4572

1.5 Задание и порядок выполнения

1)Получить у преподавателя или снять путем измерений выборку случайной величины, состоящую из 50 + 100 значений и, используя программу НИП-2, рассчитать среднее значение х, дисперсию S2, среднее квадратическое отклонение S, коэффициент вариации V, среднеквадратическую ошибку среднего и точность опыта Р.

2)Оценить изменчивость изучаемого признака, считая, что если коэффициент вариации V≤10%, то изменчивость незначительная V > 10% -средняя и при V > 20 % - значительное.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение случайной величины.

2.Назовите основные статистические характеристики случайных величин и их вычисления.

3.Каким образом производится построение вариационного ряда, диаграммы накопления частот и гистограммы выборки случайных величин.

4.Поясните порядок расчета среднего, дисперсии, среднего квадратического отклонения, коэффициента вариации, среднеквадратической ошибки среднего и точности опыта на программируемом микрокалькуляторе.

2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ СВЯЗИ

Цель работы: изучение и определение статистической связи между двумя исследуемыми величинами с помощью коэффициента корреляции r и t - критерия

Стьюдента.

2.1Общие положения

Впроцессе обработки статистических данных часто приходи определять зависимость или корреляционную связь средней величины одного признака и варьируемых значений другого. Количественная оценка такой статистической связи осуществляется

спомощью коэффициента корреляции (r), величина которого определяется по форму-

ле (2.1)

(2.1)

где xi,yi - значения параметров (признаков) двух одновременно получаемых выборок

типа х1,х2,... хn и y1,y2,... уn;

n - количество наблюдений.

При наличии линейной корреляционной связи изучаемых признаков величина выборочного коэффициента корреляции колеблется в пределах -1<r<+1. При положительном г можно предполагать, что с возрастанием одной из случайных величин, другая, в среднем тоже возрастает, т.е. имеется положительная связь. При отрицательном г, с ростом одной из них, другая, в среднем, убывает.

Чем ближе величина r к (+1) или (-1), тем больше степень линейной зависимости между рассматриваемыми случайными величинами. При r=0 линейная статистическая связь между случайными величинами отсутствует (некоррелированные величины) или связи имеют криволинейный характер. Но обычно r≠0. Для выяснения того, будут ли в этом случае некоррелированные признаки х и у, вычисляют величину

Величину tpacч сравнивают с табличным значением t -критерии Стьюдента (tтабл), найденным при выбранном уровне зависимости q и числе степеней свободы f=n-2. Если tpacч < tтабл, принимается гипотеза о некоррелированности величин х и у. В противном случае коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, т.е. между величинами х и у существует линейная статистическая связь.

2.2 Задание и порядок выполнения

Дать заключение о наличии корреляционной связи между парными показателями х и у.

1) Получить у преподавателя таблицу парных значений изучаемых величин хi и yi. Примечание.При выполнении задания с элементами УИРС или при имполпении

научных исследований студенты используют значения х и у, помученные при проведении опытов.

2) Проанализировать табл. 2.1 распределения регистров памяти применительно к выполняемым вами расчетам.

Таблица 2.1 Распределение регистровой памяти микрокалькулятора при работе с программой

НИП-3

3) Составить, пользуясь табл. 2.2, программу расчета значений r и tрасч

Таблица 2.2 Программа НИП-2 вычисления коэффициента корреляции [2]

Продолжение табл. 2.2

4)Пользуясь инструкцией по работе с программой (табл.2.3), на основании данных, полученных от преподавателя, поочередно ввести в нее

и количество парных значений х и у, значения хi, и yi,.

5)По окончании счета по программе записать в строку 2 табл. 2.1

полученные значения r и tрасч. По указанию преподавателя, с целью контроля операций счета, по формуле 2.1 в строку 2 вносят также остальные указанные в ней значения.

6)Провести анализ по величине г степени линейной зависимости (см. раздел 2.1) между изучаемыми признаками х и у.

7)Определить табличное значение t - критерия Стьюдента (см. таблицу ТП-1 приложения) для уровня значимости q = 0,05, предварительно определив число степеней свободы f = n-2 (2.3).

8)Установить статическую связь между величинами х и у, если

tрасч <tтабл, принимается гипотеза о некоррелированности величин х и у; если tрасч >tтабл, принимается гипотеза о существовании между х и у статистической связи. Пример 5. Для 5 пар (n=5) значений xi и уi.

r=0,99872802.

Табличный коэффициент Стьюдента при q=0,05 и f=5-2=3 равен tтабл=3,18, то-

гда tрасч > tтабл (4,85>3,18).

Это свидетельствует о том, что коэффициент корреляции значимо отличается от нуля. Поскольку r>0 (0,998 > 0), между значениями х и у существует линейная статистическая связь, при которой с возрастанием одной из случайных величин другая в среднем возрастает.

Контрольные вопросы

1.Что понимается под корреляционной связью и как она оценивается? 2.Что такое коэффициент корреляции?

3.Как определяют табличное значение t-критерия Стьюдента? 4.Что такое уровень значимости?

5.Как проводится оценка статистической связи случайных величин?

3 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ИНТЕРПОЛЯЦИИ И ЭКСТРАПОЛЯЦИИ ДЛЯ АНАЛИЗА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Цель работы: изучение методов линейной интерполяции и экстраполяции и при анализе результатов экспериментальных исследований.

3.1 Общие положения

Выполнение экспериментов связано с изучением влияния различных воздействий (факторов) на объект исследования. Факторы (х), действующие на объект, изменяют его состояние. По величине отклика (у) судят об изменении состояния объекта. В результате выполнения опытов, в которых изучаемые факторы (х) варьируются на определенных заданных уровнях х1, х2,… хn, могут быть получены выходные значения с величиной отклика у1,у2 …уn соответственно. Записанные в таблицы в необходимой последовательности парные значения факторов хi, и откликов yi представляют функцию вида у = l(х), выраженную с помощью ее численных значений.

Большим удобством табличного способа задания функции является то, что значения функции уже вычислены для соответствующих аргументов. Однако при табличном способе задания функции она определяется дискретно, только в точках аргумента, называемых узлами (x1; х2; ... хn), интервал между которыми называется шагом (h)

h=x2-x1; h2= х3-х2;... hn-1= xn-xn-1,

Однако нередко для детального анализа результатов исследований требуется знать значение функции для аргументов, значений которых нет в таблице. Тогда приходится производить дополнительные вычисления:

интерполяцию (для значений аргумента, лежащих в промежутке двух соседних

факторов хi+1 +хi);

экстраполяцию (для значений аргумента, лежащих за пределами изучаемых факторов).

3.2. Метод линейной интерполяции

Интерполяция заключается в нахождении значений функции y = f(x), заданной n узлами, в промежутки между этими узлами.

Рассмотрим метод линейной интерполяции на примере некоторой функции у = f(x), график которой изображен на рис. 3.1. Пусть для этой функции известны ее табличные значения f(х0) = у0 и f(x0 + h) = y,в двух

соседних узлах х0 и x1= x0+h,но неизвестны при промежуточном значении х2,где х0 <х2< х1.Линейную интерполяцию проводят, используя формулу

где h - шаг между соседними узлами.

Рис. 3.1 Схема линейной интерполяции.

В табл. 3.2. приведена программа НИП-4 линейной интерполяции для программируемого микрокалькулятора, позволяющая определить значения у2 (при х2), координаты которого расположены в промежутке между х0 и х1, (при известных значениях у0 и yi). В табл. 3.1 дан порядок распределения регистровой памяти микрокалькулятора в программе НИП-5. В табл. 5.3 приведена инструкция работы с программой.

3.3 Метод линейной экстраполяции

Экстраполяция заключается в нахождении функции y=f(x) для значений аргументов, лежащих за пределами факторов, задействованных в эксперименте. Пусть для функции y=f(x) известны ее табличные значения f(x0)=y0 и f(x0+h)=y1 в двух соседних узлах при х0 и х1= x0+h и неизвестны

при хо>х2>х1, (х0<х2<х1,).

Как видно из рис. 3.2., линейную экстраполяцию производим по той же формуле (3.1), что и линейную интерполяцию.

Поэтому линейную экстраполяцию проводим по той же схеме, что и линейную интерполяцию, с использованием табл. 3.1; 3.2; 3.3.

3.4 Задание. Провести линейную интерполяцию (экстраполяцию) экспериментальных данных.

Данные, используемые для интерполяции, получают по результатам выполненных лабораторных работ, включенных в план УИРС или научных исследований, проводимых в лабораторных или полевых условиях. Полученные данные должны

включать значения: х0,у0,х1,y1 и т.д.

Рис. 3.2 Схема линейной экстраполяции

Таблица 3.1

Распределение регистровой памяти микрокалькулятора

3. Проанализировать, пользуясь таблицей 3.2, программу линейной интерполяции (экстраполяции) и ввести ее в микрокалькулятор. 4.Пользуясь инструкцией по работе с программой (табл. 3.3), поочередно ввести в микрокалькулятор:

значения х1;x0;у1; у0;

промежуточное значение х2, для которого проводится интерполяция и определяет-

ся у2.

5.Если интерполяция проводится для отыскания нескольких значений х2( . и т.д.), а программу вводят последовательно эти значения . , и проводят расчеты в соответствии с п. 13 инструкции.