4572

Цель работы: Получение навыков в составлении уравнений регрессии второго порядка с использованием программируемых микрокалькуляторов.

6.1 Общие положения

При детальной проверке адекватности выбранной регрессионной модели может оказаться, что она весьма неудовлетворительно описывает объект исследования (модель неадекватна). Как правило, это бывает вызвано неудачным выбором вида математической модели, особенно на первой стадии анализа, когда в качестве исходной априорно принимается регрессионная модель первого порядка (линейная модель).

Так очевидно, что экспериментальную кривую у1 ;у2 ...у7 (рис.6.1), характеризующую зависимость твердости почвы (δ)от ее влажности (W,%), едва ли целесообразно аппроксимировать линейной функцией (линия АВ).

В этом случае характер изменения твердости почвы 6 в зависимости от ее влажности (W,%) более точно отражает линия дугообразной формы. Для аппроксимации экспериментальных кривых помимо линейных используют параболические, степенные, логарифмические, показательные, экспоненциальные и др. функции.

Следует отметить, что при детальном изучении рабочих процессов часто приходится обращаться к экспериментальным планам второго порядка, с помощью которых можно получить математическое описание объектов в виде полинома второго порядка. Для трех факторов уравнение регрессии второго порядка записывается в виде

у = b0 + b1x1 + b2x2+b3х3+b11 +b22 +b33 +b12x1x2+ b13x1x3 +b23x2x3 (6.1)

где b0 - свободный член; b1x1;b2x2;b3х3 -линейные члены

b11 ;b22 ;b33 - квадратичные члены

b12x1x2;b13x1x3 ;b23x2x3 - члены с парными взаимодействиями.

Уравнение 6.1 имеет сложную структуру, т.к. в нем присутствуют помимо квадратичных членов также члены с парными взаимодействиями двух различных факторов (х1х2 ;х1х3 ;х2х3). Поэтому для решения такихуравнений составляются сложные программы на языке высокого уровня (Бейсик, Фортран), решение которых осуществляется на сложных ЭВМ.

Более простой вид квадратичные функции получают в случае аппроксимации кривых, получаемых при однофакторных экспериментах. Такие кривые могут быть описаны функцией, представляющей собой параболу второго порядка

где х - варьируемый фактор, b0 ;b1;b2 - коэффициенты.

Рис.6.1 Экспериментальная кривая параболического вида

Параметры коэффициентов b0 ;b1;b2 определяются при решении системы трех уравнений

b0п + b1∑xi + b2∑xi2 =∑yi,

b0∑xi + b1∑xi2, + b2∑xi3 = ∑xiyi, (6.3)

b0∑xi2 + b1∑xi3 + b2∑xi4 =∑xi2 yi

Для решения этих уравнений использована программа (2), состоящая из 95 шагов и включающая 3 подпрограммы.

6.2 Задание. Вычислить коэффициенты квадратичного уравнения регрессии

(Задание рекомендуется для самостоятельной проработки, а также для анализов экспериментальных кривых, полученных в УИРС и СНО).

1.Составить таблицу парных значений изучаемых экспериментальных величин Xi и Уi.

2.Составить блок-схему алгоритма программы вычислений b0, b1 b2.

3.Проанализировать таблицу 6.1 распределения регистров памяти предстоящих расчетов по программе.

4.Проанализировать программу НИП-7(табл. 6.2) и инструкцию (табл. 6.3) по работе с программой, особенности составления и работы с программой НИП-7 (табл. 6.2).

4.1 Программа, предназначенная для самостоятельной проработки, в табл. 6.2 представлена построчно, с индексацией только адресов и команд. Перед использованием ее целесообразно записать в привычном виде (по столбцам), а также ввести коды и комментарии.

4.2 В связи с тем, что программа включает 95 шагов, обнуление (введение 0) регистров памяти Р0;Р1; Р2...; Р9 проводят вручную перед началом работы с программой; 4.3 Значение экспериментальных величин вводится вручную (после обнуления регистров памяти Р0 п. 4.2) в такой последовательности:

вводится значение и командой ВТ направляется в регистр стековой памяти Ру;

вводится значение Х1

введение значений для распределения в соответствующие регистры и подпрограммы осуществляется кнопкой С/П;

4.4 Очередные значения вводятся в той же последовательности, что и, т.е. после введения очередного значения нажимается клавиша В↑, а после введения - кнопка С/П.

Таблица 6.1

НИП-7. Программа определения коэффициентов уравнения регрессии параболического вида.

Контрольные вопросы

1.Поясните, в чем отличие в структуре математических моделей второго порядка от математических моделей первого порядка.

2.В каких случаях составляются уравнения регрессии второго порядка

3.Проанализируйте, как составлялась программа НИП-7 для определения коэффициентов уравнения регрессии параболического вида.

4.Проведите сравнительную оценку коэффициентов уравнений регрессии первого и второго порядка.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Доспехов Б.А. Методика полевого опыта:(С основными статистической обработки результатов исследований).- 4-е изд., перераб. и доп.- М.: Колос, 1979.-416 с.

2.Дьяконов В.П. Справочник по расчетам на микрокалькуляторе.- М.: Наука,

1985.- 224 с.

3.Микрокалькулятор "Электроника МК-61". Руководство по эксплуатации //

Ротапринт завода-изготовителя, 1984117 с.

4.Пижурин А.А. Исследование процессов деревообработки /А.А. Пижурин, М.С. Розенблит.-М: Лесн. пром-сть, 1984. -232 с.

5.Статистические методы в инженерных исследованиях (лабораторный практикум): Учеб. пособие / В.П. Бородюк, А.П. Бощинин, А.З. Иванов и др.; Под. ред.

Г.К. Круга.- М.: Высш. шк., 1983.-216 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица ТП-1

Значения t- критерия Стьюдента

(q- уровень значимости, f- число степеней свободы)

ПРОГРАММЫ ДЛЯ РАСЧЕТОВ

Тексты программ написаны на языке Turbo Pascal 7.0; готовые програм-

мы работают в среде MS-DOS, Win 9x/Me/ NT/2000/XP.

Практическое занятие № 1

Программа расчетов на микрокалькуляторе значений

, S2 S, V%, , P% .

program Project1;

Uses Crt, Printer; var x: arrayf 1.. 100] of Extended; n, i: Word;

Xs, Sx, Ss, S2, S, V, mx, P: Extended; Ch: Char;

procedure Prints(var Dest: Text); begin

WriteLn(Dest, 'Xsr=', Xs:6:4);

WriteLn(Dest, 'S^2=', S2:6:4); WriteLn(Dest, 'S=', S:6:4); WriteLn(Dest, *V=', V:6:4,'%'); WriteLn(Dest, 'mx=', mx:6:4); WriteLn(Dest, 'P= ', P:6:4,'%'); end;

begin

WriteLn('Программа анализа экспериментальных данных случайной величины');

Write('n='); Read (n);

for i:= 1 to n do begin Write('x', i, '=');

Read (x[i]); end;

for i:= 1 to n do Sx:= Sx+x[i]; Xs:= Sx/n;

for i:= 1 to n do Ss:= Ss+Sqr(x[i]-Xs); S2:= Ss/(n-l); S:=Sqrt(S2);V:=100*s/Xs;

mx:= S/Sqrt(n); P:= 100*mx/Xs; Prints(Output);

Write('Для вывода на печать нажмите Enter, иначе - Esc1); Ch:=ReadKey;

if ch<>chr(27) then begin

WriteLn(Lst, 'Programma analiza eksperimentalnyh dannyh cluchainoy velechiny'); WriteLn(Lst, 'n=', n);

for i:= 1 to n do WriteLn(Lst, Y, i, '=', x[i] :6:4); WriteLn(Lst, 'Rezultaty:');

Prints(Lst);

end;

end.

Практическое занятие № 2

Программа вычисления выборочного коэффициента корреляции program Project 1;

Uses Crt, Printer; varn, i: Word;

xs, ys: array[1..100] of Extended;

xl, x2, yl, y2, x, у, ху, г, tr: Extended; Ch: Char;

begin

WriteLn('программа определения коэффициента корреляции');

Write('n='); Read (n);

for i:= 1 to n do begin Write('x',i,'= •); Read (x); xs[i]:= x;

Write(y,i,'='); Read (y); ys[i]:= y; xl:=xl+x;yl:=yl+y;

xy:= xy+x*y;

x2:= x2+Sqr(x); y2:= y2+Sqr(y); end;

r:= (xy-x 1 *y 1 /n)/Sqrt((x2-Sqr(x 1 )/n)*(y2-Sqr(y 1 )/n)); tr:=Abs(r)*Sqrt((n-2)/(l-Sqr(r)));

WriteLn('r=', r:6:4);. WriteLn('tpac4=', tr:6:4);

\\тНе('Для вывода на печать нажмите Enter, иначе - Esc'); Ch:=ReadKey;

if ch<>chr(27) then begin

WriteLn(Lst, 'Programma opredelenya koefficienta korrelyacii'); for i:= 1 to n do WriteLn(Lst, 'x\ i, '=', xs[i],' ', 'y', i, '=', ys[i]); WriteLn(Lst, 'r=', r:6:4);

WriteLn(Lst, 'trasch=', tr:6:4); end;

end.

Практическое занятие № 3

Программа линейной интерполяции (экстраполяции) program Project 1;

Uses Crt, Printer;

var xO, X1, x2, yO, yl, y2: Extended; Ch: Char;

begin

WriteLn('программа линейной интерполяции (экстраполяции)');

Write('X0='); Read (x0:6:4);

Write('yO-); Read (y0:6:4); Write('x 1 ='); Read (x 1:6:4); Write('yl='); Read (y 1:6:4); Write('x2='); Read (x2:6:4);

y2:= yO+(x2-xO)*(y 1-у0)/(х1-х0); WriteLn('y2=', y2:6:4);

Write('Для вывода на печать нажмите Enter, иначе - Esc'); Ch:=ReadKey;

if chOchr(27) then begin

WriteLn(Lst, 'Programma lineynoy interpolyacii (ekstrapolyacii)'); WriteLn(Lst, 'X0=', x0:6:4);

WriteLn(Lst, 'y0=', y0:6:4); WriteLn(Lst,'xl=',x 1:6:4); WriteLn(Lst,'yl=',yl:6:4); WriteLn(Lst, 'x2=', x2:6:4); WriteLn(Lst, 'y2=', y2:6:4); end;

end.

Практическое занятие № 4

Программа линейного сглаживания по 3-м ординатам program project4;

Uses Crt, Printer;

var i,n: Word; y, ys: array[0..100] of Extended; Ch: Char;

begin

WriteLn(' программа линейного сглаживания по 3-м ординатам'); Write('n='); Read (n); for i:= 0 to n do begin

Write(y,i,'=');Read(y[i]);

end;

ys[0]:=(5*y[0]+5*y[l]-y[2])/6; for i:= 1 to n do

ys[i]:=(5*y[i-l]+y[i]+y[i+l])/3; ys[n]:=(5*y[n]+2*y[n-l]-y[n-2])/6; for i:= 1 to n do WriteLn('y', i, '=', ys[i] :6:4);

Write (Для вывода на печать нажмите Enter, иначе - Esc'); Ch:=ReadKey; if ch<>chr(27) then begin

WriteLn (Lst, 'Programma lineynogo sglagivaniya'); WriteLn(Lst, 'n=', n);

for i:= 1 to n do WriteLn(Lst, 'y', i, '=', y[i] :6:4); WriteLn(Lst, Tlezultaty:');

for i:= 1 to n do WriteLn(Lst, 'y', i, '=', y[i] :6:4); end;

end.

Практическое занятие № 5

Программа вычисления коэффициентов bО и b1 методом наименьших квадратов

program Project 1; Uses Crt, Printer; var n, i: Word;

xl, x2, yl, xy, x, у, b0, bl: Extended; xs, ys: array[1..100] of Extended; Ch: Char; begin WriteLn(' программа вычисления коэффициентов bО и b1 методом наименьших квадратов');

Write('n='); Read (n);

for i:= 1 to n do begin Write('x',i,'='); Read (x); xs[i]:= x; Write(y,i),= ,);Read(y);ys[i]:=y; xl:=xl+x; yl:=yl+y;

xy:= xy+x*y; x2:= x2+Sqr(x); end;

bl:= (xl*yl-n*xy)/(Sqr(x)-n*x2); bO:=(yl-bl*xl)/n; WriteLn('bO=', b0:6:4); WriteLn('bl=',bl:6:4);

Write('Для вывода на печать нажмите Enter, иначе - Esc'); Ch:=ReadKey;

if ch<s>chr(27) then begin

WriteLn(Lst, 'Programme opredelenya koefficientov b0 & bl metodom naimenyshih kvadratov');

WriteLn(Lst, 'n=', n);

'for i:= 1 to n do WriteLn(Lst, 'x', i, '=', xs[i] :6:4,' ', 'y', i, '=', ys[i] :6:4); WriteLn(Lst, 'Rezultaty:'); WriteLn(Lst, b0=', b0:6:4); WriteLn(Lst,'bl=',b 1:6:4); end;

end.

ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ Расчет основных статистических характеристик

(практ. занятие №1) ,

programme analiza eksperimentalnyh dannyh cluchainoy velechiny n= 15

xl=1.4000

x2=1.5000

x3=1.1800

х4=Г.13О0 x5=1.4200 хб-1.8000 x7=1.2000 x8=1.2400 x9=1.2800 x10-1.4800 x11=1.6000

х12=1.7000 х13=1.3000 х14=1.3800 х15=1.2000

Rezultaty: Xsr =1.3873 S^2= 0.0397 S= 0.1993 V= 14.3658% mx= 0.0515 P= 3.7092%

trasch= 282.1557

Расчет линейной интерполяции (экстраполяции) (практ. занятие №3)

Programme lineynoy interpolyacii (ekstrapolyacii) XO=3.1000

y0=810.0000

xl=3.5000

yl=860.0000

x2=3.4000

y2=847.500040

Расчет сглаживания экспериментальных данных (практ. занятие № 4) programme lineynogo sglagivaniya

n= 8 yl=15.4000 у2=17.3000 уЗ=18.1000 y4=16.7000

Rezultaty:

yl=15.4000