Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3179

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

494.49 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

∞

Ответ: 1 =

∑sin(2k −1)πx при 0 < x < 1.

πk=1

2k −1

При x = 0 и x = 1 сумма ряда равна 0.

Варианты для индивидуального домашнего задания.

I. Числовые ряды

∞

(−1)n (2n −1)

∞

(−1)n

1. а) ∑

;

б) ∑

13. а) ∑

;

б)

∑

5n+1

n=1

n=1 2

n=1 n

∞

(−1)n+1

∞

2n −

1 n

∞

(−1)n+1

2. а) ∑

;

б) ∑

14. а) ∑

;

б) ∑

+1)

7n +

n=1 n2

n=1 ln(n

n=1

∞

2n +

∞

(−1)n n

∞

(−1)n+1 ln(n +1)

3. а) ∑

;

б) ∑

15. а) ∑

;

б) ∑

3n+1

n +1

n=1

n=1 n3 + 2

n=1

∞

(−1)n+1 n

∞

(n +1)!

∞ (−1)n 2n

4. а) ∑

; б) ∑

16. a) ∑

;

б) ∑

n+1

(n +1)ln(n +1)

2n +1

n=1

∞

(−1)

∞

π;

∞

5. а) ∑

; б) ∑

17. a) ∑sin

б) ∑(−1)n

3 n2

n +1

n=1

n=1 n n

n=1

∞

n +1

∞

(−1)n+1

∞

n+1 n

6. а) ∑

; б)

∑

18. a) ∑

;

б) ∑(−1)

3n−1

3 n2

n−1

n=1

n=1 n

n=1

∞

(−1)

n+1

∞

(−1)

7. а) ∑

; б) ∑

19.

a) ∑

;

б) ∑

+1)(3n −

n=1 n 2n

n=1

n=1 (2n

n=1

∞

(−1)n+1 ln(n +1)

∞

3n +1 n

∞

n + 3

8. а) ∑

; б) ∑

20. a) ∑

;б) ∑(−1)

n +1

n=1

(n + 2)!

n=1

n=1 4n −3

n=1


∞	9	n	∞
9. а) ∑	9		; б) ∑
9. а) ∑	n!		; б) ∑
n=1	n!		n=1
∞			n
10. а) ∑			n
10. а) ∑			n5 +1
n=1			n5 +1

	(−1)n	n
	(−1)n	3n +1
		3n +1

; б) ∑∞ (−1)n+1

n=1 n3 n

		∞	(n + 2)!		∞	n+1 1
21.	a) ∑		(2n)!	;	б) ∑(−1)
21.	a) ∑			;	б) ∑(−1)			3 n5
		n=1			n=1			3 n5
22. a) ∑			n + 2 ;		б) ∑(−1)n	1
	∞				∞
	n=1	n2	+ n +1		n=1		(n +1)!

∞

(−1)

∞

(n +1)

11. а) ∑sin

; б) ∑

23.

a) ∑

;

б) ∑

(−1)n+1

n=1

4n −3

n=1 (n +1)!

n=1

n +1

∞

n+1

∞

n n2

12. а) ∑

n; б) ∑

(−1)

24. a) ∑

;

б) ∑(−1)

5n −1

+ 5

n + 7

n=1 5

n=1

∞

(2n −1)!

∞

n+1

25. a) ∑

+ 3)!

; б) ∑(−1)

(n +1) ln(n +1)

n=1

II. Степенные ряды

∞

∑

13.

∑

n=1

n 3

∞

∑

14.

∑(−1)n

n=1

(n +1)2n

n=1

∞

(2n +1)

∑

15.

∑

3 n

n=1

∞

∑

16.

∑

3n+1 n

n=1

∞

∑

17.

∑

n=1

n=1 n

∞

∑

18.

∑

n=1

(n + 2)5n

n=1 n7n

∞

(−1)

7. ∑

n=1

∞

∑

+ 2)3n

n=1

∞

∑

n=1 n2 2n

∞

10. ∑(−1)n+1

n +1

n=1

∞

11.

∑

n=1 n +3

∞

12.

∑

n +1

n=1 n

∞

25. ∑

3n n2

n=1

	∞	5	n	x	n
19.	∑	5		x
19.	∑
	n=1 3n + 2
	∞			x	n
20.	∑			x
20.	∑		n2 + 4
	n=1		n2 + 4
	∞					x	n
21.	∑	(−1)n+1				x
21.	∑	(−1)n+1				5n n
	n=1					5n n

∞2n+1 xn

22.∑ 3 nn=1


	∞		x		n
23.	∑		x
23.	∑	n3 +1
	n=1	n3 +1
	∞	9	n	x		n
24.	∑	9		x
24.	∑	n +5
	n=1	n +5

III. Найти три первых отличных от нуля члена разложения функции в ряд Тейлора в окрестности точки x0.

1.		x		, x0 = 0	13.				1			, x0 = −2
1.		3 + 4x		, x0 = 0	13.	x2 + 4x +1						, x0 = −2
2.		x		, x0 =0	14.			x + 2, x0 =1
2.		4 + x2		, x0 =0	14.			x + 2, x0 =1
		4 + x2
3.	3 27 − x , x0 = 0				15.	ln(x +					x 2 +1), x0 = 0
4.	1		, x0 =0		16.	1				, x0 =1
4.		cos x	, x0 =0		16.		sin x			, x0 =1
		cos x					sin x
5.	ln(x2 + 3x + 2), x0 = 0				17.			2x			, x0 = 0
5.	ln(x2 + 3x + 2), x0 = 0				17.			3 + x2			, x0 = 0
								3 + x2
6.		1	, x0 = 2		18.	3 8 − x2 , x0 = 0
6.	1 − x		, x0 = 2		18.	3 8 − x2 , x0 = 0
	1 − x

										34
7.		1				, x0 =3		19.					1		, x0			=1
7.		x2 − 6x +			5	, x0 =3		19.		3			− 2x		, x0			=1
		x2 − 6x +			5					3			− 2x
8.	3 x , x0 =1							20.					1			, x0		= 0
8.	3 x , x0 =1							20.					4 − x			, x0		= 0
													4 − x
9.	ln(x2 + 6x +12), x0 = −3							21.			ln(3 − x), x0 =1
10.			16 + x2 , x0 =0					22.						1			, x0 = 0
10.			16 + x2 , x0 =0					22.		3							, x0 = 0
										3			27 + x
11.	1			, x0	=3			23.		e		x2		, x0	=1
11.			3 + x	, x0	=3			23.		e				, x0	=1
			3 + x
12.		ln(5 + x), x0 = 2						24.						x		, x0		= 0
12.		ln(5 + x), x0 = 2						24.					9 + x			, x0		= 0
													9 + x
					25. sin(x2 ), x0		=	1	.
					25. sin(x2 ), x0		=	2	.
								2

IV. Вычислить с точностью 0,001

1.		1	9. 4 e		17. cos 15˚
1.		e	9. 4 e		17. cos 15˚
		e
2.	3	e	10. sin 18˚		18.		1
2.	3	e	10. sin 18˚		18.		5
							5
3. sin 9˚			11. cos 9˚		19. arctg 0,5
4. cos 18˚			12. ln 1,2		20.		1
4. cos 18˚			12. ln 1,2		20.	3	7
						3	7
5. 3 1,06			13. arctg 0,1		21. ln 0,9
6. arctg 0,2			14.	9,5	22. 4 17
7. ln 1,1			15. ln 0,8		23. ln 1,5
8.		1	16. sin 15˚		24. arctg 0,3
8.	3	e	16. sin 15˚		24. arctg 0,3
	3	e
			25. 3	25

V. Вычислить определенный интеграл, используя разложение подинтегральной функции в степенной ряд. Вычислять с тремя десятичными знаками.

	0,5
1.	∫ e−x2 dx
	0
	1
2.	∫	x cos x dx
	0
	0,5 sin x
3.	∫		dx
3.	∫	x	dx
	0	x

0,5 dx

4. ∫0 1 + x3 dx

0,5

5. ∫x cos x dx

6. ∫ x sin x dx

0,3 ln(1 + x)
7. ∫		dx
	x
0

0,3 ln(1 + x)

∫

0,4 arctgx

10.

∫

11.

0,25

cos xdx

∫

0,2 ln(1

+ 2x)

12.

∫

−x2

13. ∫e

1 sin(x2 )

14. ∫

x 2

0,5 ln(1 + x2 )

15. ∫

	1	−x2
17.	∫e		3	dx
	0
	0,2 ln(1				− x)
18.	∫						dx
18.	∫			x			dx
	0			x
		0,5			dx
19.		∫
19.		∫			+ x	3
		0 2			+ x

0,25 sin 2x

20. ∫ dx

0 x

21.∫0 1 +dxx4

0.3dx

22.∫ 3 1 + x 200,5

1 dx

23. ∫0 3 + x4

0,25	−x	2		1 sin x			0,5	dx	1	dx
8. ∫ e			dx	16. ∫		dx	24. ∫		25. ∫
8. ∫ e			dx	16. ∫	x	dx	24. ∫	4 + x4	25. ∫	3 8 + x2
0				0	x		0	4 + x4	0	3 8 + x2

VI. Найти три первых отличных от нуля члена разложения

в степенной ряд функции, являющейся решением задачи Коши:

y′= xy2 + y,

x=0 =1

13.

y′= 2cos x − xy2 ,

x=0 =1

y′ = xex + y2 ,

14. y′= y2 + xy, y

x=0 =1

x=0 = 2

y′= 2xy + ex ,

15. y′ = x 2 +1,5y2 ,

x=0 = 0

x=0 = −1

y′= xy + yex ,

16.

y′= y2 −3x,

x=0 =1

x=0 = 2

y′= x 2

+ yex ,

17.

y′= 2xy2 + cos x,

x=0 =1

x=0 = −1

y′= x 2

+ y2 ,

18. y′= y2 + 2xex ,

x=0 =1

x=0 = −1

y′ = 2x2 y + y2 , y

19. y′= 2y − xy2 ,

x=0 = −1

x=0 = 2

y′= 2x + y2 ,

20.

y′= xy2 − y − x,

x=0 = −1

y′= x 2

+ 2y2 ,

21.

y′= y2 + yex ,

x=0 = −1

x=0 =1

10.

y′=3x + y2 ,

22. y′= x 2 y + y2 ,

x=0 = −1

x=0 =1

11.

y′=sin x + xy2 ,

23. y′= y2 − x cos x,

x=0 =1

x=0 = −1

12. y′= x 2 y − 2y2 ,

24.

y′= xex − y2 ,

x=0 =1

x=0 = −1

25.

y′= y2 + ysin x, y

x=0 = −1

VII. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом 2π функцию.

		1		x,	− π≤ x < 0,
	−
		2
1.
	f (x) =	1
			x,		0 ≤ x < π.

		2

2. f (x) =	0, − π≤ x <1,
	x −1, 1 ≤ x < π.

3.	f (x) =	π, − π≤ x < 0,
3.	f (x) =	π − x,	0 ≤ x < π.
			− π≤ x <	π	,
		x + π,	− π≤ x <	2	,
4.	f (x) =			2
4.	f (x) =		π ≤ x < π.
		3π −3x,	π ≤ x < π.
			2
			2

5.	f (x) = 1 + x, − π≤ x < 0,
	−1 + x, 0 ≤ x < π.

6.	f (x) = x,	− π≤ x <0,
	0, 0 ≤ x < π.
		− π≤ x < −					π	,
	−1,	− π≤ x < −					2	,
			π		π		2

7.		−		≤ x <		,
7.	f (x) = 0,	−	2	≤ x <	6	,
		π	2		6
		π	≤ x < π.
	2,	6	≤ x < π.
		6
8.	f (x) = 3,	− π≤ x <0,
	3 − x,			0 ≤ x < π.

37
								− π≤ x <								π			,
13.		− x,						− π≤ x <								2			,
	f (x) =								π							2
	f (x) =
						− π,				≤ x < π.

		x							2
									2
							− π≤ x < −								π			,
			1,				− π≤ x < −								2			,
															2
								π						π
14.							−	π	≤ x		<			π			,
14.	f (x) = x,						−	2	≤ x		<			2			,
								2						2
								π	≤ x < π.
			−1,					2	≤ x < π.
								2
15.	f (x) =		1		x +1,				0 ≤ x < 2π.
15.	f (x) =	2			x +1,				0 ≤ x < 2π.
		2
				π		− x,			−	π	≤ x <									π	,
16.	f (x) =			2		− x,			−	2	≤ x <									2	,
16.	f (x) =			2			π			2	3									2
							π				3
		0,						≤ x <				π.
							2				2
							2				2
							− π≤ x < 0,
			0,				− π≤ x < 0,
											π
17.							0	≤ x <			π		,
17.	f (x) = x,						0	≤ x <			2		,
									π		2
									π	≤ x < π.
			π − x,						2	≤ x < π.
									2
18.	f (x) = x,						π≤ x <3π.

19. f (x) =	π, − 2π≤ x < −π,
	− x, − π≤ x < 0.

20. f (x) =	1, − π≤ x <1,
	2 − x, 1 ≤ x < π.

9. f (x) =	− x +1, − π≤ x < 0,
	2x +1, 0 ≤ x < π.

10. f (x) = − 2,x,

π −

11. f (x) = π,2

12. f (x) = x,

π,4

−π≤ x < −1,

−1 ≤ x < π.

x, − π≤ x < π2 , π2 ≤ x < π.

− π≤ x <0, 0 ≤ x < π4 ,

π4 ≤ x < π.

25. f (x) =	2x −1, − π≤ x < 0,
	−1, 0 ≤ x < π.

21.	f (x) = x + 2,			− π≤ x < −1,
	1, −1 ≤ x < π.
		− π≤ x < −				π		,
	1,	− π≤ x < −				2		,
						2
				π ≤ x < 0,
	−1,		−	π ≤ x < 0,
22.				2
22.	f (x) =	0 ≤ x < π,
	1,	0 ≤ x < π,
				2
			π
			π
			2 ≤ x < π.
	−1,		2 ≤ x < π.
23.	f (x) = x − 2, − 2π≤ x < 0.
			− π≤ x < −					π	,
	−1,		− π≤ x < −					3	,
			π		π			3

24.		−		≤ x <			,
24.	f (x) = 2,	−	3	≤ x <	3		,
			3		3
			π	≤ x < π.
	−1,		3	≤ x < π.
			3

VIII. Разложить в ряд Фурье функцию в интервале (0, ℓ ).

1.	f (x) = 2x + 4,			l =3,	посинусам
2.	f (x) =3 − x 2 ,			l = 4,	по косинусам
3.	f (x) = x 2 −3,			l =3,	посинусам
4.	f (x) = x +	x2	,	l =1,	покосинусам
		3

																		39
5. f (x) =1 −				x2
									,						l =3π,			посинусам
				2					,						l =3π,			посинусам
				2
6. f (x) = x + 4,													l		= π	,	покосинусам
															4
7. f (x) = −		x		2	,						l = 4,					посинусам
7. f (x) = −		2			,						l = 4,					посинусам
		2
8. f (x) = x			−1,									l = π				,	покосинусам
	4														3
9. f (x) =1 − x,											l = 2,					посинусам
10.	f (x) = 4 −							x			2			,	l =5,			покосинусам
10.	f (x) = 4 −						2							,	l =5,			покосинусам
							2
11.	f (x) = x 2 +1,														l =3,			по синусам
12.	f (x) = x −						x			2			,		l =1,			покосинусам
12.	f (x) = x −						4						,		l =1,			покосинусам
							4
13.	f (x) =		x2				+1,								l = 4, посинусам
13.	f (x) =	3					+1,								l = 4, посинусам
		3
14.	f (x) =		x				+ 3,								l = π		,	покосинусам
14.	f (x) =						+ 3,								l = π		,	покосинусам
		2														4
15.	f (x) =1 −				x2						,				l = 2, посинусам
15.	f (x) =1 −						3				,				l = 2, посинусам
							3
16.	f (x) = x − x 2 +1,															l =1,		покосинусам
17.	f (x) = x 2 + 2,														l = 4π, по синусам
18.	f (x) = x + 7,														l=	π,		покосинусам
																2
19.	f (x) =5 + 6x,														l = 2, посинусам
20.	f (x) = x 2 − 6,														l = 4, по косинусам
21.	f (x) = 2 −					x				2			,		l=5π,			посинусам
21.	f (x) = 2 −						3						,		l=5π,			посинусам
							3

							40
22.	f (x) = 2x +	x 2	,	l =		π	, покосинусам
		4				2

23.	f (x) = x2 +5,			l=	3π		посинусам

				2
24.	f (x) =3x − x 2 ,			l = 2, по косинусам
25. f (x) = 2 − 7х,			l =3π,				посинусам.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления [Текст]: учеб. для втузов. В 2-х т. Т. 2. / Н.С. Пискунов. – М.: Интеграл – Пресс, 2001. – 541 с.

2.Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики [Текст] / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. – М.: Наука, 1986. – 576 с.

Котко Людмила Антоновна Чернышов Корнелий Исидорович

МАТЕМАТИКА

Ряды

Методические указания и контрольные задания для студентов специальностей 150200(190601) – Автомобили и автомобильное хозяйство, 240400(190702) – Организация и безопасность движения (автомобильный транспорт), 170400(150405) – Машины и оборудование лесного комплекса

Подписано в печать 21.02.2007. Формат 60х84 1/16. Объем 2,5 п.л. Усл. печ.л. 2,33. Уч.-изд. л. 2,45. Тираж 400 экз. Заказ 284 ГОУ ВПО «Воронежская государственная лесотехническая академия» РИО ГОУ ВПО «ВГЛТА». 394613, Воронеж, ул. Тимирязева,8

Отпечатано в УОП ГОУ ВПО «ВГЛТА». 394613, Воронеж, ул. Докучаева, 10

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.2021493.55 Кб33173.pdf
#
08.01.2021493.81 Кб13175.pdf
#
08.01.2021493.84 Кб33176.pdf
#
08.01.2021494.13 Кб23177.pdf
#
08.01.2021494.48 Кб83178.pdf
#
08.01.2021494.49 Кб13179.pdf
#
08.01.2021186.28 Кб0318.pdf
#
08.01.2021494.5 Кб13180.pdf
#
08.01.2021495.07 Кб43181.pdf
#
08.01.2021495.07 Кб23182.pdf
#
08.01.2021495.13 Кб53183.pdf