3179

Рекомендация: нужно применить другие признаки (например, какой-либо из признаков сравнения)

данный ряд сходится, а при l >1 – расходится.

Замечание: Если l = 1, то признак Коши не дает ответа о сходимости или расходимости данного ряда.

Алгоритм применения признака Коши.

13

Рекомендация: нужно применить другие признаки (напр., интегральный).

Согласно признаку Коши ряд сходится. Ответ: ряд сходится.

Замечание. Для некоторых рядов с положительными членами трудно проверить выполнение необходимого признака сходимости. В этих случаях можно сразу применять достаточные признаки Даламбера или Коши.

Согласно признаку Даламбера ряд сходится. Проверить, что lim u n = 0,

n→∞

Для данного ряда труднее, чем вычислить l = lim un+1 .

n→∞ un

Ответ: ряд сходится.

Интегральный признак Коши.

Если функция f(x) определена при всех x ≥1, непрерывна, неотрицательна

16

5 слагаемых, которые попеременно то положительны, то отрицательны.

∞

Исследование сходимости знакопеременного ряда ∑un ведется на

n=1

основании свойств членов соответствующего ряда, составленного из

∞

абсолютных величин членов un, то есть ряда ∑un .

n=1

∞

Знакопеременный ряд ∑un называется абсолютно сходящимся, если ряд

сходится при любом α R согласно неравенству sin α ≤1 и 1-му признаку

сравнения. Имеет место

Теорема 3. Если знакопеременный ряд абсолютно сходится, то он и просто сходится.

Замечание. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Например, ряд ∑∞ (−1)n−1 сходится (ниже это можно будет установить с

n=1 n

величин членов данного ряда является рядом Дирихле с α = 12 и потому

расходится.

∞

Знакопеременный ряд ∑un называется условно сходящимся, если он

n=1

∞

сходится, а ряд ∑un расходится.

n=1

∞

Знакопеременный ряд вида ∑(−1)n−1 un , un >0 называется

n=1

знакочередующимся.

На основании свойств последовательности un, un>0 устанавливается следующий достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда:

Признак Лейбница. Если последовательность un, un>0 такова, что 1) un ≥ un+1 при всех u n ≥ u0 , n0 N;

2) lim u n = 0,

n→∞

17

∞

то знакочередующийся ряд ∑(−1)n−1 un , un >0 сходится, его сумма

n=1

положительна и не превосходит первого члена. Алгоритм применения признака Лейбница

∞

Исследуемый ряд ∑(−1)n−1 un ,un >0

n=1

pассматривается последовательность un, un>0

lim un = 0

n→∞

Да выполнено ли условие монотонности un ≥ un+1 при всех n ≥ n0 ,n0 N

Это означает, что исследуемый ряд сходится.

3-му признаку сравнения. Следовательно, исследуемый ряд сходится условно. Ответ: ряд сходится условно.

18

Степенной ряд, его область сходимости.

Степенным рядом называется ряд вида

Если положить x = x0 , то есть зафиксировать значение переменной, то ряд (5) превратится в числовой ряд

∞

∑an x0n, n=0

который может сходиться или расходиться. Очевидно, что при x=0 ряд (5) сходится. Справедлива

Теорема Абеля. Если ряд (5) сходится при x = x0 ≠ 0, то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству x < x0 .

Из теоремы Абеля вытекает Следствие. Если ряд (5) расходится при некотором значении х = х1, то он

расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству x > x1 . Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R, R ≥0,

что при x < R ряд (5) абсолютно сходится, а при x > R −расходится. Интервалом сходимости степенного ряда называется интервал ]− R,R[,

где R- его радиус сходимости.

Радиус сходимости R можно вычислять по одной из формул

если соответствующий предел существует.

Ряд (5) может также сходиться на одном или обоих концах x = −R, x = R

интервала сходимости.

В этом случае эти точки в объединении с интервалом сходимости образуют область сходимости степенного ряда.

19

Алгоритм нахождения области сходимости степенного ряда

Составляем два числовых ряда при x = -3 и х = 3:

Первый из них является гармоническим и, следовательно, расходится. Второй является знакочередующимся и сходится согласно признаку Лейбница (проверить самим).

Ответ: ]− 3, 3].

Ряд Тейлора и его приложения.

Рядом Тейлора для функции f(x) называется ряд вида