21

направлено по радиусу от точки М к оси вращения (рис.К2.2).

Так как векторы aMτ и aMn взаимно перпендикулярны, то модуль их суммы (модуль полного ускорение точки М) определяется по теореме Пифагора

Так как груз Р совершает прямолинейное поступательное движение, его ускорение равно первой производной по времени от скорости

Ускорение груза постоянно во все время движения и знаки aP и vP одинаковы (положительные), следовательно, груз движется равноускоренно.

Направления вращения валов и векторы скоростей и ускорений точки М и груза Р указаны на рисунке К2.2.

ω1ϕ1

Рис. К2.2

ОТВЕТ: ω3 =1,2 c−1; ε3 =1,2 c−2 ; v M = 60 см с ; vP =30 смс; aM = 46,86 смс2 ; aP = 30 смс2 .

Указания. Задача К–3 на сложное движение точки. При ее решении движение точки по фигуре D считать относительным, а вращательное движение самой фигуры – переносным и воспользоваться теоремами о сложении скоростей и сложении ускорений. Прежде чем производить расчеты, следует изобразить точку М в том положении, в котором нужно определить ее абсолютную скорость (или ускорение), а не в произвольном положении, показанном на рисунке к задаче.

25

НАЙТИ: в заданный момент времени абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М. Показать на чертеже положение точки в момент времени t1, а также найденные векторы скорости и ускорения.

РЕШЕНИЕ Абсолютное движение точки М относительно неподвижной плоскости, в

которой вращается рамка D, является сложным и состоит из двух движений: относительного по рамке и переносного вместе с рамкой.

Для определения относительного движения мысленно остановим рамку (исключим переносное движение), тогда точка движется по дуге окружности OM, т.е. эта дуга траектория относительного движения точки М. Относительное движение точки заданно естественным способом. Найдем положение точки М на относительной траектории:

В заданный момент времени

vотн (5) = π2 5 = 2,5π = 7,85 (смс),

причем вектор vотн направлен по касательной к траектории относительного движения, т.е. перпендикулярно O2M вправо ( vотн > 0) (рис. К3.2).

Относительное ускорение точки М

26

aотн = aотнτ + aотнn .

Касательное относительное ускорение

aотнτ = dvdотнt = π2 t / = π2 =1,57 (смс2 )

и aотнτ направлено так же, как и относительная скорость (рис.К3.3). Так как касательное относительное ускорение не зависит от времени и и

aотнτ > 0 , то относительное движение точки равноускоренное. Нормальное относительное ускорение

и aотнn направлено к центру кривизны относительной траектории от М к О2

(рис.К3.3).

Для определения переносного движения точки М мысленно остановим в рассматриваемый момент времени точку на относительной траектории в положении М1 (исключим относительное движение). Тогда, вращаясь вместе с телом D, точка М1 описывает окружность радиуса М1О1 с центром в точке О1. Эта окружность – переносная траектория точки в момент времени t1 = 5 c . Найдем радиус этой окружности

M1O1 = O1O2 −O2M1 = R 2 − R = R 0,41см.

Переносную скорость и переносное ускорение точки найдем как скорость и ускорение точки М1, принадлежащей вращающемуся телу D:

vпер = ωпер M1O1;

27

aпер = aперτ +aперn ,

Найдем угловую скорость и угловое ускорение переносного движения:

ωпер = dϕdперt = 4 −0,2 2t = 4 −0,4 t (с−1 ) .

εпер = dωdперt = −0,4(с−2 ) .

Поскольку ωпер > 0, εпер < 0 и εпер не зависит от времени, то переносное вращение равнозамедленное.

Врассматриваемый момент времени

vпер (5) = ωпер (5) M1O1 = 2 25 0,41 = 20,5 (смс).

Вектор vпер направлен перпендикулярно М1О1 в сторону переносного враще-

ния (рис. К3.2).

Касательное переносное ускорение

aперτ = εпер (5) M1O1 = −0,4 25 0,41 = −4,1 (смс2 ).

Вектор aперτ направлен противоположно vпер (рис.К3.2).

Нормальное переносное ускорение

aперn = (ωпер (5))2 M1O1 = 22 25 0,41 = 41 (смс2 ).

Вектор aперn направлен от точки М1 к О1 (рис.К3.3).

Для определения абсолютной скорости применим теорему о сложении скоростей в сложном движении

vабс = vотн + vпер.

В данной задаче векторы vотн и vпер направлены в одну сторону вдоль одной прямой (рис. К3.2), следовательно, модуль vабс:

Ускорение Кориолиса aкор = 2 [ωпер, vотн]. Определим модуль ускорения Кориолиса

aкор = 2 ωпер vотн sin (ωпер, vотн).

Переносное вращение происходит вокруг оси, перпендикулярной плоскости рамки D, поэтому угол между переносной угловой скоростью ωпер и относи-

тельной линейной vотн равен 90°, тогда aкор = 2 2 7,85 1 = 31,4 (смс2 ).

Для определения направления aкор в данной задаче, вектор относительной ско-

рости необходимо повернуть на прямой угол в направлении переносного вращения (правило Жуковского), т.е. вектор aкор направлен от М1 к О1 (рис.К3.3).

30

ЗАДАЧА К4. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА

Плоский механизм состоит из стержней и ползуна (рис. 0 - 4), стержней и колес (рис. 8, 9) и стержней (рис. 5 - 7), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами шарнирами. Длины стержней и радиусы колес заданы в таб-

лице 7. Кривошип ОА вращается с угловой скоростью ωOA против часовой стрелки. Для заданного положения механизма найти:

1.скорость точки А;

2.положение мгновенного центра скоростей и угловую скорость звена АВ;

3.скорости точек В (в варианте 5 скорость точки D) и С (средняя точка звена АВ или точка на ободе колеса);

4.в вариантах механизма 5 - 7 угловую скорость звена ВО1, а в вариантах 8,

9 угловую скорость колеса радиуса R.

Мгновенный центр скоростей и векторы скоростей точек изобразить на схеме