теОрмех экзамен итаэ 1 поток / Teoria_Rysina_1-22

Билет 9

9 — Сложное движение точки. Ускорение Кориолиса.

9.1 — Сложное движение точки

Сложное движение точки — такое движение, при котором точка JM движется в некоторой системе координат JOx1y1z1, а сама система координат движется относительно другой условно неподвижной системы координат

Относительное движение – движение точки JM относительно подвижной системы координат

JOx1y1z1

Переносное движение – движение подвижной системы координат JOx1y1z1 относительно неподвижной JOxyz.

Абсолютное движение точки — движение точки JM относительно неподвижной системы координат JOxyz.

Вектор J задает положение точки относительно подвижной системы координат, вектор JM задает положение точки в неподвижной системе JOxyz.

dρ

Найдем производную Jdt . Разложим по ортам подвижных осей:

Jρ = x1 i 1 + y1 j 1 + z1 k 1. Учитывая, что орты подвижной системы являются функциями времени, получим

координат JOx1y1z1 относительно неподвижной JOxyz.

9.2 — Ускорение Кориолиса

Теорема Кориолиса: «абсолютное ускорение точки в сложном движении определяется как геометрическая сумма относительного, переносного и кориолисова ускорений.» Доказательство:

1) Закон сложения скоростей: Jv = v относительная + v переносная.

Страница (1 из 2(

6)Изменение скорости точки за счет переносного движения изменение вектора скорости происходит за счет поворота:

7)Изменение скорости точки за счет относительного движения точка переместилась из JA в JA за время J t: Jv пер′!= v пер + [ωпер × (v отн · ∆ t) ,

где J(v отн · ∆ t) — вектор перемещения из JA в JA .

8)Итоговое ускорение Кориолиса: Ja K = [2ωe × v r

9)Закон сложения скорсотей кориолиса: Ja = a r + a e + [2ωe × v r

Страница (2 из 2(

Билет 10

10 — Сферическое движение. Кинематические уравнения Эйлера.

10.1 — Сферическое движение

Сферическое движение — движение твердого тела с одной закрепленной точкой.

Рассмотрим движение по отношению к системе отсчета JOx1y1z1 твердого тела, закрепленного так, что одна его точка JO остается во все время движения неподвижной. Такое движение совершает, например, волчок, у которого неподвижна точка его опоры о плоскость, или любое другое тело, закрепленное

шаровым шарниром. Найдем, какими параметрами определяется положение тела, имеющего неподвижную точку. Для этого свяжем жестко с телом трехгранник JOxyz, по положению которого можно судить о положении тела. Линия JOK, вдоль которой пересекаются плоскости JOxy и JOx1y1, называется линией узлов. Тогда положение по отношению к осям JOx1y1z1 трехгранника JOxyz, а с ним и самого тела можно определить углами Эйлера:

Jφ = KOx ; ψ = x1OK ; θ = z1Oz

Эти углы, называемые углами Эйлера, имеют следующие, взятые из небесной механики наименования, J — угол собственного вращения, J — угол прецессии, Jθ — угол нутации. Положительные

направления отсчета углов показаны на левом рисунке стрелками. Чтобы знать движение тела, надо знать его положение по отношению к осям JOx1y1z1 в любой момент времени, т.е. знать зависимости: Jφ = ƒ1(t) ; ψ = ƒ2(t) ; θ = ƒ3(t) — Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки.

10.2 — Кинематические уравнения Эйлера

Найдем проекции угловой скорости на подвижные оси координат. примем (без

˙

доказательства), что Jω = ψ + θ + ϕ.

Выполним дополнительное построение. Проведем плоскость, проходящую через оси JOz и JOz1. Линию пересечения этой плоскости и подвижной плоскости

JxOy обозначим J0L. Разложим Jψ˙ на компоненты Jψ sin(φ) и Jψ cos(φ) (правый рисунок)

Страница (1 из 2(

Билет 10

Используя равенство углов со взаимно перпендикулярными сторонами J0L 0K , 0x 0y , заметим, что угол между J0y и J0L равен J . Отсюда,

определения проекции угловой скорости на оси координат при сферическом движении. Уравнения Эйлера на неподвижные оси координат:

ωx′!= φsin(ψ)sin(θ) + θ˙cos(ψ)

ωy′!= − φ˙ cos(ψ)sin(θ) + θ˙sin(ψ). Модуль угловой скорости:

ωz′!= φ˙ cos(θ) + ψ˙

Страница (2 из 2(

Билет 11

11 — Кинематика точки в полярных координатах (скорость и ускорение).

Положение точки можно определять полярными координатами J и J . Тогда закон движения точки в полярных координатах будет задаваться уравнениями:

Jr = ƒ1(t), φ = ƒ2(t).

dS

Скорость точки: Jdt , где JdS геометрически слагается из радиального

перемещения Jdr и поперечного перемещения Jr · dφ , которое перпендикулярно JOM. Следовательно сама скорость геометрически слагается из радиальной и поперечной скоростей:

Найдя вторую производную координат по времени, выражаем ускорение:

, где первая скобка — радиальное ускорение, вторая — поперечное ускорение.

Страница (1 из 1(

Билет 12

12 — Динамика точки. Способы интегрирования.

12.1 — Динамика точка

Динамика – раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил.

Материальная точка – тело конечной массы, размерами и различием в движении отдельных точек которого по условиям задачи можно пренебречь.

Законы динамики:

1)Закон инерации: «Изолированная от внешних воздействий материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения.»

2)Основной закон динамики: «Сила, действующая на материальную точку, сообщает ей ускорение, которое в инерциальной системе отсчета пропорционально величине силы и имеет направление силы Pm a = F »

3)Закон равенства действия и противодействия: «Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.»

Задачи динамики:

1)Первая задача динамики: «Зная закон движения точки, определить действующую на нее силу»

2)Вторая (Основная) задача динамики: «зная действующие на точку силы,

определить закон движения точки»

Способы интегрирования В общем случае вторая задача динамики приводит к необходимости решения

x = x(t, C1, …, C6)

имеющее общее решение: y = y(t, C1, …, C6). Для определения постоянных z = z(t, C1, …, C6)

интегрированияJC1, …, C6 необходимо задать начальные условия при движения:

Страница (1 из 2(

Билет 12

12.2 — Способы интегрирования:

Рассмотрим движение по прямой

Разделяя переменные:

Jm Fd(vv) = dt m∫ Fd(vv) = t + C1 mφ(t) = t + C1

4) JF = ƒ(v(x)

Проведем замену:

Страница (2 из 2(

Билет 13

13 — Три теоремы динамики точки. Кинетическая энергия в 3х случаях движения тела. Моменты инерции. Центробежный момент инерции. Осевой момент инерции. Тензор инерции.

13.1 — Три теоремы динамики точки

1) Теорема об изменении количества движения точки

JQ = m v — количество движения точка (импульс).

«Изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.»

Так как масса Jm = const, то ее можно внести под знак дифференциала и это

движения по времени равна геометрической сумме действующих на точку сил. Если точка массы J движется под действием силы JR = ∑k Fk, и в момент

времени Jt0 = 0 имеет скорость J0, а в момент времени J1 - скорость Jv 1, то:

требовалось доказать

2) Теорема об изменении кинетической энергии точки

JdA = Fτds — Элементарная работа, где JFτ — проекция силы на касательную к траектории, Jds — бесконечно малое перемещение вдоль

«Изменение кинетической энергии точки при перемещении равно алгебраической сумме работ сил на том же перемещении.»

Страница (1 из 5(

Билет 13

получая в итоге дифференциальную форму теоремы об изменении кинетической энергии. Проинтегрировав, получим полную форму теоремы:

3) Теорема моментов для точки

«Производная по времени от момента количества движения точки относительно какой-либо оси равна моменту действующей силы относительно той же оси.»

Теорема моментов имеет более полное наименование как теорема об изменении момента количества движения материальной точки. Данная теорема возникла из очень простых и логичных соображений.

Количество движения JQ = m v является векторной величиной. Следовательно, как и всякий вектор, может иметь момент относительно какого-либо центра или

оси. Обозначается как Jm0(m v ) или Jmz(m v ) и называется моментом количества движения точки или кинетическим моментом. По модулю он равен:

J m0(m v ) = mvh, где Jh — длина перпендикуляра, опущенного из центра JO на

линию действия вектора Jm v

Рассмотрим теорему моментов относительно оси JOz. Пусть материальная точка массы J движется по траектории под действием силы JF, со скоростью Jv . К точке приложены два вектора JF и Jm v , каждый из которых создает свой момент. Для вектора JF запишем: Jmz(F ) = xFy − yFx , аналогично для вектора Jm v : Jmz(m v ) = xmvy − ymvx = m(xvy − yvx). Продифференцировав, получим:

(mz(m v )) = m(ddxt vy + ddyt vx)+ (xm ddvty − ym

справа равна нулю, а вторая совпадает с Jmz(F ) = xFy − yFx , отсюда:

Jddt (mz(m v )) = mz(F ), что и требовалось доказать. Относительно произвольного центра запишется как: Jddt (m0(m v )) = m0(F ).

Страница (2 из 5(

Билет 13

13.2 — Кинетическая энергия в 3х случаях движения тела

1) Поступательное движение

Поступательное движение — такое движение, при котором все точки тела движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости движения центра масс.

тела.

JT не зависит от направления движения

2) Вращательное движение

Вращательное движение — такое движение, при котором тело вращается вокруг какой-нибудь оси POz, а скорость любой его точки

Jvi = ωhi , где Jhi — расстояние точки от оси вращения, а J — угловая скорость тела. Подставляя это значение и вынося общие множители за скобку, получим:

в скобке представляет собой ничто иное как момент инерции, соответственно: JT вращ = 12 Izω2

JT не зависит от направления движения

При вращении вокруг неподвижной точки кинетическая энергия определяется как:

JT вращ = 12(Ix(ωcos(α))2 + Iy(ωcos(β))2 + Iz(ωcos(γ))2)

Или окончательно: JT вращ = 12(Ixωx2 + Iyωy2 + Izωz2), где

JIx, Iy, Iz — моменты инерции тела относительно главных осей инерции J1 1 1 в неподвижной точке JO; J x y z — проекции вектора мгновенной угловой скорости Jω на эти оси.

3) Плоскопараллельное движение

Плоскопараллельное движение — такое движение, при котором скорости всех точек тела в каждый момент времени распределены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей

через мгновенный центр скоростей JP: JT плоск = 12 IPω2 , где JIP — момент

инерции тела относительно названной выше оси; J —угловая скорость тела. Величина JIP в формуле будет переменной, так как положение центра JP при движении тела все время меняется. Потому, вместо JIP введем постоянный

Страница (3 из 5(