11

ЗАДАЧА К1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

и изобразить траекторию точки (кривую, которую точка описывает при своем движении, считая, что движение начинается в момент времени t0 = 0 ); определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения в момент времени t1 (табл. 3) и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Показать на чертеже положение точки в момент времени t1 и найденные векторы скорости и ускорения точки.

Таблица 2

12

Таблица 3

Предпоследняя цифра шифра

Указания. Задача К1 решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки.

В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы

sin 2 α + cos2 α =1,

cos 2α =1 − 2 sin 2 α = 2 cos2 α −1, sin 2α = 2sin αcos α

НАЙТИ: и изобразить траекторию точки (кривую, которую точка описывает при своем движении, считая, что движение начинается в момент времени t0 = 0 ); определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения в момент времени t1 и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Показать на чертеже положение точки в момент времени t1, а также векторы скорости и ускорения.

РЕШЕНИЕ 1) Для определения траектории движения точки исключим из уравнений движения время t

13

y2

Уравнение траектории x = 8 −1 – парабола, осью симметрии которой, яв-

ляется ось x. Так как время не может быть отрицательным, то траекторией движения точки будет только ветвь параболы, лежащая выше оси x.

4)Найдем касательное и нормальное ускорения точки ar =arτ +arn

Для вычисления касательного и нормального ускорений можно использовать формулы:

5)Определим радиус кривизны траектории.

6)Определим положение точки в начальный момент времени t0 = 0 и в мо-

мент времени t =t1 = 2 c : x0 = −1, y0 =0 , x1 =1, y1 = 2. Построим траекторию движения точки (рис. К1.1). Положения точки в начальный момент времени и в момент t1 должно быть на траектории. Изображаем векторы скорости

и ускорения точки, приложенные в точке (x1,y1 ). При этом вектор скорости строится по своим составляющим v = vx + vy и должен быть направлен по

касательной к траектории. Вектор ускорения построим двумя способами: по составляющим ar =ax +ary и по составляющим a =aτ +arn . Векторы ускоре-

ния, построенные первым и вторым способами должны получиться одинаковыми.

Рис. К1.1

15

ЗАДАЧА К2. ПЕРЕДАЧА ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ

Ведущий вал 1 передает с помощью передачи вращение валу 2, 3 и 4. Закон вращения ведущего вала 1 – ϕ1, рад. Радиусы валов заданы. Необходимо в момент времени t1 найти угловую скорость и угловое ускорение вала 4, скорости и ускорения точки М и груза Р. Необходимые данные приведены на рисунках 0 – 9 и в таблице 4.

16

3 4

1

ϕ 1

19

М

3

Рис. К2.1

РЕШЕНИЕ

1.Расчет скоростей.

Так как известен закон вращения вала 1, то находим его угловую скорость

как первую производную от угла поворота ϕ1:

Скорость точки А касания валов 1 и 2 (зубчатая передача) по формуле Эйлера:

Эту же скорость имеют все точки ремня и обода вала 3, радиуса R3 (ременная передача), в том числе и точка М:

20

2.Расчет ускорений.

Угловое ускорение вала 3 равно первой производной по времени от уг-

ловой скорости ω3 :

Угловое ускорение ε3 = const и ε3 ω3 > 0 , следовательно, вал враща-

ется равноускоренно.

Так как точка М принадлежит вращающемуся телу – валу 3, то ее ускорение равно сумме двух ускорений – касательного и нормального:

направлено по касательной к ободу вала 3, в ту же сторону что и скорость точки М, так как вал вращается равноускоренно, а нормальное или центростремительное ускорение точки М