теОрмех экзамен итаэ 1 поток / Teoria_Rysina_1-22

Билет 13

момент инерции JIC , относительно оси, проходящей через центр масс JC тела. По теореме Гюйгенса-Штейнера: IJP = IC + Md2 , где Jd = PC. Подставим это выражение для JIP. Учитывая, что точка P — мгновенный центр скоростей, и, соответственно: Jωd = ω · PC = vC, где JC — скорость центра масс JC. Тогда:

JT плоск = 12 MvC2 + 12 ICω2.

Теорема Кенига: «Кинетическая энергия материальной системы равна сумме кинетической энергии при поступательном движении вместе с центром масс и кинетической энергии ее при движении относительно координатных осей, поступательно движущихся вместе с центром масс.»

13.3 — Моменты инерции

Момент инерции (относительно оси) — скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек (тел) системы на квадраты их расстояний от этой оси.

Пусть это будет ось JOz. Тогда: Jz = ∑mkhk2 ; (J 0)

k

В выражении через координаты осевой момент инерции J относительно осей запишется:

Радиусом инерции тела является линейная величина Jk , определяемая выражением: J = Mρk , где JM — масса тела, Jk — расстояние от оси JOz до точки, в которой нужно сосредоточить всю массу JM тела, чтобы момент инерции этой точки относительно этой оси равнялся моменту инерции тела.

Моменты инерции относительно осей, зависят от выбора этих осей и относительно этих осей разные.

Теорема Гюйгенса-Штейнера:

«Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси ей параллельной, проходящей через центр масс тела сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между

осями: JOZ = JCZ′!+ Md2 »

13.4 — Центробежный момент инерции

Если через точку JO провести координатные оси JOxyz, то по отношению к этим осям, центробежными моментами инерции (или произведениями инерции)

Jxy = ∑k mk xk yk

называют величины Jxy, Jyz, Jzx, определяемые равенствами: Jyz = ∑k mk yk zk ,

Jzx = ∑k mk zk xk

где J k — массы точек; Jk k k — их координаты, при этом видно что Jxy = Jyx и

так далее. Для сплошных тела эти формулы принимают вид: Jxy = ∫(V ) ρxydV…

Страница (4 из 5(

Билет 13

13.5 — Осевой момент инерции

Момент инерции (относительно оси) — скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек (тел) системы на квадраты их расстояний от этой оси.

Пусть это будет ось JOz. Тогда: Jz = ∑mkhk2 ; (J 0). Осевой момент

k

инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

13.6 — Тензор инерции

Тензор инерции — тензорная величина, связывающая момент импульса тела и кинетическую энергию его вращения с угловой скоростью

осевыми моментами инерции

Недиагональные Jxy, Jxz, Jyx, Jyz, Jzx, Jzy — центробежные моменты инерции.

Тензор инерции симметричен, так как Jxy = Jyx, Jxz = Jzx, Jzy = Jyz .

Симметричный тензор всегда можно привести к диагональному виду, то есть выбрать такую систему координат, определяемую формой тела, в которой все недиагональные элементы будут равны нулю. Соответствующие направления координатных осей называются главными осями инерции, а величины

Jx = Jxx, Jy = Jyy, Jz = Jzz — главными моментами инерции. Оси, проходящие

через центр масс тела — центральный оси, а оси, проходящие через центр масс и одновременно являющиеся главными — главные центральные оси.

Страница (5 из 5(

Билет 14

14 — Четыре теоремы динамики системы.

1) Теорема о движении центра масс механической системы.

«Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно векторной сумме всех действующих на систему внешних сил: MP · a C = ∑ Fek »

k

MJ = ∑mk — Масса системы

k

1

Ja C = v C = M ∑k mk a k — ускорение центра масс системы

1

Jv C = r C = M ∑k mk v k — скорость центра масс системы

1

Jr C = M ∑k mk r k — радиус вектор (координаты) центра масс системы

Jr k = (xk, yk, zk ; J k — координаты (относительно неподвижного центра) и массы точек, из которых состоит система.

2) Теорема об изменении количества движения

«Количество движения (импульс) системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс или сумме количества движения (сумме импульсов) отдельных точек или частей, составляющих систему:

JQ = M v C = ∑mk v k »

k

Дифференциальная форма: «Производная по времени от количества движения (импульса) системы равна векторной сумме всех действующих на

систему внешних сил: JdQ = ∑ Fe »

dt k k

Интегральная форма: «Изменение количества движения (импульса) системы

Закон сохранения количества движения (импульса): «Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянным. То есть все его проекции на оси координат будут сохранять постоянные значения.»

3)Теорема об изменении главного момента количества движения (кинетического момента)

a)Теорема моментов: «Производная по времени от главного момента количества движения системы относительно некоторого неподвижного центра O равна сумме моментов всех внешних сил

Страница (1 из 2(

Билет 14 системы относительно того же центра:

относительно центра масс C равна нулю, то главный

момент количества движения системы относительно этого центра будет постоянным. То есть все его проекции на оси координат будут сохранять постоянные значения.»

4) Теорема об изменении кинетической энергии механической системы Дифференциальная форма: «Дифференциал (приращение)

Интегральная форма: «Изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних

сил: JT1 − T0 = ∑ Ake + ∑ Aki′ »

k k′!

Страница (2 из 2(

Билет 15

15 — Классификация связей. Принцип Даламбера. Принцип возможных перемещений.

15.1 — Классификация связей

Связи — любого вида ограничения, которые налагаются на положения и скорости точек механической системы и выполняются независимо от того, какие на систему действуют заданные силы.

1)Стационарные (склерономные) связи — связи, не изменяющиеся со временем

2)Нестационарные (реономные) связи — связи, изменяющиеся со временем.

3)Геометрические связи — связи накладывающие ограничения на положения точек системы (их координаты)

4)Кинематические/Дифференциальные связи — связи, налагающие ограничения так же и на скорости (первые производные положений) точек системы.

5)Интегрируемые связи — дифференциальные связи которые можно представить как геометрические (можно установить зависимость между скоростями и координатами)

6)Неинтегрируемые связи — дифференциальные связи, которые нельзя представить как геометрические

7)Голономные связи — геометрические, дифференциальные

интегрируемые связи

8)Неголономные связи — геометрические, дифференциальные

неинтегрируемые связи

9)Удерживающие связи — налагаемые связи удерживающая при любом положении системы

10)Неудерживающие связи — связи, от которых система может «освобождаться»

15.2 — Принцип Даламбера

Пусть материальная точка массы

Jс о в е р ш а е т н е с в о б о д н о е

дв и ж е н и е о т н о с и т е л ь н о

инерциальной системы OxyzJ под действием активной силы FJ α и реакции связи RJ , Определим

в е к т о р : ΦJ = − m a — с и л а инерции (Д’Аламберова сила) материальной точки.

Непосредственно принцип: «Если к силам, действующим на

материальную точку, условно присоединить силу инерции точки, то получим уравновешенную систему сил: P(Fa, R, Φ)~0 или FP a + R + Φ = 0» / «Если к

Страница (1 из 2(

Билет 15

материальным точкам движущейся механической системы, кроме фактически действующих на них активных сил и реакций связей, условно приложить также силы инерции точек, то получим уравновешенную систему сил, к которой можно применять все уравнения статики.»

Принцип Даламбера эквивалентен основному уравнению динамики и наоборот,

15.3 — Принцип возможных перемешений

Возможные перемещения — перемещение, согласованное со связями.

Связи — любого вида ограничения, накладываемые на положения, скорости точек механической системы, независящие от действующих сил. Независимые от времени связи — Стационарные. Всегда выражается функцией: 1) yJ = 0 — невысвобождающаяся (двухсторонняя) связь; 2) yJ > 0; y < 0 — односторонняя связь:

1)ƒJ (x, y, z — геометрические связи

2)ƒJ (x, y, z, … — кинематические связи

3)ƒJ (t — реономная связь

4)ƒJ (r , v ) — склерономная связь

5)Неголономные связи — не интегрируемая геометрическая связь. Идеальные связи — такие связи, работа реакций которых на любых возможных перемещений равна нулю

«Для равновесия механической системы с идеальными удерживающими связями, необходимо и достаточно, чтобы возможная работа активных сил была равна нулю: JδA = 0»

Принцип свободных перемещений позволяет решать самые разнообразные задачи на равновесие механических систем — находить неизвестные активные с и л ы, о п р е д е л я т ь р е а к ц и и с в я з е й, н а х о д и т ь п о л о ж е н и я равновесия механической системы под действием приложенной системы сил.

Страница (2 из 2(

Билет 16

16 — Определение реакций опор конструкции и усилий в стержнях фермы с помощью принципа возможных перемещений.

Принцип возможных перемещений является основным принципом аналитической механики. Он даёт самые общие методы решения задач статики и позволяет определять каждое неизвестное усилие независимо от остальных, составляя для него можно уравнения равновесия

Теорема Лагранжа-Остроградского:

«Для равновесия механической системы, подчиненной идеальным, геометрическим и стационарным связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма работ активных сил, действующих на систему, была равна нулю на

любом возможном перемещении системы: J∑δAk(a) = 0»

k=1

Возможные перемещения механической системы — бесконечно малые перемещения системы допускаемые наложенными на нее связями Так как в дальнейшем рассматриваются только плоские системы, то

чтобы увидеть возможное перемещение системы, состоящей из плоских твёрдых тел, надо для каждого твёрдого тела увидеть или построить МЦС. Тогда возможным перемещением каждого твёрдого тела будет поворот вокруг своего МЦС, или тело будет двигаться поступательно, если МЦС отсутствует. Возможные перемещения системы определяются только связями, наложенными на систему, и не зависят от сил, действующих на систему. В случае геометрических и стационарных связей направления возможных перемещений точек системы совпадают с направлениями скоростей этих точек при реальном движении.

Число независимых возможных перемещений системы называется числом степеней свободы системы.

Применение принципа возможных перемещений для нахождения реакций связей в статистически определимых механических системах основано на частичной замене связей реакциями.

Смысл частичной замены связи реакцией состоит в том, чтобы полученная в результате такого действия система имела одну степень свободы.

План решения:

1)Перевести искомую реакцию в разряд активных, т.e. Заменить связь или часть связи искомой реакцией;

2)Выяснить, из каких твердых тел состоит система и пронумеровать их;

3)Придать системе возможное перемещение. Для этого найти возможные перемещения двух точек каждого тела — точек, небе наложены связи, или общих точек двух тел. Если возможные перемещения не параллельны между собой, то по ним строим МЦС. Тогда возможное перемещение тела

— поворот вокруг МЦС. Если же эти возможные перемещения параллельны и не перпендикулярны прямой, соединяющей точки, то возможное перемещения тела — поступательное.

Страница (1 из 2(

Билет 16 4) Записать принцип возможных перемещений, т.е. Составить уравнение:

J∑δAk(a) = 0; k=1

5) Выразить все возможные перемещения, входящие в уравнение, через одно независимое. Для этого нужно воспользоваться равенством возможных перемещений общих точек (точек соприкосновения) твердых тел;

6) Приравнять нулю коэффициент при независимом возможном перемещении и из полученного уравнения найти искомую реакцию.

Страница (2 из 2(

Билет 17

17 — Теория поля. Потенциал. Условие потенциальности. Потенциальная энергия. Свойство силовых линии и эквипотенциальных поверхностей.

17.1 -- Теория поля

Теория поля — физическая теория о взаимодействии материи и полей.

Поле — физический объект, описываемый векторным полем, подчиняющимся динамическим уравнениям.

JU(x, y, z) — потенциальная функция.

Если существует скорость J не существует поля.

Функция П = −J U называется потенциальной энергией или потенциалом, она определена с точностью до аддитивной постоянной. Потенциальное поле называется нестационарным, в зависимости от того, завись потенциал явно от времени или нет.

JE — полная механическая энергия; TJ — кинетическая энергия; UJ (x, y, z) — потенциальная функция.

они потенциальны.

17.4 — Потенциальная энергия

Потенциальной энергией (запасом работы) материальной точки в данном положении M называется скалярная величина П, равная той работе, которую проведут силы поля при перемещении точки из положения M в нулевое.

JA = Π(MO)

17.5 — Свойство силовых линий и эквипотенциальных полей

Эквипотенциальное поле — поверхность, на которой внутренняя энергия не изменяется. JU = const

Страница (1 из 2(

Билет 17

Силовая линия — кривая, касательная к которой совпадает с направлением вектора силы. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным

FJ τ = 0

Величина силы в силовом поле обратно пропорциональна расстоянию между эквипотенциальными поверхностями.

Страница (2 из 2(