Решение.

Находим

скалярное

произведение

этих

векторов:

a

4m 3m 28 0.

Так как

a

, то

a

0. Отсюда

7m 28 0,

b

b

b

m 4.

3. Найти 5

a

3

2

a

,

если

a

2;

3;

a

.

b

b

b

b

С

Решение.

5

a

3

2

a

10

a

2

5

a

6

a

3

2

b

b

b

b

b

10

a

2

a

3

2 10 22 0 3 32 40 27 13.

b

b

и

a

2

a

2 22;

Здесь

спользованы свойства

a

b 0 при

a

b.

4. Определ ть угол между векторами

бА

a

i 2 j 3k

и b 6i 4 j 2k.

Решен е. Так как

a

b

a

b

cos ,

то cos

a

b

.

Имеем

a

1 6 2 4 3 2 8;

a

b

a

b

1 4 9

14;

b

36 16 4

2

14;

8

Д

cos

14 2

14

2 14

и

arccos

.

7

7

5. Дана сила F 5, 1, 4 , точки A 2,3,6 и B 1,5, 3 . Ка-

кую работу производит сила F ,

И

когда точка ее приложения, двигаясь

прямолинейно, перемещается из точки А в точку В?

Решение.

Работа силы равна скалярному произведению вектора силы

1)

c

a

sin

a

,

длина векторного произведения;

b

b

2)

с

a

,

c

вектор

с

перпендикулярен плоскости векторов

b

С

a

и b;

и

с

a

b

z

y

О

x

бА

а

Рис. 12

б

3)

с

расположен по отношению к векторам

a

и

так же, как

b

ось

Oz

к осям

Ox

и

Oy

(рис. 12).

Направление вектора

с

определяется правилом буравчика (пра-

вого винта).

Д

Свойства:

a

a

(антикоммутативность);

b

b

a

a

b (сочетательность);

b

И

a

b

c

a

b

a

c

(дистрибутивность).

Решение.

a

3;1;4 ;

b

6;2;8 ;

c

6;3;8 .

пропорции

координат векторов. Так как

3

1

4

,

то

a

||b;

3

1

4

, то

a

||

c

. Получили, что векторы

a

6

6

3

2

8

8

и

b

колл неарны, а векторы

a

и

c

не коллинеарны.

Составим

Теорема (геометрический смысл векторного произведения).

Пусть a

b

меют о щее начало. Тогда длина векторного произве-

и b.

векторов равна площади параллелограмма, построенного на

a

дения

Доказательство.

Вспомним формулу площади параллелограм-

ма (рис. 13):

Sпар

a

sin

a

,

.

b

b

а

бА

Д. 13

S

b

Рис

И

2. S

1

a

.

b

2

3. F0

момент силы F , приложенной к точке А отно-

BA

F

сительно точки В, – это вектор, равный векторному произведению

вектора перемещения

.

BA

Теорема (выражение векторного произведения векторов че-

рез их коорд наты). Пусть

a

x1, y1, z1 и

x2, y2, z2 . Тогда

b

С

i

j

k

a

x1

y1

z1

.

b

и

x2 y2 z2

Доказательство. Составим таблицу векторных произведений

базисных векторов:

i

i 0;