Методы / 5, 24, 30, 37

11

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗОНАНСА НАПРЯЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Цель работы – исследование резонансов в электрических цепях с последовательным соединением индуктивности и ёмкости.

Перед выполнением работы студенты изучают материал [1] – [4].

СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Резонансом в электрической цепи, содержащей катушку индуктивности и конденсатор, называется такой режим, при котором входное сопротивление цепи или входная проводимость являются чисто активными, а реактивная составляющая входного сопротивления или входной проводимости равна нулю. При этом напряжение и ток на входе цепи совпадают по фазе. В

Согласно второму закону Кирхгофа в комплексной форме:

Реактивное индуктивное сопротивление определяется выражением, Ом:

12

f - частота питающего напряжения, Гц. Реактивное емкостное сопротивление, Ом:

Из выражения (1) с учетом (2) и (3) выразим комплексное действующее значение тока цепи, А:

тогда действующее значение тока в цепи равно, А:

Угол сдвига фаз между входным током и напряжением, рад:

Комплексное полное входное сопротивление цепи, представленной на рисунке 1, Ом:

В режиме резонанса реактивное сопротивление цепи равно нулю (Х=0),

резонансе полное сопротивление цепи равно активному сопротивлению катушки ( Z Rк ). В этом случае напряжение и ток совпадают по фазе, или,

как говорят, угол сдвига фаз между током и напряжением равен 0 ( 0 ).

максимально возможным для данной цепи в установившемся режиме, а напряжение на индуктивном элементе схемы замещения будет равно

13

Одной из характеристик резонансной цепи является добротность контура Q, которая представляет собой величину, равную отношению реактивного сопротивления катушки индуктивности или конденсатора к активному сопротивлению (в режиме резонанса):

Добротность контура показывает, во сколько раз напряжение на индуктивности или емкости превышает напряжение на входе цепи в резонансном режиме. Другой характеристикой цепи является волновое сопротивление: LC .

При заданных L и C резонанс наступит при угловой частоте равной, рад:

При неизменном приложенном напряжении резонанс может быть достигнут тремя путями:

1)изменением частоты f при неизменных L и C;

2)изменением емкости конденсатора C при неизменных f и L;

3)изменением индуктивности L катушки при неизменных f и

С.

В лабораторной работе резонанс получают первым и вторым способами. При анализе цепей с последовательным соединением катушки

индуктивности и конденсатора получили распространение так называемые резонансные кривые (зависимость тока на входе цепи и напряжений на элементах цепи от частоты) и частотные характеристики (зависимость сопротивлений элементов схемы замещения от частоты). Характерный вид резонансных кривых для последовательного колебательного контура представлен на рис. 2.

Часто помимо зависимостей напряжений на элементах и тока в цепи от угловой частоты питающего напряжения приводят зависимость угла сдвига фаз между током и напряжением от угловой частоты питающего напряжения φ(ω), которая называется фазочастотной характеристикой.

14

Рис. 2. Резонансные кривые последовательного колебательного контура

Из рис. 2 видно, что при частотах от 0 до ω0, U L U C , а фазочастотная

характеристика находится в области отрицательных значений, что означает, что в этой области частот ток опережает по фазе напряжение на зажимах цепи. На резонансной частоте ω0 напряжения U L UC , ток достигает своего

максимального значения в установившемся режиме для данной схемы, фазочастотная характеристика проходит через 0. Это означает, что ток и напряжение на входе цепи совпадают по фазе. При частотах от ω0 до ∞ U L UC , ток отстает от приложенного напряжения по фазе, а фазочастотная

характеристика находится в области положительных значений во всем диапазоне частот ω> ω0.

Характерный вид частотных характеристик для последовательного колебательного контура представлен на рис. 3. При построении частотных характеристик считается, что активное сопротивление является постоянной величиной, равной Rк .

При известных значениях индуктивности и емкости реактивные сопротивления на конкретной частоте определяются по выражениям (2), (3), а реактивное сопротивление и модуль полного сопротивления цепи – по формулам (4) и (9) соответственно.

Как уже было сказано в режиме резонанса напряжение на катушке индуктивности Uк больше напряжения на конденсаторе UC. Зная напряжение на катушке Uк в режиме резонанса и ток I, можно определить параметры катушки индуктивности Rк и L.

15

Рис. 3. Частотные характеристики последовательного колебательного контура

Учитывая что U L UC , активное сопротивление катушки можно определить с помощью выражения, Ом:

Формулы (15) и (16) справедливы только на резонансной частоте.

Зная активное сопротивление катушки индуктивности можно рассчитать падение напряжение на активном сопротивлении и на индуктивном элементе схемы замещения, В:

U L (ωi ) U к2 (ωi ) U R2К (ωi ).

Если известна величина полного сопротивления Z и угол сдвига фаз между током и напряжением на входе цепи, то величину активного сопротивления можно вычислить, Ом:

Rк Z (ωi ) cos( (ωi )) ,

а падение напряжения на активном сопротивлении, В:

U RК (ωi ) U cos( (ωi )) ,

17

i

Рис. 6: Параллельное соединение G, L, C

Полная комплексная проводимость цепи Y (См) определяется выражением:

Y G jB Ye j ,

где G активная проводимость цепи, См; B реактивная проводимость цепи, См; Y – полная проводимость цепи, См,

где BL- реактивная проводимость катушки индуктивности, См; BC - реактивная проводимость конденсатора, См;

Действующее значение напряжения:

При резонансе токов должны соблюдаться следующие условия:

0, B 0,

18

Рис. 7: Векторная диаграмма при резонансе токов

При резонансе имеет место следующее неравенство IL , IC IG, если активная проводимость не больше емкостной или индуктивной

где - характеристическая или волновая проводимость.

При постоянстве действующего значения приложенного напряжения резонанс токов может быть достигнут:

1)изменением L катушки при постоянных частоте f и емкости C;

2)изменением частоты f при постоянных L и С;

3)изменением емкости конденсатора С при постоянных f и L.

Вданной лабораторной работе резонанс токов получает первым и вторым способом.

Добротность контура определяется следующим выражением:

Зависимости угла сдвига фаз между напряжением и током показаны на

рис. 8 а и б. Если G=0, то при = 0 величина изменяется скачком от до

2

2 , т.е. наблюдается опрокидывание фазы, рис. 8б.

19

Рис. 8: Зависимость угла сдвига фаз в параллельном колебательном контуре:

а) G 0; б) G=0

Зависимости полной и реактивных проводимостей цепи и угла сдвига фаз межу напряжением и током показаны на рис. 9.

Рис.9: Зависимости полной и реактивных проводимостей от частоты

Резонансные характеристики приведены на рис. 10.