3. ТЕОРИЯ ПАР СИЛ
3.1. Рекомендации для проведения практического занятия
Сстудентами следующ е вопросы из курса математики: правила действия надпроецированвекторами; прав ла построения векторных многоугольников;
Цель практического занятия: отработка навыков решения задач по
теории пар сил.
Перед зучен ем данной темы рекомендуется повторить со
векторов на оси и плоскости.
На практ ческом занятии рассмотреть следующие понятия: пара
сил; вектор-момент пары сил; эквивалентность пар сил; сложение пар; условия равновес я пар. Рассмотреть теоремы о парах сил на плоскости и в пространстве.
Требован я к знан ям студента:
1. Знать формул ровки понятий: пара сил, алгебраический момент
пары с л, плоскость действия пары сил. |
||
2. |
А |
|
Знать условие равновесия пар сил. |
||
3. |
Уметьбвыполнять сложение пар сил. |
|
4. |
Знать теоремы и следствия из теорем о парах сил. |
|
|
3.2. Контрольные вопросы для тестирования студентов |
|
1. Что называется парой сил? |
Д |
|
|
||
Парой сил называют систему двух равных по |
||
модулю параллельных сил, направленных в
противоположные стороны. Пара сил не имеет И
равнодействующую. Если сила стремится придать телу поступательное движение, то пара сил стремится
вращать твердое тело. Обычно пару сил ( F1, F2 ) прилагают, например, к рулю автомобиля.
2. Сформулируйте теоремы о парах сил на плоскости.
а) Пару сил можно перемещать в любое положение в плоскости её действия.
б) Пары сил, моменты которых численно равны и одинаковы по знаку, эквивалентны.
в) Момент пары сил, эквивалентной рассматриваемой системе пар на плоскости, равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.
17
3. Какими параметрами характеризуется пара сил?
Пару сил, приложенную к твердому телу, можно охарактеризовать тремя параметрами: плоскостью действия, моментом пары сил и направлением вращения пары.
С |
|
|
||
сил |
|
|||
4. |
формул руйте теоремы о парах сил в пространстве. |
|||
а) Заданную пару с , не изменяя её действия на твёрдое тело, можно |
||||
систему пар.любую |
|
|||
перенести в |
плоскость, параллельную плоскости движения пары. |
|||
б) Пары с л экв валентны, если их моменты геометрически равны. |
||||
в) |
Момент |
пары |
, эквивалентной |
данной системе пар в |
пространстве, равен геометрической сумме |
моментов составляющих |
|||
|
|
А |
||
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|
И |
5. Зависит ли главный вектор и главный момент заданной системы сил от выбора центра приведения?
а) Главный вектор, равный геометрической сумме всех сил системы, не зависит от выбора центра привидения.
б) Главный момент, равный алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно центра привидения, зависит от выбора этого центра, так как выбор центра привидения влияет на величину и знак главного момента.
6. Сформулируйте условие равновесия пар сил на плоскости.
Пары сил на плоскости уравновешиваются в том случае, если алгебраическая сумма их моментов равна нулю.
18
7. Что называется плечом пары?
Плечом пары сил d называют кратчайшее
расстояние между линиями действия сил пары.
8. Чему равен алгебраический момент пары?
М = М ( F1, F2 ) = ± Fd .
Алгебраический момент пары сил имеет знак плюс, если пара стремится вращать тело против часовой стрелки, знак минус, если пара сил
стремится вращать тело по часовой стрелке. |
|
||
равновесия |
|
|
|
9. Зап ш те услов я |
|
пар в пространстве. |
|
СПары с л, расположенные произвольно в пространстве, |
|||
уравновеш ваются в том случае, если геометрическая сумма их моментов |
|||
равна нулю: |
|
|
|
б |
|
||
|
|
n |
|
|
М = ∑Mi =0. |
|
|
|
|
i=1 |
|
10. Назов те возможные случаи приведения сил, произвольно |
|||
расположенных на плоскости? |
|
|
|
АO |
|
||
а) Если главный вектор |
R = 0 |
и главный момент MO = 0 |
, то сист ема |
сил находится в равновесии.
б) Если главный вектор R = 0 и главный момент MO ≠ 0 , то с истема сил приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту сил
относительно центра приведения. |
Д |
||
в) Если главный вектор R ≠ 0, то главный момент |
M |
= 0. |
|
Система сил приводится к равнодействующей силе, равной главному вектору сил, линия действия которого проходит через центр приведения.
г) Если главный вектор R ≠ 0, главный момент MO ≠ 0 и Мо Р, |
то |
||||||||
силы приводятся к равнодействующей, |
равной |
главному |
вектору Р |
и |
|||||
приложенной в точке K, и находятся на расстоянии OK |
|
|
O. |
||||||
= M P от точки |
|||||||||
|
главный момент |
|
|
не |
|||||
д) Если главный вектор R ≠ 0, |
MO |
≠ 0 и Мо |
|||||||
перпендикулярен Р, то систему сил можно привести к силовому винту- |
|||||||||
динаме, представляющей собой совокупность силы и пары сил, |
|||||||||
расположенной в плоскости, перпендикулярнойИк линии действия этой |
|||||||||
силы, с моментом |
|
|
P |
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
||
М* = Мо cos(M o , P) = |
|
|
. |
|
|
|
|||
|
P |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19
11. Как определяется момент пары сил в |
|
||||
пространстве? |
|
|
|
|
|
Момент |
пары |
сил |
в |
пространстве |
|
рассматривают как вектор, направленный по |
|
||||
перпендикуляру к плоскости пары сил в такую |
|
||||
сторону, чтобы, смотря навстречу этому вектору, |
а |
||||
С |
|
вращать плоскость |
|
||
видеть пару, |
стремящуюся |
|
|||
против движения часовой стрелки (рис. а). Модуль вектора момента пары равен
произведен ю одной з сил пары на кратчайшее
расстояние между л н ями действия сил пары: |
|
чтобызведению, смотря навстречу вектору, видеть пару сил, стремящуюся вращать |
|
М = М ( F1, F2 ) = ± Fd (рис. б). |
б |
12. Что называется векторным моментом пары сил? |
|
Векторным моментом пары сил называют вектор, числовое значение |
|
б |
|
которого равно про |
силы пары на ее плечо. Векторный момент |
пары с л направлен перпендикулярно плоскости действия пары сил так,
тело прот в движен я часовой стрелки.
|
А |
|||
|
|
|
Д |
|
13. Где прикладывается векторный момент пары сил? |
||||
Векторный момент |
пары |
сил |
И |
|
можно |
прикладывать |
посередине |
|
|
отрезка, |
соединяющего |
точки |
|
|
приложения сил пары. Его можно прикладывать так же, как будет доказано ниже, в любой точке тела, на которое действует пара сил.
Векторный момент пары сил ( F1, F2 ) обозначим М или М ( F1, F2 ).
14. Чему равно числовое значение векторного момента пары сил?
Числовое значение векторного момента пары сил М совпадает с
модулем алгебраического момента пары сил и, следовательно, М = h F1 =
20
= h F2 , где h − плечо пары сил. Векторный момент пары сил численно
выражается площадью параллелограмма, построенного на силах пары: |
|
|
= М = h F1 = пл. ADBC . |
М |
|
15. Назовите свойства векторного момента пары сил.
Отметим простейшие свойства векторного момента пары сил: его числовое значение не зависит от переноса сил пары вдоль своих линий действия, и он может быть равен нулю, если одна из сторон параллелограмма ADBC превратится в точку, т.е. плечо пары сил или сила пары станов тся равной нулю.
Векторный момент пары сил можно выразить в виде векторного |
|||||||||||||
произведен я двух векторов: М = АВ×F2 = BA×F1 . |
|
|
|
||||||||||
С |
|
AB × F2 |
|
= F2 АВsin(АВ, F2 ) , но АВsin(АВ, F2 ) = h |
|
||||||||
Действ тельно, |
|
и, |
|||||||||||
|
|
|
F2 |
|
|
|
|
|
|||||
следовательно, |
|
AB × |
= F2h , |
что совпадает с модулем векторного |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB × F |
|
|||
момента пары |
с . |
|
|
|
|
|
векторных произведений |
и |
|||||
Направления |
|
2 |
|
||||||||||
BA× F1 перпенд кулярны плоскости, где лежат сомножители векторных |
|||||||||||||
произведен й, |
а следовательно, |
и плоскости действия |
пары |
сил. Они |
|||||||||
совпадают с направлением векторного момента пары сил |
|
|
|
||||||||||
М . |
|
|
|||||||||||
|
б |
|
|
|
|||||||||
16. Сформулируйте теорему о сумме моментов сил пары. |
|
|
|||||||||||
Сумма векторных моментов сил, |
|
|
|
||||||||||
входящих в состав пары, относительно любой |
|
|
|
||||||||||
точки не зависит от выбора точки и равна |
|
|
|
||||||||||
векторному моменту этойАпары сил. |
|
|
|
||||||||||
Для пары сил ( |
F |
, F |
) можно записать |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
МО |
(F1) |
+ МО (F2 ) = М(F1 |
, F2 ). |
|
|
|
|||||||
17. Запишите в геометрической форме условие равновесия пар сил. |
|
||||||||||||
В геометрической форме условие равновесия пар сил имеет вид |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М = 0. |
|
|
|
Для равновесия пар сил, действующих на твердое тело, необходимо и |
|||||||||||||
достаточно, |
чтобы модуль векторного момента эквивалентной пары сил |
||||||||||||
был равен нулю или чтобы векторный многоугольник, построенный на |
|
векторных моментах заданных пар сил, был замкнут. Векторный момент |
|
|
И |
М |
геометрически изображается замыкающей векторного многоугольника, |
построенного на векторных моментах заданных пар сил.
18. Чем можно заменить пары сил, произвольно расположенные в
пространстве?
Пары сил, произвольно расположенные в пространстве, можно заменить одной эквивалентной парой сил, векторный момент которой
21
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
равен сумме векторных моментов заданных пар сил, т.е. М = |
∑Mi . |
|||||||||||
19. Сформулируйте правило о |
|
|
i=1 |
|||||||||
|
|
|
||||||||||
сложении двух пар сил. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Две пары сил, действующие на одно |
|
|
|
|||||||||
и то же тело и лежащие в |
|
|
|
|||||||||
С |
плоскостях, |
|
можно |
|
|
|
||||||
пересекающихся |
|
|
|
|
|
|||||||
заменить |
одной |
эквивалентной |
парой |
|
|
|
||||||
сил, векторный момент которой равен |
|
|
|
|||||||||
сумме векторных моментов заданных пар |
|
|
|
|||||||||
сил |
|
|
|
|
|
|||||||
сил. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. Зап ш те в аналитической форме условие равновесия системы |
||||||||||||
пар |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
анал т ческой форме условие равновесия системы пар сил |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
б |
|
|
|
|||||||
записывают выражен ем М |
= |
|
M x2 + M y2 + M z2 = 0 , |
|
||||||||
где M x , |
M y , M z |
− алге раическая сумма проекций векторных моментов |
||||||||||
пар сил на соответствующие оси координат. |
|
|
|
|||||||||
Из |
|
анал т ческой формы записи условия равновесия пар сил |
||||||||||
|
|
|
|
|
А |
|
||||||
вытекают три уравнения равновесия системы пар сил в пространстве: |
||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
M x = ∑Mix = 0; |
M y |
= ∑Miy = |
0; M z = ∑Miz = 0. |
|||||||
|
|
i=1 |
|
|
|
|
i=1 |
|
i=1 |
|
||
21. |
Назовите |
|
условия, |
нео ходимые |
для равновесия пар сил в |
|||||||
пространстве. |
|
|
|
|
|
|
Д |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и |
||||||||||||
достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций векторных моментов |
||||||||||||
пар сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю. В общем |
||||||||||||
случае |
пары сил |
|
можно |
уравновесить |
только парой сил и нельзя |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
уравновесить одной силой или какой-либо другой системой сил, отличной |
||||||||||||
от пары сил. Для равновесия пар сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраический момент эквивалентной им пары сил был равен нулю:
n
М = ∑Mi =0.
i=1
Т.е. для равновесия пар сил, действующих на твердое тело в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы сумма алгебраических моментов этих пар сил была равна нулю.
22. В чём состоит условие равновесия сил, приложенных к рычагу?
При равновесии сил, приложенных к рычагу, алгебраическая сумма моментов всех задаваемых сил, относительно опорной точки равна нулю:
n |
|
∑ |
МO (Fi ) = 0. |
i=1 |
|
22
23. Что называется опрокидывающим моментом?
Момент силы P , стремящийся опрокинуть тело, называют опрокидывающим моментом;
Mопр = Р d .
24. Что называется удерживающим моментом?
Момент силы G , стремящийся удержать тело от опрокидывания, называют удерживающим моментом;
M уд = G a .
25. формул руйте условия предельного равновесия тела.
В случае предельного равновесия имеем уравнение равновесия тела
|
n |
|
|
|
|
С |
0 ; |
G a − P d = 0 , откуда |
G a = P d . |
||
|
∑MiA = |
||||
|
i=1 |
|
|
|
|
На гран |
це |
вости, т.е. в случае предельного равновесия. |
|||
26. Что называется коэффициентом устойчивости? |
|||||
Коэфф ц ент |
|
|
при опрокидывании принято определять |
||
устойчивости |
|
момента к величине |
|||
отношен ем |
вел ч ны |
удерживающего |
|||
опрокидывающего момента: Муд = кМопр . |
|
||||
В случае устойчивого равновесия к >1. |
|
||||
б |
|
||||
|
|
А |
|||
27. Какие операции над парами сил не изменяют их действия на твердое
тело?
Операции над парами сил, не изменяющие их действия на твердое
тело: |
Д |
а) Пару сил как жесткую фигуру можно ка к угодно поворачивать и переносить в плоскости ее действия .
б) У пары сил можно одновременно изменять плечо и силы, сохраняя при этом алгебраический момент пары и плоскость
действия. |
|
|
|
И |
|
28. Как направлены реакции опор |
|||||
|
|||||
балки, нагруженной парой сил и лежащей на |
|
||||
двух опорах, одна из которых – шарнирно- |
|
||||
неподвижная, а другая – на катках? |
|
|
|||
Так как заданная нагрузка состоит |
|
||||
только из пары сил, то реакции опор |
|
||||
должны |
составить |
пару |
сил, |
|
|
параллельных реакции опоры на катках и направленную в сторону, обратную направлению приложенной пары сил.
23