12. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
12.1. Рекомендации для проведения практического занятия
Цели занят я: выяснение области применения теорем о движении
центра масс механ ческой системы и изменении количества движения |
||||
механической с стемы при исследовании поведения механических систем, |
||||
положения |
|
конкретных задач, |
||
приобретен е |
практ ческих |
навыков решения |
||
Свстречающ хся в техн ке. |
|
|
|
|
Перед зучен ем данной темы следует повторить со студентами |
||||
следующ е вопросы з раздела «Статика»: центр тяжести твердого тела, |
||||
б |
|
|||
способы определен я |
|
центра тяжести твердых тел. |
||
Из раздела «К нематика» повторить: кинематика точки, кинематика |
||||
поступательного, вращательного и плоскопараллельного движений |
||||
твердого тела. |
Из курса математики повторить |
темы: интегрирование |
||
|
|
А |
||
дифференц альных уравнений, первые интегралы дифференциальных |
||||
уравнений. |
|
|
|
|
Требования к знаниям студента: |
|
|||
1. |
Владеть понятиями «количество движения материальной точки» и |
|||
«количество движения механической системы», уметь вычислять данную |
||||
|
|
|
Д |
|
динамическую характеристику при различных движениях материальной |
||||
точки и твердого тела, системы твердых тел. |
|
|||
2. |
Уметь определять импульс силы. |
|
||
3. |
Знать класс задач, при решении которых может быть использована |
|||
теорема об изменении количества движения, и уметь применять данную |
||||
теорему для их решения. |
|
И |
||
4. |
Уметь вычислять координаты центра масс механической системы, |
|||
состоящей из совокупности твердых тел. |
|
|||
5. |
Уметь применять теорему о движении центра масс механической |
|||
системы при решении конкретных технических задач для получения первых интегралов дифференциальных уравнений движения системы и для определения реакций связей.
12.2. Методические рекомендации к решению задач
Задачи, решаемые с использованием теоремы о движении центра масс, можно разделить на четыре типа:
89
1. |
Определение действующих на систему внешних сил (или части из |
|||
них) по заданному движению ее точек (тел). |
||||
2. |
Нахождение закона движения центра масс системы по заданным |
|||
внешним силам. |
|
|
||
3. |
Определение закона движения одной из точек (тел) системы по |
|||
заданным внешним силам и законам движения остальных точек системы. |
||||
С |
|
|
||
4. |
Использование для решения задачи следствий из теоремы о |
|||
движении центра масс. |
||||
Задачи первого т па рекомендуется решать в следующем порядке: |
||||
1. |
Выяв ть тела, входящие в систему. |
|||
координат |
||||
2. |
Выдел ть |
зобразить на рисунке все внешние силы, действующие |
||
на систему. |
|
|
|
|
3. |
Выбрать с стему координат. |
|||
4. |
Зап сать теорему о движении центра масс в векторном виде, а затем |
|||
в проекц ях на одну |
|
ли несколько осей выбранной системы координат. |
||
5. |
Найти проекц |
звестных из условия задачи внешних сил на оси |
||
|
|
подстав |
ть х в уравнения, записанные, как рекомендовано в |
|
пункте 4. |
б |
|||
6.По звестным законам движения точек системы и их массам определить проекции ускорения центра масс на оси координат (используя формулу для определения координат центра масс системы).
7.По дифференциальным уравнениям движения (пункт 4) найти силу. Задачи второго типа, где тре уется найти закон движения центраА
масс, решаются путем интегрирования составленных в пункте 4 дифференциальных уравнений. Если при этом находятся неопределенные интегралы, то постоянные интегрирования определяются по начальным условиям движения, в которых фигурируют положение и скорость центра масс в некоторый момент времени.
В задачах третьего типа после выполнения приведенных выше первых |
|||
четырех пунктов используются формулы, по которым определяются |
|||
координаты |
центра |
масс |
Дмеханической системы (дважды |
продифференцированные по времени) и полученные в них результаты |
|||
вводятся в дифференциальные уравнения движения центра масс. Тогда в |
|||
левых частях этих уравнений оказываются фигурирующими проекции |
||||||
ускорений нужной точки, по которым путем интегрирования находится |
||||||
закон ее движения. |
|
И |
||||
Задачи четвертого типа, в которых согласно условию центр масс |
||||||
движется с постоянной по модулю и направлению скоростью или |
||||||
находится |
в |
состоянии |
покоя, |
решаются |
без |
составления |
дифференциальных уравнений движения центра масс. В этом случае |
||||||
используются формулы, определяющие координаты центра масс. Следует |
||||||
помнить, |
что при относительных перемещениях отдельных точек (тел) |
|||||
90
системы изменения их координат должны находиться не в относительном, а в абсолютном движении, то есть по отношению к неподвижной системе координат.
Задачи, решаемые с использованием теоремы об изменении количества движении, можно разделить на три основных типа:
Задачи на определение количества движения системы. |
|||
С |
|||
1. |
|
Задачи на определение различных кинематических или |
|
динамических характеристик системы с помощью теоремы об изменении |
|||
количества дв жен я с стемы. |
|||
2. |
Задачи, в которых также требуется определить различные |
||
При |
|||
кинемат ческ е |
ли д намические характеристики системы, но на |
||
основан законов сохранения ее количества движения. |
|||
|
|
решен |
задачи лю ого типа вначале необходимо: |
1. |
Выяв ть совокупность тел, входящих в систему. |
||
2. |
Выбрать с стему координат. |
||
|
|
б |
|
Для задач первого т па рекомендуется далее, как правило, следующий |
|||
порядок действ й: |
|
||
1. |
Определ ть координаты центров масс тел системы как функции |
||
времени. |
|
|
|
2. |
Найти координаты центра масс системы. |
||
3. |
Определить проекции на координатные оси и, если требуется по |
||
условию задачи, модуль скорости центра масс (иногда прямо без проекций |
|||
модуль скорости). |
|
||
4. |
Вычислить проекции на координатные оси, а также модуль и |
||
направляющие косинусы вектора количества движения механической |
|||
системы. |
|
А |
|
При решении задач второго типа необходимо после пунктов 1 и 2 |
|||
произвести следующие операции:
3.Установить и изобразить на рисунке, действующие на систему, |
|
внешние силы. |
Д |
4.Найти проекции сил на оси выбранной системы координат.
5.Составить выражения для проекций количества движения механической системы на оси координат (как это делается при решении задач первого типа).
6.Написать теорему об изменении количества движения механической системы в интегральной или дифференциальной форме в проекциях на координатные оси.
7.Решить полученное уравнение относительно полученной величины
(при использовании теоремы в дифференциальной форме интегрируется дифференциальное уравнение, постоянные интегрирования находятся поИ
начальным условиям).
91
Решение задач третьего типа предполагает выполнить те же первые четыре пункта, что и при решении задач второго типа. Затем необходимо:
1. Установить, на какую из координатных осей проекция главного вектора всех внешних сил равна нулю и, следовательно, проекция количества движения механической системы на эту ось остается
неизменной. |
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
||
2. Определить проекции количества движения механической системы |
|||||
в начальный и конечный (текущий) моменты времени на оси координат, |
|||||
для которых они не зменны, приравнять их и из полученных уравнений |
|||||
определ ть |
|
скомые вел чины. |
|
|
|
силамиk |
|
|
|
||
12.3. Контрольные вопросы для тестирования студентов |
|||||
1. Что называется механической системой? Как классифицируются силы, |
|||||
|
обозначают |
|
|
||
действующ е |
механ ческую систему? |
|
|
||
С лы, |
|
сточн ки которых лежат вне системы, называют внешними |
|||
|
|
F e , силы |
со стороны |
точек |
данной системы |
называют внутренн ми силами и |
обозначают |
F i . |
Внутренние силы |
||
|
|
|
|
k |
|
|
|
А |
|
||
удовлетворяют третьему закону Ньютона. |
|
|
|||
2. Какими свойствами о ладают внутренние силы?
Свойства внутренних сил, действующих на механическую систему. Свойство 1. Геометрическая сумма всех внутренних сил системы
(главный вектор внутренних сил) равна нулю.
Свойство 2. Геометрическая сумма моментов всех внутренних сил относительно произвольной точки пространства равна нулю.
3. Как записываются дифференциальные уравнения движения механической системы?
Для каждой точки механической системы можно записать основное |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
уравнение динамики |
|
|
|
|
|
Д |
|||
|
m |
|
|
|
= m |
d 2r |
|
|
|
|
|
a |
|
k |
= F e + F i . |
|
|||
|
|
k |
|
k |
|
k dt2 |
k |
k |
|
Проецируя векторное уравнение на оси координат, получим |
|||||||||
дифференциальные уравнения движения |
|
|
|
||||||
e |
i |
|
mk yk |
e |
i |
e |
i |
||
mk xk = Fxk + Fxk ; |
|
= Fyk |
+ Fyk ; |
mk zk = Fzk + Fzk . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Чем отличаются друг от друга центр масс и центр тяжести механической системы?
Центр тяжести и центр масс системы представляют одну и ту же точку С. Понятие «центр масс системы» применимо для любой системы
92
материальных точек независимо от того, находится она под действием сил тяжести или нет.
5. Что называют центром масс системы точек и как определяют его
координаты?
При рассмотрении движения твердых тел и механических систем
важное значение имеет точка, называемая центром масс. |
|
||||||||||||||||
Если |
механическая |
система |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
состоит из конечного числа n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
материальных |
точек |
|
с |
массами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
m1, m2, …, mn, рад усы-векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
точки |
|
|
из |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
r1,r2 ,...,rn |
которых проведены |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
СO, центром масс системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
называется геометр |
ческая точка С, в |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
которой |
сосредоточена |
|
масса |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
системы, рад ус-вектор r которой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
∑ |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
m r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
rc = |
∑mi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Коорд наты центра масс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
А |
|
|||||||||||||
|
|
|
∑mi xi |
|
|
|
∑mi yi |
|
|
|
|
∑mi zi |
|
||||
|
бx = ; y = |
∑mi |
; |
z |
|
= |
|
∑mi |
. |
||||||||
|
|
c |
|
∑mi |
|
c |
|
|
|
c |
|
|
|
||||
6. Сформулируйте теорему о движении центра масс механической системы. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|||||||||
Теорема. Центр масс механической системы движется как |
|||||||||||||||||
материальная точка, в которой приложены масса всей системы и все |
|||||||||||||||||
внешние силы механической системы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ma |
= |
∑n F e = Re . |
И |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
c |
|
k =1 |
k |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. Какое движение твердого тела можно рассматривать как движение |
|||||||||||||||||
материальной точки? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Центр масс механической системы движется как материальная точка |
|||||||||||||||||
массой, равной |
массе |
|
всей |
системы, к которой |
приложены все силы, |
||||||||||||
действующие на систему.
Поступательное движение твердого тела полностью определяется движением одной из его точек. Следовательно, решив задачу о движении центра масс тела как материальной точки с массой тела, можно определить поступательное движение всего тела.
8. Какое действие на свободное твердое тело оказывает приложенная к нему пара сил?
93
Если приложить пару сил к свободному твердому телу, находящемуся в покое, то под действием этой пары сил тело начнет вращаться вокруг своего центра масс.
9. формулируйте следствия из теоремы о движении центра масс механической системы.
Следствия из теоремы о движении центра:
а) Внутренние силы системы не могут изменить характер движения центра масс.
б). Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен
нулю, то центр масс находится в покое или движется равномерно и прямолсинейно.
в) Если проекц я главного вектора внешних сил системы на некоторую неподв жную ось равна нулю, то проекция скорости центра масс стемы на эту ось остается постоянной.
10. Вл яютбли внутренние силы на движение центра масс?
Внутренн е с лы с стемы не могут изменить характер движения центра масс.
11. При как х услов ях центр масс движется равномерно и прямолинейно?
Если главный векторАвнешних сил, действующих на систему, равен нулю, то центр масс движется равномерно и прямолинейно.
12. При каких условиях центр масс механической системы остается в покое относительно данной системы координат?
Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то центр масс находится в покоеД.
13. При каких условиях центр масс системы находится в состоянии покоя?
Если главный вектор внешних сил остается все время равным нулю и
начальная скорость (Vс = 0 ) центра масс равна нулю, то центр масс находится в покое.
14. При каких условиях центр масс системыИдвижется равномерно и прямолинейно?
Если главный вектор внешних сил остается все время равным нулю и начальная скорость Vс ≠ 0, то центр масс движется равномерно и
прямолинейно.
15. При каких условиях центр масс системы не перемеща ется вдоль
некоторой оси?
Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось остается все время равной нулю и проекция скорости на эту ось равна нулю, то координата центра масс по этой оси остается постоянной.
16. Назовите единицу измерения количества движения.
Единица измерения количества движения – кгм/c.
94
17. Сформулируйте определения количества движения материальной точки.
Количеством движения Q
материальной точки называют векторную величину, равную произведению массы точки на вектор ее скорости:
Q = mV .
18. формул руйте |
количества движения системы. |
||
Кол чеством дв жения |
механической |
системы Q называют |
|
С |
|
|
|
векторную сумму кол честв движения отдельных точек системы, т.е. |
|||
|
n |
|
|
Q = ∑Qk = ∑mkVk |
, |
||
|
k =1 |
|
|
гдеопределенияn – ч сло точек с стемы.
Кол чество дв жен я системы равно произведению массы системы на
n |
|
|
скорость ее центра масс: Q = ∑mkVk = mVc . |
||
k =1 |
|
|
б |
|
|
А |
||
|
Д |
|
|
|
И |
19. Как связано количество движения системы с модулем и направлением скорости центра масс?
Направление Q совпадает с направлением Vc .
20. Как определяется импульс силы за конечный промежуток времени?
Действие силы F на материальную точку в течение времени dt можно охарактеризовать элементарным импульсом Fdt .
95
Полный импульс силы F |
за время t |
или импульс силы S определяют |
||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по формуле |
|
S = |
∫Fdt . Единица измерения импульса силы – H·c. |
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21. Чему равны проекции импульса силы на оси координат? |
|
|||||||||||||
Импульс силы S в проекциях на координатные оси |
|
|||||||||||||
С |
= ∫t |
|
S y = ∫t |
|
|
Sz = ∫t |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Sx |
Fx dt; |
Fy dt; |
Fz dt . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
22. |
формул руйте |
теорему об |
изменении |
|
количества |
движения |
||||||||
механической с стемы в д фференциальной форме? |
|
|
|
|||||||||||
ки |
|
движения |
в дифференциальной |
|||||||||||
Теорема |
об |
|
зменении |
количества |
||||||||||
форме: |
|
= |
n e |
dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dQ |
∑F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
k =1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д фференц ал |
кол чества движения механической системы равен |
|||||||||||||
|
|
обn e |
n e |
|
|
|
||||||||
векторной сумме элементарных импульсов всех внешних сил, |
||||||||||||||
действующ |
х на точ |
механической системы. |
|
|
|
|||||||||
23. |
Сформул руйте |
теорему |
|
изменении |
|
количества |
движения |
|||||||
механической с стемы в нтегральной форме? |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
А |
|
|||||||
Теорема в нтегральной форме: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Q −Q0 = ∑∫F k dt = ∑Sk . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
k =1 |
|
|
|
Изменение количества движения механической системы за время t равно векторной сумме всех импульсов внешних сил, действующих на точки механической системы за то же время.
24. Запишите теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме в проекциях на координатные оси.
В проекциях на координатные оси будем иметь
а) Если векторная сумма всех внешних силИ, приложенных к системе, за рассматриваемый промежуток времени равна нулю, то из теоремы следует, что количество движения системы постоянно по величине и
Q |
−Q |
n |
|
; |
Q |
−Q |
n |
; |
Q |
−Q |
n |
= ∑S e |
= ∑S e |
= ∑S e . |
|||||||||
1x |
0x |
k=1 |
kx |
|
1y |
Д0 y ky 1z 0z kz |
|||||
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
k=1 |
|
25. Назовите законы сохранения количества движения?
Законы сохранения получают как частные случаи теоремы об
изменении количества движения. Возможны два частных случая:
направлению. |
|
|
|
|
б) Если проекция главного |
вектора |
внешних сил на |
какую-либо |
|
координатную ось равна нулю |
n |
Fe |
= 0, то проекция |
количества |
∑ |
||||
|
k =1 |
kx |
|
|
движения на эту ось – величина постоянная: Qx=const.
96