3179
.pdf21
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
1 |
3 |
|
|
1 4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
− |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Решение. |
= e |
3 =1 − |
|
+ |
|
|
3 |
|
− |
3 |
|
+ |
|
4 |
−... |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
e |
|
3 |
|
|
2! |
|
3! |
|
4! |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Ограничиваясь первыми четырьмя членами, получим следующее |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
приближенное равенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
≈1 − |
+ |
|
3 |
|
− |
|
3 |
=1 |
− |
|
+ |
− |
|
|
|
≈ 0,716, |
|
||||||||||||||||||||
3 |
e |
3 |
|
2! |
|
|
3! |
3 |
18 |
162 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при этом мы делаем ошибку δ, которая по абсолютной величине меньше первого из отброшенных членов, то есть
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||
δ< |
|
|
= |
|
|
< 0,001. |
||||
|
4! |
6144 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Ответ: |
|
|
1 |
|
≈ 0,716. |
|||
|
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
e |
Известно, что существуют определенные интегралы, которые, как функции верхнего предела, не выражаются в конечном виде через элементарные функции. Такие интегралы иногда бывает удобно вычислять с помощью рядов.
Рассмотрим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
2 dx с точностью до 0,001. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
пример: вычислить |
∫ e−x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Здесь первообразная от e−x2 не является элементарной |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
функцией. Разложим |
|
e−x2 в ряд Маклорена |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
e |
−x |
2 |
= |
1 − |
|
x2 |
|
+ |
x4 |
|
− |
|
x6 |
+... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1! |
|
|
2! |
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Интегрируя обе части этого равенства в пределах от 0 до 0,5, получим: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0,5 |
|
−x2 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
x5 |
|
|
x7 |
|
|
|
0,5 |
|
0,125 |
|
0,03125 |
|
0,0078125 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∫ e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
= 0,5 − |
|
|
|
+ |
|
|
− |
|
+... ≈ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
dx = x − |
1! 3 |
2! 5 |
|
3! 7 |
+... |
|
0 |
3 |
|
10 |
42 |
||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
≈0,5 − 0,125 |
+ 0,03125 ≈ 0,461. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0078125 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Погрешность δ при этом не превосходит |
|
<0,001. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Ответ: |
∫ e−x2 dx ≈ 0,461. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
22
С помощью степенных рядов можно решать дифференциальные уравнения. При этом решение уравнения представляют в виде ряда Тейлора, сумма конечного числа членов этого ряда будет приближенно равняться искомому частному решению (предполагается, что решение в виде ряда существует).
Пример: найти 5 членов разложения в ряд решения дифференциального уравнения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′= y cos y′ + x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
удовлетворяющего начальным условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) =1, |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) = |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Так как начальные условия заданы при x=0, то решение ищем в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
виде ряда Маклорена |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1V (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y(x) =1 + |
|
πx + |
y′′(0) |
|
x2 |
+ |
|
|
y′′′(0) |
|
x3 + |
|
|
x4 |
|
+.... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Подставим начальные условия в уравнение, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
y (0) |
= y(0)cos y (0) = cos |
|
3 = |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Продифференцируем исходное уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
′′′ |
|
|
|
|
′ |
cos y |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
′′ |
+1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= y |
|
|
|
+ y(−sin y )y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Подставим в полученное равенство x=0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
′′′ |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
3 |
|
|
2 |
|
− |
1 |
|
|
2 |
|
|
2 +1 = |
6 |
|
− |
4 |
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1V |
|
Продифференцируем равенство (9): |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
= y |
′′ |
cos y |
′ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
′′ |
|
− ysin y |
′ |
y |
′′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2y (−sin y )y |
|
|
|
|
− ycos y (y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Подставим в (10) x=0. Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1V |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
π |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
(0) = |
|
|
|
cos |
|
|
|
− 2 |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− cos |
|
|
|
|
|
|
−sin |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
3 |
|
3 |
3 |
|
2 |
3 |
|
4 |
|
3 |
|
6 |
|
|
4 |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
π |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
π |
|
3 |
|
|
|
π 3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
π |
3 |
|
||||||||||||||||||||||
= |
− |
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
3 |
− |
|
|
+ |
|
|
|
= |
− |
|
− |
+ |
− |
= |
− |
|
− |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
3 |
|
|
2 |
|
8 |
|
|
|
|
2 |
|
|
6 |
|
4 |
|
|
8 |
|
6 |
|
|
12 |
|
8 |
2 |
2 |
|
2 |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
1 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 π |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x) =1 |
+ |
|
|
|
x + |
|
|
|
|
x |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
+... . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
4 |
|
|
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1 x |
|
|
24 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом примере мы искали решение методом последовательных дифференцирований.
Если уравнение является линейным, то решение можно искать методом
∞
неопределенных коэффициентов в виде степенного ряда ∑cn (x − x0 )n . Этот
n=0
23
ряд подставляют в уравнение и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях (х – х0), решают систему относительно сn.
Пример: найти разложение в ряд решения дифференциального уравнения y′′+ x 2 y = 0,
удовлетворяющего начальным условиям y(0) = 0, y′(0) =1.
Решение. Так как начальные условия заданы при х=0, то решение ищем в виде ряда Маклорена
|
|
∞ |
|
|
y(x) = x + ∑cn xn . |
(11) |
|||
|
|
n=2 |
|
|
Найдем y′′ и, подставляя в уравнение y и y", получаем |
|
|||
∞ |
|
|
∞ |
|
∑n(n −1)cn xn−2 |
+ x2 |
(x + ∑cn xn ) =0. |
|
|
n=2 |
|
|
n=2 |
|
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой |
||||
частях, приходим к системе |
|
|
|
|
2C2 = 0 |
|
|
|
|
|
3C3 = 0 |
|
|
|
2 |
|
|
||
|
4C4 = 0 |
|
|
|
3 |
|
|
||
|
5C5 +1 = 0 |
|
||
4 |
|
|||
|
6C6 + C2 = 0 |
|
||
5 |
|
|||
|
7C7 + C3 = 0 |
|
||
6 |
|
|||
|
8C8 + C4 = 0 |
|
||
7 |
|
|||
8 9C9 + C5 = 0 |
|
|||
9 |
10C |
+ C |
6 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
................... |
|
|
||
|
|
|
|
|
Решив систему и подставив найденные значения сn в разложение (11), получим решение
∞ |
|
(−1) |
n |
x |
4n+1 |
|
|
y(x) = ∑ |
|
|
|
. |
|||
4 |
5 8 9...4n (4n +1) |
||||||
n=0 |
|
24
Ряды Фурье.
Определение. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида
a20 + a1 cos x + b1 sin x + a 2 cos 2x + b2 sin 2x +... + a n cos nx + bn sin nx +...
Поскольку каждый член тригонометрического ряда является периодической функцией с периодом 2π, то сумма ряда также будет периодической функцией периода 2π.
Обозначим сумму тригонометрического ряда через f(x), тогда
|
|
|
|
a0 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
+ ∑(a n cos nx + bn sin nx) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Коэффициенты ряда можно выразить через его сумму f(x). Интегрируя |
|||||||||||||||
ряд почленно по отрезку [-π, π], получим выражение для коэффициента а0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
a0 = |
|
|
∫f (x)dx. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Для нахождения коэффициентов an(bn) умножим ряд почленно на cos nx |
|||||||||||||||
(sin nx) и проинтегрируем почленно по отрезку [-π, π]. Получим |
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
π |
|
|
|
|
|
1 |
π |
|
|
|
|
|
|
a n = |
|
|
∫ f (x)cos nxdx, bn = |
|
|
∫f (x)sin nxdx |
|
|
|||||||||
π |
|
|
π |
|
|
||||||||||||
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты тригонометрического ряда, определяемые по формулам |
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
π |
1 |
π |
|
|
|
|
|
1 |
π |
|
|||
a0 = |
|
|
|
∫f (x)dx, a n = |
|
∫ f (x)cos nxdx, bn = |
|
∫f (x)sin nxdx , |
(12) |
||||||||
|
π |
|
π |
π |
|||||||||||||
|
|
|
−π |
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
||
называются коэффициентами Фурье. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
∞ |
|
|
|
|
|
Тригонометрический ряд |
+ ∑(a n cos nx + bn sin nx), коэффициенты |
||||||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
которого определяются по формулам Фурье (12), называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x).
25
Определение. Точка с называется точкой разрыва 1-го рода функции f(x), если существуют конечные пределы функции в точке с слева и справа, то есть
|
lim f (c + ε) =f (c + 0) |
- предел справа, |
|
ε→+0 |
|
|
lim f (c −ε) =f (c −0) |
- предел слева. |
|
ε→+0 |
|
Теорема Дирихле (достаточное условие представимости функции в виде суммы ее ряда Фурье).
Пусть периодическая функция f(x) с периодом 2π имеет на отрезке [-π, π] конечное число точек экстремума и конечное число точек разрыва 1-го рода. Тогда ряд Фурье, соответствующий этой функции, сходится во всех
точках числовой оси, причем его сумма равна значению функции в тех точках, где она непрерывна. В каждой точке с разрыва функции сумма ряда равна
f (c −0) + f (c + 0) . 2
Пример. Периодическая с периодом 2π функция f(x) определена следующим образом:
26
0, − π≤ x < 0, f (x) = x, 0 ≤ x < π.
Разложить данную функцию в ряд Фурье.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
π |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
π |
|
|
1 |
|
|
|
x |
2 |
|
0π = |
π |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
a0 |
|
= |
|
∫f (x)dx = |
|
∫0dx + |
∫x dx |
= |
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π−π |
|
|
|
|
π−π |
|
|
π0 |
|
|
π |
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
a |
|
|
= |
1 |
|
π x cos nxdx = |
1 |
(x |
1 |
sin nx |
|
|
π |
− |
1 |
πsin nxdx) = |
1 |
|
|
|
|
cos nx |
|
|
π = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
π |
∫{ |
14243 |
|
|
|
π |
|
n |
|
|
|
|
0 |
|
|
n |
∫ |
|
|
|
|
π n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 u |
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
n = 2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
|
|
( (−1) |
|
|
|
−1) |
= |
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
, n = 2k −1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
π |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π(2k −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
b |
|
|
= |
1 |
πx sin nxdx = 1 (−x 1 cos nx |
|
π + 1 |
πcos nx dx) = 1 |
(−π(−1)n |
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
∫{ |
14243 |
|
|
|
π |
|
n |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
n |
∫ |
|
|
π |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
π0 u |
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
+ |
|
|
1 |
sin nx |
|
|
|
π) = |
(−1)n+1 |
|
(n =1,2,...;k =1, 2,...). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
2 |
|
|
∞ cos(2k −1)x |
|
|
|
|
∞ (−1)n +1 sin nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Ответ: f(x) = |
|
− |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
+ ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
(2k −1)2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πk =1 |
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
В точках x = π + 2πn (n Z) сумма ряда равна |
|
π. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряды Фурье для четных и нечетных функций.
Из школьного курса известны свойства четных и нечетных функций:
1.Произведение четной функции на четную или нечетной на нечетную есть функция четная.
2.Произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная.
|
a |
a |
3. |
Если f(x) – четная функция, то ∫ f (x)dx = 2∫f (x)dx. |
|
|
−a |
0 |
|
|
a |
4. |
Если f(x) – нечетная функция, то |
∫f (x)dx = 0. |
−a
27
Допустим, что нужно разложить в ряд Фурье четную функцию f(x). Так как cos nx – функция четная, а sin nx - нечетная функция, то f(x) cos nx является функцией четной, а f(x) sin nx функцией нечетной (свойства 1 и 2). На основании свойств 3 и 4 получим
|
|
1 |
|
π |
2 |
|
π |
|
|
||||||
|
a0 = |
|
|
∫ |
f (x)dx = |
|
|
|
∫f (x)dx, |
|
|||||
|
π |
π |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
1 |
π |
|
|
|
|
|
|
2 |
π |
|
||||
a n = |
π |
∫ f (x)cos nx dx = |
|
|
|
∫f (x)cos nx dx, |
(13) |
||||||||
|
π |
||||||||||||||
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
bn = |
1 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
∫f (x)sin nx dx = 0. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соответственно формулам (13) ряд Фурье для четной функции имеет вид |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
a0 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
||
|
f (x) = |
|
+ ∑a n cos nx. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Если требуется разложить в ряд Фурье нечетную функцию f(x), то в силу |
||||||||||||||
свойств 1 и 2 произведение f(x) cos nx является функцией нечетной, а |
|||||||||||||||
f(x)sin nx – функцией четной. Поэтому a0 = an = 0, |
|
||||||||||||||
|
1 |
π |
|
|
2 |
|
π |
|
|||||||
bn = |
π |
∫ f (x)sin nx dx = |
|
|
∫f (x)sin nx dx |
(14) |
|||||||||
π |
|||||||||||||||
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Ряд Фурье для нечетной функции имеет вид
∞
f (x) = ∑bn sin nx.
n =1
То есть четная функция разлагается в ряд только по косинусам, а нечетная функция – только по синусам кратных дуг.
Примеры.
1. Периодическая с периодом 2π функция f(x) на отрезке [-π, π] задана выражением
28
−1, − π≤ x < 0, f (x) =
1, 0 ≤ x < π.
Разложить данную функцию в ряд Фурье. Решение: f(x) – нечетная функция, поэтому
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
π |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
π = − |
2 |
( (−1)n −1) = |
|
a0 = an = 0, |
bn |
= |
∫1 sin nx dx = − |
|
cos nx |
||||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
nπ |
0 |
nπ |
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, n = 2k, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
(1 |
− (−1) |
|
) = |
|
4 |
|
|
, n = 2k |
−1, |
(n =1,2,... ; k =1,2,...) |
|||||||||||||||
nπ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1)π |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
∞ sin(2k −1)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f (x) = |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при x ≠ 2nπ + π, f(x) = 0 при x = 2nπ+π. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2k −1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
πk =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом 2π функцию |
|||||||||||||||||||||||||
f (x) = |
|
x |
|
на отрезке [− π,π]. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: f(x) – четная функция, поэтому
|
|
|
2 |
|
π |
|
2 x2 |
|||
bn =0, a0 = |
|
|
∫x dx = |
|
|
|
||||
π |
π 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
π |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
− |
|
∫sin nxdx) = |
|
|
cos nx |
|||||
n |
|
πn2 |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
(n =1,2,... ; k =1,2,...).
|
|
π = π; a |
n |
= |
2 |
πx cos nxdx |
= |
2 |
|
(x |
1 |
sin nx |
|
π − |
||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
π |
∫ |
{ 14243 |
|
π |
|
n |
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
0 u |
dv |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, n = 2k, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
|
( (−1)n −1) = |
|
|
|
|
, n = 2k −1, |
|
|
||||||||
0 |
πn2 |
π(2k −1)2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
4 |
∞ |
cos(2k |
−1)x |
|
|
|
|
||
|
|
Ответ: f (x) = |
|
|
− |
|
∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
(2k −1)2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
πk =1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
Положим x=0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
π |
|
4 |
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
π2 |
|
||
0 = |
|
− |
|
∑ |
|
|
|
. |
Отсюда ∑ |
|
|
|
= |
|
. |
|||
|
2 |
|
πk =1(2k |
−1)2 |
|
|
|
|
k =1(2k −1)2 |
|
8 |
|
29
Ряд Фурье для функции с периодом 2ℓ.
Пусть периодическая с периодом 2ℓ функция f(x) удовлетворяет на
отрезке |
|
[− l, l] условиям теоремы Дирихле. Требуется разложить f(x) в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
тригонометрический ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Произведем замену аргумента x →t |
так, чтобы t [− π,π]: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x = |
lt |
|
|
|
|
|
|
|
t |
= |
πx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
∞ |
πx + |
|||||
f (x) = f ( |
t) =ϕ(t) = |
|
+ ∑ |
(a n |
cosnt + bn sin nt) = |
+ ∑(an cosn |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
n=1 |
l |
||||||||||
+ bn sin n |
πx), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
π |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
l |
|
|
|
|
|
|
причем a n |
= |
|
∫f ( |
t)cos nt dt = |
∫f (x)cos n πxdx (n = 0,1,2,...). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π−π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
l |
−l |
|
l |
|
|
|||||
Аналогично, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
π |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 l |
|
|
|
πx |
|
|
|
|
||||||||
|
bn |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫f ( |
|
|
t)sin nt dt = |
|
∫f (x)sin n |
|
dx (n =1,2,...). |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
l−l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Таким образом, ряд Фурье периодической с периодом 2ℓ функции f(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
имеет вид |
|
|
|
|
+ ∑(a n cos n πx |
+ bn sin n πx ), |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|||||||||
где a n |
|
|
1 |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
πxdx |
(n = 0,1, 2,...), |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
|
∫f (x)cos n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
−l |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
πxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
bn = |
|
|
∫f (x)sin n |
|
(n =1, 2,...). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
−l |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание о разложении в ряд Фурье периодической функции.
30
Коэффициенты Фурье функции f(x) с периодом 2ℓ можно находить по формулам
a n = |
1 |
λ+2l |
|
πx |
dx |
(n = 0,1, 2,...), |
||
l |
∫ |
f (x)cos n |
l |
|
||||
|
λ |
|
|
|
|
|
||
bn = |
1 |
λ+2l |
f (x)sin n |
πx |
dx |
(n =1, 2,...). |
||
|
∫ |
|
|
|||||
l |
|
l |
||||||
|
λ |
|
|
|
|
|
Здесь λ – произвольное число, ℓ в частности может равняться π.
Разложение в ряд Фурье непериодической функции
Часто приходится иметь дело с функциями, заданными только в промежутке [0, ℓ]. Если для функции выполнены условия теоремы Дирихле, то ее можно представить на этом отрезке рядом Фурье. В этом случае можно сначала продолжить функцию по какому-либо закону на (-ℓ, 0), а затем продолжить на всю числовую прямую периодически с периодом 2ℓ.
Чаще всего функцию продолжают на (- ℓ, 0) четным или нечетным образом. Если функция продолжается четным образом, то есть f (−x) = f (x), то ряд Фурье содержит только косинусы и свободный член. Если же функция продолжается нечетным образом, то есть f (−x) = −f (x), то ряд Фурье содержит только синусы.
Пример. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x) =1 в промежутке [0, 1].
Решение.
bn = 2∫1 sin n πx dx = − 2 cos n πx |
10 = − 2 ( (−1)n −1) = |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
nπ |
|
|
nπ |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
0, |
n = 2k, |
|
|
|
|||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
(1 − (−1) |
|
) = |
|
4 |
|
, n = 2k −1. |
|||
π |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n |
|
|
(2k |
−1)π |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n = 1, 2, …; k = 1, 2,…).