3294
.pdf
24
( t1, t2 , t3 ). Зная комнатную температуру tK , можно рассчитать абсолютную темпера-
туру каждого спая |
|
|
T1 = t1 + tK + 273; |
T2 = t2 + tK + 273; |
T3 = t3 + tK + 273. (2) |
Благодаря хорошей теплопроводности меди, изменение температуры внутри медного диска незначительно. Поэтому можно считать, что показание термопары 1 соответствует температуре верхней поверхности эталонного диска, показание термопары 2 – температуре нижней поверхности эталонного и верхней поверхности исследуемого дисков, а показание термопары 3 – температуре нижней поверхности исследуемого диска.
Применить закон Фурье для определения коэффициента теплопроводности можно только в том случае, если установился стационарный (то есть не изменяющийся с течением времени) поток тепла от плитки А к пластине В . Стационарный поток устанавливается лишь через некоторое время после включения электроплитки.
Согласно закону Фурье (1), количество тепла, переносимое через сечение эталонного диска площадью S за время τ , приблизительно равно
Q = λ |
|
T2 −T1 |
|
S τ . |
(3) |
|
|||||
1 1 |
l1 |
|
|
||
Количество тепла, переносимого за то же время через сечение исследуемого диска, приблизительно равно
Q2 |
= λ2 |
T3 −T2 |
|
S τ . |
(4) |
l2 |
|||||
При стационарном переносе тепла Q1 = Q2. Приравнивая правые части (3) и (4), получим выражение для коэффициента теплопроводности исследуемого диска
λ |
|
= λ |
T1 −T2 |
|
l2 |
. |
(5) |
|
|
|
|||||
|
2 |
1 T2 −T3 |
|
l1 |
|
||
25
Параметры установки: λ1 =12Вт/м К; l1 = 20мм; l2 = 2 мм.
Приборы и принадлежности: установка для изучения явления теплопроводности; часы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1.Включите электроплитку в сеть ~220 В.
2.После включения электроплитки в течение 40-45 минут с интервалом 5 минут запи-
сывайте в табл. 1 показания гальванометра G (рис. 1), последовательно подключая его с помощью переключателя П к каждой термопаре.
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
|
|
τ , мин |
n1 |
, деления |
n2 , деления |
n3, деления |
|
|
|||||
5 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
Стационарный
режим
3. На одном графике постройте зависимости n1, n2 и n3 от времени. По горизонтальной оси откладывайте время τ в минутах, по вертикальной оси – значения n1, n2 и
n3 .
4. Убедитесь, что установился стационарный режим переноса тепла, то есть показания гальванометра, подключенного к любой из термопар, начиная с некоторого момента време-
ни, не меняются со временем. Если это так, то графики зависимостей n1(τ ), n2 (τ ) и
n3(τ ) имеют участок, параллельный оси времени τ .
5.После установления стационарного режима определите показания n1, n2 , n3 гальванометра и запишите их в последнюю строку табл. 1.
26
6. Используя значения n1, n2 и n3 для стационарного режима, по градуировочному графику термопары (рис. 2), найдите разницу температур t для каждой термопары. По формулам (2) определите абсолютную температуру каждого медного диска. Значения Т1, Т2 и Т3 запишите в отчет.
7.По формуле (5) рассчитайте коэффициент теплопроводности λ2 исследуемого мате-
риала.
8.Вычислите абсолютную погрешность величины λ2 и запишите доверительный ин-
тервал
|
λ2 = λ2 |
± |
λ2 . |
|
|||||
Для этого определите и запишите в отчет значения погрешностей |
|||||||||
n1, |
n2, |
n3, |
|
|
l1, |
|
l2 и λ1. |
||
В качестве погрешностей n1, |
n2 , |
|
n3 |
возьмите приборную погрешность гальвано- |
|||||
метра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
= |
|
|
γ |
x |
|
, |
|
пр |
100 |
m |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
где γ - класс точности гальванометра; xm - предел измерения гальванометра в делениях. В качестве погрешностей l1, l2 и λ1 возьмите половину единицы последнего значащего разряда соответствующего значения.
27
Используя значения n1, n2 и n3 для стационарного режима, рассчитайте относительные частные погрешности
ε |
|
= |
|
n |
1 |
|
, |
ε |
|
= |
(n1 −n3 ) n2 |
|
|
, ε |
|
= |
n3 |
, |
||||
n1 |
|
|
|
n2 |
(n1 −n2 )(n2 −n3 ) |
n3 |
n2 −n3 |
|||||||||||||||
n1 −n2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
εl |
|
= l1 , |
|
εn = |
l2 |
, |
ελ |
|
= λ1 . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l1 |
|
1 |
l2 |
1 |
λ1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Рассчитайте относительную погрешность величины λ2
ε = 
εn21 + εn22 + εn23 + εl21 + εl22 + ελ21 . Абсолютная погрешность коэффициента теплопроводности
λ2 = λ2 ε .
9. По формуле (3) рассчитайте количество теплоты Q1, переносимое через сечение эталонного диска за время τ , указанное преподавателем или индивидуальным заданием. (Диа-
метр эталонного диска d = 60мм).
10. Рассчитайте приблизительные значения градиентов температур в эталонном и исследуемом дисках
dTdx эт
≈ |
T |
2 |
−T |
1 |
dT |
≈ |
T |
3 |
−T |
2 |
|
||
|
|
и |
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
l1 |
|
dx ис |
|
|
|
l2 |
|
|
||
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.В чем заключается явление теплопроводности?
2.Сформулируйте закон Фурье для стационарного переноса тепла.
3.Каков физический смысл коэффициента теплопроводности?
4.Какое предположение делается в работе о величине градиента температуры в медных дисках?
5.Почему измерения коэффициента теплопроводности в работе должны производиться только при установлении стационарного режима?
6.Если λ2<λ1, то в каком диске – эталонном или исследуемом – будет больше градиент температуры в стационарном режиме?
7.Чему равен поток тепла через образец, температура которого одинакова во всех точках?
8.Каким образом в работе определяется температура?
9.Как в работе устанавливается, что тепловой поток стал стационарным?
10.Измерение какой из величин вносит основной вклад в погрешность Δλ2?
Библиографический список
1. Т.И. Трофимова. Курс физики, 2000, § 48.
28
Лабораторная работа № 3.5 (18)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ CP ВОЗДУХА
CV
Цель работы: изучение первого закона термодинамики и теории теплоемкости идеального газа; измерение γ = CP 
CV воздуха.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ
Первый закон термодинамики
Количество теплоты δQ , сообщенное системе, расходуется на приращение внутрен-
ней энергии dU системы и на совершение ею работы δA против внешних сил |
|
δQ = dU + δA . |
(1) |
Соотношение (1) является частной формой закона сохранения энергии применительно к тепловым (термодинамическим) процессам.
Теплоемкость
Теплоемкостью тела называется физическая величина, численно равная количеству теплоты, которое надо сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один градус. Если сообщение телу количества теплоты δQ повышает его температуру на dT , то теплоем-
кость C тела по определению равна |
|
C = δQ . |
(2) |
dT |
|
Удельной теплоемкостью Cуд называется теплоемкость единицы массы вещества. Справедливо равенство C = mСуд , где m – масса тела.
Молярной теплоемкостью CM называется теплоемкость одного моля вещества CM = MCуд , где M – молярная масса (масса моля).
Теплоемкость идеального газа2 зависит от условий, при которых происходит нагревание газа. Если газ нагревается при постоянном объеме (V = const ), то это теплоемкость при постоянном объеме и обозначается CV (молярная теплоемкость CMV ). Если газ нагревается при постоянном давлении ( р =const ), то это теплоемкость при постоянном давлении и обозначается CP (молярная теплоемкость CMP ).
Молярные теплоемкости CMV и CMP связаны уравнением Майера
CMP =CMV + R , |
(3) |
где R = 8,31 Дж/(мольּК) – универсальная газовая постоянная.
2 Идеальным газом называется газ, молекулы которого не взаимодействуют между собой на расстоянии и суммарный объем молекул много меньше объема газа.
29
При нагреве газа в жестком замкнутом сосуде (V = const ) все передаваемое тепло, согласно (1), идет только на увеличение внутренней энергии газа: δQ = dU . Нагревая тот
же газ в сосуде с подвижным поршнем (P = const ), будет наблюдаться не только увеличение температуры (или внутренней энергии) газа, но и его расширение, то есть совершение газом работы над внешними телами: δQ = dU +δA . Поэтому во втором случае нужно за-
тратить большее количество теплоты, чтобы нагреть газ на один градус, то есть Для идеального газа согласно классической теории теплоемкостей
C = |
iR |
, |
(4) |
MV |
2 |
|
где i – число степеней свободы молекулы газа.
Число степеней свободы
Число степеней свободы молекулы – это минимальное число координат, определяющих положение молекулы в пространстве. Для подсчета числа степеней свободы атомы в молекуле считают материальными точками. Если молекула одноатомная, то i = 3 (три координаты x , y ,
z ). Если молекула двухатомная и межатомное расстояние фиксировано3, то i = 5 (три координаты x , y , z ) одного атома и два угла поворота (θ , ϕ ) второго атома вокруг первого. «Жесткие»
многоатомные молекулы аналогичны твердому телу, положение которого в пространстве описывается шестью координатами: три координаты (x , y , z ) центра масс молекулы и три угла по-
ворота (θ , ϕ , ψ ) молекулы как целого вокруг центра масс, так что i = 6. Для линейных многоатомных молекул (например, для СО2), у которых все атомы расположены вдоль одной линии, число степеней свободы
Уравнение Клапейрона-Менделеева
Уравнение Клапейрона-Менделеева – это уравнение состояния идеального газа, которое имеет вид
рV = |
m |
RТ , |
(5) |
|
|||
|
M |
|
|
где р – давление газа, V – объем, T – абсолютная температура, m – масса, M – молярная масса, R – универсальная газовая постоянная.
Изопроцессы
Изопроцессы – это термодинамические процессы, при которых один из параметров состояния (P , V или T ) системы остается постоянным. Изотермический процесс – процесс при постоянной температуре. Для идеального газа из (5) получаем (при неизменной массе): PV = const .
Изохорический процесс – процесс при постоянном объеме: P
T = const . Изобарический процесс – процесс при постоянном давлении: V 
T = const .
Адиабатический процесс
3При малых температурах колебаниями атомов в молекуле можно пренебречь.
30
Адиабатическим процессом называется процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой.
Первый закон термодинамики для адиабатического процесса имеет вид: δA = −dU , поскольку δQ = 0. Это значит, что система может совершать работу над внешними телами за счет уменьшения своей внутренней энергии. Поэтому, например, охлаждается первоначально сжатый в баллоне газ при открывании баллона и резком уменьшении давления. За короткое время газ не успевает обменяться теплом с внешней средой (то есть процесс адиабатический), и работа по вытеснению газа совершается за счет внутренней энергии оставшегося в баллоне газа.
Адиабатический процесс для идеального газа описывается уравнением Пуассона
PV γ = const , |
(6) |
||
где γ =CP CV =CMP CMV – показатель адиабаты. Учитывая (3) и (4), имеем |
|
||
γ = |
i + 2 |
. |
(7) |
|
|||
|
i |
|
|
МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
Схема установки для определения величины γ =CP 
CV воздуха методом Клемана-
Дезорма изображена на рис. 1.
В стеклянный баллон Б насосом Н накачивается воздух. Если при накачивании воздуха давление в баллоне превышает некоторое максимальное значение рmax , то срабатывает водный ограничитель О, который сбрасывает лишнее давление воздуха. (Величина рmax за-
дается глубиной погружения трубки в воду в ограничителе.) С помощью манометра М измеряется разность давлений воздуха в баллоне и в атмосфере, которая пропорциональна раз-
31
ности уровней h жидкости в манометре. Кран К позволяет соединять баллон с насосом, с атмосферой или перекрывать баллон.
Рассмотрим сущность метода. Вначале открывается кран К и насосом в баллон накачивается воздух до некоторого давления и кран закрывается. Во время накачивания температура воздуха в баллоне несколько повышается. Через 2-3 минуты воздух в баллоне остывает, и его температура становится равной комнатной температуре. После установления термодинамического равновесия измеряется разность уровней h1 жидкости в манометре. При этом
давление воздуха в баллоне
р1 = ратм + ρgh1, |
(8) |
где ρ – плотность жидкости в манометре (в нашем случае воды); g – ускорение свободного падения; h1 – разность уровней жидкости в манометре.
Затем на короткое время (на 1–2 секунды) открывается кран К и баллон соединяется с атмосферой. В результате давление воздуха в баллоне быстро понижается и выравнивается с атмосферным давлением. Это показывает манометр М: уровни жидкости в обоих коленах манометра выравниваются. Быстрое понижение давления воздуха в баллоне можно считать адиабатическим процессом, поэтому при расширении воздух в баллоне охлаждается. После закрывания крана наблюдается постепенное увеличение давления воздуха в баллоне за счет увеличения его температуры до комнатной. После установления термодинамического равновесия вновь измеряется разность уровней h2 жидкости в манометре. Располагая значениями
h1 и h2 , можно рассчитать искомую величину отношения теплоемкостей γ .
Анализ происходящих во время выполнения работы процессов удобно провести не для всей массы воздуха в баллоне, а для той его части, которая остаётся в баллоне после того, как часть воздуха выпущена во время адиабатического расширения. Так как к концу эксперимента оставшийся в баллоне воздух занимает весь объем баллона Vбал , то до открыва-
ния крана эта масса газа занимала меньший объем V1 <Vбал . Таким образом, начальное состояние 1 рассматриваемой части газа характеризуется параметрами ( р1, V1, T1). Состояние 1 изображено прямоугольником 1 на схеме процесса (рис. 2) и точкой 1 на pV -диаграмме (рис. 3).
32
Соединение баллона с атмосферой приводит к быстрому расширению газа от объема V1 до объема V2 =Vбал . Давление в баллоне при этом падает от p1 до p2 = pатм . Рассматриваемый процесс можно считать адиабатическим, так как вследствие его кратковременности теплообмен между газом в баллоне и атмосферой не успевает произойти. При адиабатическом процессе работа по вытеснению газа совершается за счет внутренней энергии оставшегося в баллоне газа. Внутренняя энергия газа уменьшается, следовательно, уменьшается его температура от T1 =Tкомн до T2 =Tкомн − T .
Состояние 2 с параметрами ( р2 , V2 , T2 ) изображено на рис. 2 и рис. 3 соответствен-
но прямоугольником 2 и точкой 2. Переход между состояниями 1 и 2 описывается уравнением Пуассона для адиабатического процесса
р V γ |
= р V |
γ . |
(9) |
|
1 |
1 |
2 |
2 |
|
После адиабатического расширения баллон перекрывается и оставшийся в нем газ |
|
|||
изохорически (то есть при постоянном объеме V3 =Vбал ) нагревается до комнатной темпе- |
||||
ратуры T3 =Tкомн . При этом давление газа в баллоне повышается до значения |
|
|||
р3 = ратм + ρgh2 , |
(10) |
|||
где h2 – установившаяся разность уровней жидкости в манометре после закрывания крана. Состояние 3 с параметрами ( р3, V3 , T3 ) изображено на рис. 2 и на рис. 3 соответственно прямоугольником 3 и точкой 3.
Состояниям 1 и 3 соответствует одинаковая температура4: T1 =T3 =Tкомн . Следова-
тельно, процесс перехода 1 → 3 можно рассматривать как изотермический, для которого справедливо равенство
4 На рис. 3 точки 1 и 3 лежат на одной изотерме (T = const ).
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
р1V1 = р3V3 . |
|
|
|
|
(11) |
||||||
Подставив в уравнения (9) и (11) выражения (8) и (10), получим |
|
|||||||||||||||
(р |
|
+ ρgh |
|
)V γ |
= р V γ |
, |
|
|
(12) |
|||||||
|
|
атм |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
атм |
бал |
|
|
||
|
|
|
+ ρgh1)V1 = (ратм + ρgh2 )Vбал. |
|
||||||||||||
(ратм |
|
|||||||||||||||
Точное решение системы (12) относительно величины γ имеет вид |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρgh1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 |
|
ратм |
|
|
|
|
|
||
|
γ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(13) |
|||
|
|
|
ρgh1 |
|
|
|
|
ρgh2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ln 1 |
+ |
|
|
|
|
|
− ln 1 |
+ |
|
|
|
||
|
|
|
|
ратм |
ратм |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Поскольку в нашем эксперименте ρgh1,2 |
ратм <<1, то, учитывая матема- |
|||||||||||||||
тическое соотношение: ln(1+ x) ≈ x при x <<1, из формулы (13) находим рас-
четное выражение для отношения теплоемкостей γ =CP |
CV |
|||
γ = |
|
h1 |
. |
(14) |
|
|
|||
h1 |
−h2 |
|
||
Приборы и принадлежности: стеклянный баллон с краном и ограничителем давления; манометр; насос.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1.Налейте в ограничитель О (рис. 1) воду до уровня, заданного преподавателем или индивидуальным заданием.
2.Поворотом крана К (рис. 1) соедините баллон с насосом и накачайте воздух в баллон, насколько это позволит ограничитель О (пока не пойдут пузырьки из трубки ограничителя).
3.Закройте кран и подождите 2-3 минуты, пока уровни жидкости в манометре М пе-
рестанут изменяться. Сделайте отсчет разности уровней h1 жидкости в манометре (рис. 1) и занесите результат измерений в табл. 1.
Таблица 1
№ |
h1, мм |
h2 , мм |
γ эксп |
γ эксп |
γтеор |
1
2
3
4
5
4. Придерживая кран К, выньте пробку крана, соединив баллон с атмосферой на 1-2 секунды, и затем верните пробку на место, вновь перекрыв баллон. (Пока открыт кран, дав-