4C4 = 0
3	4C4 = 0
	5C5 +1 = 0
4	5C5 +1 = 0
	6C6 + C2 = 0
5	6C6 + C2 = 0
	7C7 + C3 = 0
6	7C7 + C3 = 0
	8C8 + C4 = 0
7	8C8 + C4 = 0
8 9C9 + C5 = 0
9	10C	+ C	6
	10		6

...................

Решив систему и подставив найденные значения сn в разложение (11), получим решение

∞		(−1)	n	x	4n+1
y(x) = ∑						.
	4	5 8 9...4n (4n +1)
n=0

Ряды Фурье.

Определение. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида

a20 + a1 cos x + b1 sin x + a 2 cos 2x + b2 sin 2x +... + a n cos nx + bn sin nx +...

Поскольку каждый член тригонометрического ряда является периодической функцией с периодом 2π, то сумма ряда также будет периодической функцией периода 2π.

Обозначим сумму тригонометрического ряда через f(x), тогда

∞

f (x) =

+ ∑(a n cos nx + bn sin nx)

n =1

Коэффициенты ряда можно выразить через его сумму f(x). Интегрируя

ряд почленно по отрезку [-π, π], получим выражение для коэффициента а0

a0 =

∫f (x)dx.

−π

Для нахождения коэффициентов an(bn) умножим ряд почленно на cos nx

(sin nx) и проинтегрируем почленно по отрезку [-π, π]. Получим

a n =

∫ f (x)cos nxdx, bn =

∫f (x)sin nxdx

−π

Коэффициенты тригонометрического ряда, определяемые по формулам

a0 =

∫f (x)dx, a n =

∫ f (x)cos nxdx, bn =

∫f (x)sin nxdx ,

(12)

−π

называются коэффициентами Фурье.

∞

Тригонометрический ряд

+ ∑(a n cos nx + bn sin nx), коэффициенты

n =1

которого определяются по формулам Фурье (12), называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x).

Определение. Точка с называется точкой разрыва 1-го рода функции f(x), если существуют конечные пределы функции в точке с слева и справа, то есть

	lim f (c + ε) =f (c + 0)	- предел справа,
	ε→+0
	lim f (c −ε) =f (c −0)	- предел слева.
	ε→+0

Теорема Дирихле (достаточное условие представимости функции в виде суммы ее ряда Фурье).

Пусть периодическая функция f(x) с периодом 2π имеет на отрезке [-π, π] конечное число точек экстремума и конечное число точек разрыва 1-го рода. Тогда ряд Фурье, соответствующий этой функции, сходится во всех

точках числовой оси, причем его сумма равна значению функции в тех точках, где она непрерывна. В каждой точке с разрыва функции сумма ряда равна

f (c −0) + f (c + 0) . 2

Пример. Периодическая с периодом 2π функция f(x) определена следующим образом:

0, − π≤ x < 0, f (x) = x, 0 ≤ x < π.

Разложить данную функцию в ряд Фурье.

0π =

Решение.

∫f (x)dx =

∫0dx +

∫x dx

;

π−π

π0

π x cos nxdx =

sin nx

−

πsin nxdx) =

cos nx

π =

∫{

14243

∫

π n

0 u

n = 2k

( (−1)

−1)

− 2

, n = 2k −1;

π(2k −1)

πx sin nxdx = 1 (−x 1 cos nx

π + 1

πcos nx dx) = 1

(−π(−1)n

∫{

14243

∫

π0 u

sin nx

π) =

(−1)n+1

(n =1,2,...;k =1, 2,...).

∞ cos(2k −1)x

∞ (−1)n +1 sin nx

Ответ: f(x) =

−

∑

+ ∑

(2k −1)2

πk =1

n =1

В точках x = π + 2πn (n Z) сумма ряда равна

π.

Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

Из школьного курса известны свойства четных и нечетных функций:

1.Произведение четной функции на четную или нечетной на нечетную есть функция четная.

2.Произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная.

	a	a
3.	Если f(x) – четная функция, то ∫ f (x)dx = 2∫f (x)dx.
	−a	0
		a
4.	Если f(x) – нечетная функция, то	∫f (x)dx = 0.

−a

Допустим, что нужно разложить в ряд Фурье четную функцию f(x). Так как cos nx – функция четная, а sin nx - нечетная функция, то f(x) cos nx является функцией четной, а f(x) sin nx функцией нечетной (свойства 1 и 2). На основании свойств 3 и 4 получим

a0 =

∫

f (x)dx =

∫f (x)dx,

−π

a n =

∫ f (x)cos nx dx =

∫f (x)cos nx dx,

(13)

−π

bn =

∫f (x)sin nx dx = 0.

−π

Соответственно формулам (13) ряд Фурье для четной функции имеет вид

∞

f (x) =

+ ∑a n cos nx.

n =1

Если требуется разложить в ряд Фурье нечетную функцию f(x), то в силу

свойств 1 и 2 произведение f(x) cos nx является функцией нечетной, а

f(x)sin nx – функцией четной. Поэтому a0 = an = 0,

bn =

∫ f (x)sin nx dx =

∫f (x)sin nx dx

(14)

−π

Ряд Фурье для нечетной функции имеет вид

∞

f (x) = ∑bn sin nx.

n =1

То есть четная функция разлагается в ряд только по косинусам, а нечетная функция – только по синусам кратных дуг.

Примеры.

1. Периодическая с периодом 2π функция f(x) на отрезке [-π, π] задана выражением

−1, − π≤ x < 0, f (x) =

1, 0 ≤ x < π.

Разложить данную функцию в ряд Фурье. Решение: f(x) – нечетная функция, поэтому

π = −

( (−1)n −1) =

a0 = an = 0,

∫1 sin nx dx = −

cos nx

nπ

0, n = 2k,

− (−1)

) =

, n = 2k

−1,

(n =1,2,... ; k =1,2,...)

nπ

−1)π

(2k

∞ sin(2k −1)x

f (x) =

∑

при x ≠ 2nπ + π, f(x) = 0 при x = 2nπ+π.

2k −1

πk =1

2. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом 2π функцию

f (x) =

на отрезке [− π,π].

Решение: f(x) – четная функция, поэтому

			2	π			2 x2
bn =0, a0 =				∫x dx =
bn =0, a0 =			π	∫x dx =			π 2
				0
	1	π		2
	1	π		2
−		∫sin nxdx) =				cos nx
−	n	∫sin nxdx) =			πn2	cos nx
	n	0			πn2

(n =1,2,... ; k =1,2,...).

π = π; a

πx cos nxdx

sin nx

π −

∫

{ 14243

0 u

0, n = 2k,

− 4

( (−1)n −1) =

, n = 2k −1,

πn2

π(2k −1)2

∞

cos(2k

−1)x

Ответ: f (x) =

−

∑

(2k −1)2

πk =1

Положим x=0:

∞

π2

0 =

−

∑

Отсюда ∑

πk =1(2k

−1)2

k =1(2k −1)2

Ряд Фурье для функции с периодом 2ℓ.

Пусть периодическая с периодом 2ℓ функция f(x) удовлетворяет на

отрезке

[− l, l] условиям теоремы Дирихле. Требуется разложить f(x) в

тригонометрический ряд

Произведем замену аргумента x →t

так, чтобы t [− π,π]:

x =

πx .

Тогда

∞

πx +

f (x) = f (

t) =ϕ(t) =

+ ∑

(a n

cosnt + bn sin nt) =

+ ∑(an cosn

n=1

+ bn sin n

πx),

причем a n

∫f (

t)cos nt dt =

∫f (x)cos n πxdx (n = 0,1,2,...).

π−π

−l

Аналогично,

1 l

πx

∫f (

t)sin nt dt =

∫f (x)sin n

dx (n =1,2,...).

π−π

l−l

Таким образом, ряд Фурье периодической с периодом 2ℓ функции f(x)

имеет вид

+ ∑(a n cos n πx

+ bn sin n πx ),

∞

n=1

где a n

πxdx

(n = 0,1, 2,...),

∫f (x)cos n

−l

πxdx

bn =

∫f (x)sin n

(n =1, 2,...).

−l

Замечание о разложении в ряд Фурье периодической функции.

Коэффициенты Фурье функции f(x) с периодом 2ℓ можно находить по формулам

a n =	1	λ+2l			πx		dx	(n = 0,1, 2,...),
	l	∫	f (x)cos n		l
		λ
bn =	1	λ+2l	f (x)sin n	πx		dx		(n =1, 2,...).
		∫
	l				l
		λ

Здесь λ – произвольное число, ℓ в частности может равняться π.

Разложение в ряд Фурье непериодической функции

Часто приходится иметь дело с функциями, заданными только в промежутке [0, ℓ]. Если для функции выполнены условия теоремы Дирихле, то ее можно представить на этом отрезке рядом Фурье. В этом случае можно сначала продолжить функцию по какому-либо закону на (-ℓ, 0), а затем продолжить на всю числовую прямую периодически с периодом 2ℓ.

Чаще всего функцию продолжают на (- ℓ, 0) четным или нечетным образом. Если функция продолжается четным образом, то есть f (−x) = f (x), то ряд Фурье содержит только косинусы и свободный член. Если же функция продолжается нечетным образом, то есть f (−x) = −f (x), то ряд Фурье содержит только синусы.

Пример. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x) =1 в промежутке [0, 1].

Решение.

bn = 2∫1 sin n πx dx = − 2 cos n πx								10 = − 2 ( (−1)n −1) =
		1
		0				nπ			nπ
		0				nπ			nπ
	2			0,		n = 2k,
	2		n
=		(1 − (−1)		) =		4	, n = 2k −1.
=	π	(1 − (−1)		) =		4
	π
	n				(2k	−1)π
					(2k	−1)π

(n = 1, 2, …; k = 1, 2,…).

∞

Ответ: 1 =

∑sin(2k −1)πx при 0 < x < 1.

πk=1

2k −1

При x = 0 и x = 1 сумма ряда равна 0.

Варианты для индивидуального домашнего задания.

I. Числовые ряды

∞

(−1)n (2n −1)

∞

(−1)n

1. а) ∑

;

б) ∑

13. а) ∑

;

б)

∑

5n+1

n=1

n=1 2

n=1 n

∞

(−1)n+1

∞

2n −

1 n

∞

(−1)n+1

2. а) ∑

;

б) ∑

14. а) ∑

;

б) ∑

+1)

7n +

n=1 n2

n=1 ln(n

n=1

∞

2n +

∞

(−1)n n

∞

(−1)n+1 ln(n +1)

3. а) ∑

;

б) ∑

15. а) ∑

;

б) ∑

3n+1

n +1

n=1

n=1 n3 + 2

n=1

∞

(−1)n+1 n

∞

(n +1)!

∞ (−1)n 2n

4. а) ∑

; б) ∑

16. a) ∑

;

б) ∑

n+1

(n +1)ln(n +1)

2n +1

n=1

∞

(−1)

∞

π;

∞

5. а) ∑

; б) ∑

17. a) ∑sin

б) ∑(−1)n

3 n2

n +1

n=1

n=1 n n

n=1

∞

n +1

∞

(−1)n+1

∞

n+1 n

6. а) ∑

; б)

∑

18. a) ∑

;

б) ∑(−1)

3n−1

3 n2

n−1

n=1

n=1 n

n=1

∞

(−1)

n+1

∞

(−1)

7. а) ∑

; б) ∑

19.

a) ∑

;

б) ∑

+1)(3n −

n=1 n 2n

n=1

n=1 (2n

n=1

∞

(−1)n+1 ln(n +1)

∞

3n +1 n

∞

n + 3

8. а) ∑

; б) ∑

20. a) ∑

;б) ∑(−1)

n +1

n=1

(n + 2)!

n=1

n=1 4n −3

n=1


∞	9	n	∞
9. а) ∑	9		; б) ∑
9. а) ∑	n!		; б) ∑
n=1	n!		n=1
∞			n
10. а) ∑			n
10. а) ∑			n5 +1
n=1			n5 +1

	(−1)n	n
	(−1)n	3n +1
		3n +1

; б) ∑∞ (−1)n+1

n=1 n3 n

		∞	(n + 2)!		∞	n+1 1
21.	a) ∑		(2n)!	;	б) ∑(−1)
21.	a) ∑			;	б) ∑(−1)			3 n5
		n=1			n=1			3 n5
22. a) ∑			n + 2 ;		б) ∑(−1)n	1
	∞				∞
	n=1	n2	+ n +1		n=1		(n +1)!

∞

(−1)

∞

(n +1)

11. а) ∑sin

; б) ∑

23.

a) ∑

;

б) ∑

(−1)n+1

n=1

4n −3

n=1 (n +1)!

n=1

n +1

∞

n+1

∞

n n2

12. а) ∑

n; б) ∑

(−1)

24. a) ∑

;

б) ∑(−1)

5n −1

+ 5

n + 7

n=1 5

n=1

∞

(2n −1)!

∞

n+1

25. a) ∑

+ 3)!

; б) ∑(−1)

(n +1) ln(n +1)

n=1

II. Степенные ряды

∞

∑

13.

∑

n=1

n 3

∞

∑

14.

∑(−1)n

n=1

(n +1)2n

n=1

∞

(2n +1)

∑

15.

∑

3 n

n=1

∞

∑

16.

∑

3n+1 n

n=1

∞

∑

17.

∑

n=1

n=1 n

∞

∑

18.

∑

n=1

(n + 2)5n

n=1 n7n

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.20211.51 Mб04739.pdf
#
08.01.2021201.66 Кб1474.pdf
#
08.01.20211.51 Mб24740.pdf
#
08.01.20211.51 Mб04741.pdf
#
08.01.20211.51 Mб24742.pdf
#
08.01.20211.52 Mб24743.pdf
#
08.01.20211.52 Mб64744.pdf
#
08.01.20211.52 Mб04745.pdf
#
08.01.20211.52 Mб24746.pdf
#
08.01.20211.53 Mб64747.pdf
#
08.01.20211.53 Mб24748.pdf