4572

6.После завершения работы по программе списать в тетрадь наблюдений искомые значения у2 ( . .), которые высвечиваются в индикаторе микрокалькулятора.

7.Оформить результаты вычислений по программе

Контрольные вопросы

1.Что такое линейная интерполяция и порядок определения промежуточных значений функции.

2.Общее понятие экстраполяции и порядок нахождения значений функции за пределами ее табличных значений.

4 СГЛАЖИВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Цель работы: ознакомиться с методами выбраковки и сглаживания экспериментальных данных и получить навыки их применения при проведении научных исследований.

4.1 Выбраковка экспериментальных данных

Известно, что все проводимые в практике измерения неточны и дают ошибки. По своему происхождению и величине ошибки измерений можно разделить на систематические, случайные и промахи.

Промахами называются чрезмерно большие погрешности, которые искажают результаты измерений. Измерения, содержащие промахи, следует отбрасывать и не принимать в расчет. Для того, чтобы судить о том, является ли обнаруженная ошибка промахом или нет, следует сравнить ее с другими значениями данной совокупности. С этой целью пользуются t-критерием Стьюдента (Приложение ТП-1). В этом случае сомнительный результат у временно исключают из выборки, а по оставшимся данным рассчитывают среднее арифметическое у и оценку дисперсии S2 (см. программу НИП-2, таблицы 1.4; 1.5; 1.6), затем вычисляют

где у - значение сомнительного элемента выборки, у - среднее арифметическое оставшихся элементов выборки, S2 -дисперсия.

Далее по выбранному уровню значимости q=0,05 (или q=0,01) и числу степе-

ней свободы f=n-1 из табл. 1 приложения находят табличное (tрасч) значение t- критерия Стьюдента. Если tрасч>tтабл, то анализируемый элемент является прома-

хом и его следует исключить из совокупности. Таким же способом анализируют и другие сомнительные элементы, если они имеются в выборке.

Пример 6. проверить, следует ли включать в вариационный ряд для дальнейшего исследования величину пиковой ординаты h, полученной при обработке осциллограммы (рис.4.1).

Рис. 4.1 Вид динамограммы тягового сопротивления плуга (обрабатывается методом ординат)

Таблица 4.1

Результаты обработки осциллограммы методом ординат

Высота ординаты, мм 20 22 16 18 25 60 21 23 17 24

1)Временно исключить из вариационного ряда ординату h6 = 60.

2)Используя программу НИП-2 (таблицы 1.4 - 1.6), определить величину средней ординаты х = 20,67 и дисперсии S2 = 8,89.

3)Пользуясь формулой 4.1, определить расчетный критерий tрасч = 4,37 4)Для уровня значимости q = 0,05 при количестве степеней свободы

f = n-1 = 9-1 = 8 из таблицы ТП - 1 Приложения определить табличное значение

(tтабл=3,36).

5)Анализ показывает, что tрасч > tтабл , значит h6 = 60 является промахом и при дальнейшем анализе его следует исключить из вариационного ряда.

6)Взамен исключенного из ряда значения ординаты h6 = 60 можно ввести новую ординату 1>б, расчет которой проводят одним из методов интерполяции. Для линейной интерполяции может быть рекомендована программа НИП-4 (см. раздел 3).

4.2 Задание. Произвести выбраковку экспериментальных данных вариационного ряда.

1)Получить у преподавателя экспериментальные данные или использовать результаты опытов, полученные при выполнении научных исследования или при проведении лабораторных работ.

2)Данные свести в таблицу, сомнительные величины выборки временно исключить и рассчитать критерий tpacч.

3)Сравнить tрасч с tтабл и дать заключение о возможности использования этого результата для дальнейших вычислений.

4) В случае выбраковки сомнительного элемента необходимо методом линейной интерполяции (см. раздел 3) определить новое численное значение исключенного элемента и внести в таблицу экспериментального вариационного ряда для последующего учета и получения основных статистических характеристик.

4.3Сглаживание эмпирических данных с ошибками

Вслучае, когда экспериментальные данные, по которым реализуются табличные значения функции у = f (х) , содержат случайные ошибки, проводят их сглаживание. Наибольшее применение для выравнивания экспериментальных данных,

полученных при постоянном шаге (h) аргумента (хi), имеет способ наименьших квадратов.

По этому способу сглаженные значения неплавной функции определяются из выражения

где у-2, у-1;у0;y1 и у2 - пять последних значений функции.

Достоинство этого способа - его точность, особенно для параболических зависи-

мостей. Недостаток - отсутствие сглаживания двух первых и двух последних точек, поэтому сглаживание по способу наименьших квадратов применимо лишь при количестве узлов (точек) [8].

Для практических целей наиболее удобными считаются интерполяционные методы выравнивания экспериментальных данных по трем или пяти координатам (узлам). Расчеты удобно проводить с использованием программируемых микрокалькуляторов.

Например, достаточно высокую точность приближения получают при использовании линейного интерполяционного сглаживания по трем ординатам. При этом расчетные значения сглаживаемых величин определяется по формулам [2]:

Ниже приводятся программа и инструкция по ее использованию для сглаживания эмпирических данных методом интерполяции.

4.4 Программа расчетов на микрокалькуляторе для сглаживания эмпирических данных

Как видно из предыдущего анализа, программа расчетов на микрокалькуляторе должна состоять из 3-х основных частей. В первой части программы рассчитывается у (ф.4.2), во второй определяются значения у в интервале

Таблица 4.1 Распределение регистровой памяти микрокалькулятора при работе с программой

НИП—4

В таблице 4.2 приводится программа сглаживания табличных значений методом 3-х ординат.

Инструкция работы с программой представлена в таблице 4.3.

Пример 7. Работа с микрокалькулятором при отладке программы [2]. Провести сглаживание эмпирических данных, представленных в таблице 4.4 с использованием программы (табл. 4.2).

4.5Задание. Произвести сглаживание экспериментальных данных по трем точкам

1) Получить необходимые данные у преподавателя.

2)Ознакомиться с распределением регистровой памяти микрокалькулятора (табл. 4.1)и инструкцией работы с программой НИП- 5.

3) Используя программу НИП - 5, произвести ее отладку на контрольном примере и произвести сглаживание полученных экспериментальных данных

Таблица 4.2

НИП - 5 Программа линейного сглаживания по 3-м ординатам

Таблица 4.3

Инструкция работы с программой НИП - 4

Контрольные вопросы

1.Дайте определение промаха измеряемой величины и поясните порядок ее выбраковки.

2.Какими способами осуществляется сглаживание экспериментальных данных. 3.Порядок сглаживания экспериментальных данных по трем ординатам на программируемом микрокалькуляторе.

5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Цель работы: научиться определять коэффициенты и составлять уравнения регрессии первого порядка по результатам обработки экспериментальных данных с использованием метода наименьших квадратов.

5.1 Применение метода наименьших квадратов для составления уравнения регрессии

В результате выполнения экспериментальных исследований интересующая нас функция обычно оказывается заданной в табличном виде, когда значениям аргумента (варьируемым факторам)x1; х2…хn соответствуют конкретные значения функции отклика y1 ;y2 ...уn . Для получения аналитического выражения, являющегося функцией отклика, проводят регрессионный анализ, позволяющий получить уравнение регрессии в виде приближенной эмпирической формулы, с помощью которой можно с заданной точностью оценить степень и характер влияния каждого из факторов на выходную величину.

Переход от табличных экспериментальных данных к аналитическим зависимостям может осуществляться различными способами. Наиболее распространенный из них является метод наименьших квадратов.

При пользовании этим методом обычно предварительными исследованиями определяют предполагаемый вид искомой функции

у = f (х).

Далее находят основные параметры аналитической функции, которая с минимальной погрешностью приближалась бы к исходной функции

у = f (x). Таковому условию в наилучшей степени отвечает требование о том, чтобы сумма квадратов отклонений ∑∆ откликов (y1;y2 ;...уn) от линий функции у = f (x) была бы минимальной. Указанный метод и получил наименование метода наименьших квадратов. С его помощью могут быть определены коэффициенты уравнений регрессии линейного, параболического, степенного, гиперболического, экспоненциального и т.п. видов.

В целом ряде случаев сущность полученных в результате экспериментов функциональных зависимостей оказывается неизвестной, в результате чего никаких предварительных предположений об общем виде уравнений сделать бывает невозможно. В таких случаях приходится ограничиваться подбором наиболее простых формул, результаты вычислений по которым ближе всего подходят к обоснованию функциональных связей экспериментальных данных.

На первых этапах исследований чаще всего обращаются к регрессионным моде-

где b0 и b1 - коэффициенты линейного приближения, определяемые по формулам:

Применение уравнений 5.1-5.3 становится наиболее целесообразным, когда и ходе эксперимента наблюдается при возрастании факторов близкое к пропорциональному возрастание или убывание откликов.

Ниже приводится программа НИП - 6 (табл.5.2) и инструкции по ее пользованию(табл. 5.3),предназначенная для определения коэффициентов линейного уравнения регрессии. В разделе 6 приведена программа для определения коэффициентов уравнения регрессии параболического вида. Для отыскания другого типа можно воспользоваться программами, приводимыми в специальной литературе (4).

5.2 Задание. Вычислить коэффициенты и найти линейное уравнение регрессии

Порядок выполнения 1.Получить у преподавателя таблицу парных значений изучаемых эксперимен-

тальных величин хi и уi.

Примечание: При выполнении задания с элементами УИРС или при выполнении научных исследований студенты используют значения хi и уi полученные в результате проведенных опытов.

2.Составить блок-схему алгоритма программы вычислений.

3.Проанализировать таблицу 5.1 распределения регистров памяти предстоящих расчетов по программе.

4.Проанализировать программу (табл.5.2) и инструкцию (5.3) по работе с программой.

5.Ввести программу в микрокалькулятор и, пользуясь инструкцией (табл.5.2), поочередно ввести в него:

-количество парных данных n;

-значения хi; -значения уi.

Примечание. Программа составлена с использованием диалоговой формы введения данных. Чтобы не допускать ошибок, каждый раз перед вводом в программу значений хi или yi в индикаторе высвечивает их порядковый номер (1, 2,3...n).

6.После завершения счета по программе в соответствующих регистрах микрокалькулятора отыскать значения b0(Ра) и bi(Pb) и занести их в соответствующую строку табл.5.1.

7.Составить уравнение регрессии

Пример 8. Найти коэффициенты b0 и b1| и составить уравнение регрессии для экспериментальных данных, деформации (мм) древесных образцов в зависимости от давления прижима (мПа). Результаты эксперимента (1) сведены в таблицу 5.4.

Таблица 5.1

Распределение регистровой памяти микрокалькулятора

Таблица 5.2 НИП - 6. Программа вычисления коэффициентов b0 и b1, методом наименьших

квадратов

После обработки данных по программе НИЛ - 6 (табл. 5.2) получены следующие результаты:

b0 =0,01439186, b1=0,12256756

Округлив значения b0 и b1, составим уравнение регрессии y = -0,0144 + 0,123х

Таблица 5.3

Инструкция работы с программой НИЛ – 6

Контрольные вопросы

1.В чем заключается сущность метода наименьших квадратов?

2.Дайте анализ регрессионной модели первого порядка.

3.По каким формулам рассчитываются коэффициенты линейного уравнения регрессии?

4.Порядок расчета коэффициентов уравнения регрессии с использованием программируемого калькулятора.

6 СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА