теОрмех экзамен итаэ 1 поток / Teoria_Rysina_1-22

Билет 4

4 —Трение качения

Трение качения — сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

Рассмотрим круглый цилиндрический каток радиуса JR и веса JP, лежащий на горизонтальной шероховатой плоскости. Приложим к оси катка силу JQ (рис. а), меньшую JFпр. Тогда в

точке JA возникает сила трения F,

численно равная JQ, которая будет препятствовать скольжению цилиндра по плоскости. Если считать нормальную реакцию N тоже

приложенной в точке А, то она уравновесит силу JP, а силы JQ и JF образуют пару, вызывающую качение цилиндра. При такой схеме качение должно начаться, как видим, под действием любой, сколь угодно малой силы 0. Истинная же картина, как показывает опыт, выглядит иначе.

Объясняется это тем, что фактически вследствие деформаций тел касание их происходит вдоль некоторой площадки >AB (рис. б). При действии силы >Q интенсивность давления у края >A убывает, а у края >B возрастает. В результате реакция >N оказывается смещенной в сторону действия силы >Q. С увеличением >Q это смещение растет до некоторой предельной величины >k. Таким образом, в предельном положении на каток будут действовать пара >Qпр с моментом >QпрR и уравновешивающая ее пара >N, P с моментом >Nk

k

Из равенства моментов находим >QпрR=Nk или >Qпр = R N

Пока >Q < Qпр каток находится в покое, при >Q > Qпр начинается качение. >k — коэффициент трения качения

Страница (1 из 1(

Билет 5

5 — Кинематика точки.Три способа задания движ.точки. Скорость и ускорение.

5.1 — Кинематика точки

Кинематика точки — раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек.

Кинематика — раздел механики, содержащий учение о движении тел без учёта действующих сил. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение.

5.2 — Три способа задания движения точки:

5.3 — Скорость и Ускорение

Скорость — быстрота изменения скорости. Является векторной величиной:

dS

Jv = τ · dt — определяет величину и направление скорости;

Ja = aτ + a n

Страница (1 из 1(

Билет 6

6 — Плоское движение.Уравнения 3х угловых скоростей.

6.1 — Плоское движение

Плоское движение — такое движение, при котором любая точка тела остается в плоскости, параллельной некоторой заданной плоскости. При этом достаточно рассматривать движение сечения твердого тела, которое параллельно некоторой плоскости: все остальные сечения движутся так же. Само тело вовсе не обязательно должно быть плоским.

Говорить о скорости тела или его ускорении в общем случае не имеет смысла: тело состоит из множества точек, каждая из которых может иметь свою скорость и ускорение. Исключение составляет поступательное движение тела, при котором равны скорости и ускорения всех точек.

6.2 — Расчет кинематики плоского движения

Скорость точки JB тела при плоском движении вычисляют через известную скорость какой-либо точки JA того же тела,

принимаемой за полюс: Jv B = v A + v BA , v BA = [ω1 × AB

Ускорения точке тела при плоском движении связаны формулой:

Ja B = a A + [ε × AB] + [ω × v BA

6.3 — Уравнение трех угловых скоростей

Уравнение трех угловых скоростей — уравнение, позволяющее решить четырехгренники на двух опорах. Состоит из 3-х шарнирно-соединенных стержней на двух неподвижных опорах. Четвертым звеном является основание закрепления. Механизм приводится в движение вращением одного из звеньев. Найдем связь угловых скоростей звеньев. Составляем кинематический граф:

Координатная форма записи этих уравнений дает уравнения трех угловых

Номера шарниров Jni = 1,4, как и номера звеньев Jmi = 1,3, не обязательно должны быть последовательными числами. Если угловая скорость одного из звеньев задана, то угловые скорости двух других легко найти из полученной

Страница (1 из 2(

Билет 6

системы уравнений. В некоторых задачах заданы все три угловые скорости, а определяется конфигурация механизма — положение звеньев, соответствующее этим угловым скоростям. В таких задачах метод МЦС не применим, метод графов в тригонометрической форме неэффективен, а уравнения трех угловых скоростей позволяют просто решить задачу.

6.4 — Теорема Трапеции

Пусть J1 4 2 3. Это означает, что четырехзвенник принимает форму трапеции. Из второго уравнения трех угловых можно сказать, что угловые скорости боковых звеньев четырехзвенника, имеющего в данный момент форму трапеции, равны: J 1z 3z

Страница (2 из 2(

Билет 7

7 — Плоское движение. План скоростей. Геометрический метод. Метод графов. МЦС.

7.1 — План скоростей

План скоростей — чертеж, на котором скорости/ускорения различных точек изображены в виде векторов, показывающих направления и величины (в масштабе) этих скоростей/ускорений в данный момент времени.

Пусть известны скорости нескольких точек плоского сечения тела. Если эти скорости отложить в масштабе из некоторой точки О и соединить их концы прямыми, то получится картинка, которая называется планом скоростей. (На рисунке

oaJ = v A , oc = v C , ob = v B

(https://www.youtube.com/watch? feature=player_detailpage&v=3YppezRTWE8)

Свойства плана скоростей:

1)Стороны треугольников на плане скоростей перпендикулярны соответствующим прямым на плоскости тела.

2)Стороны плана скоростей пропорциональны соответствующим отрезкам прямых на плоскости тела.

Объединив оба свойства, можно сделать вывод, что план скоростей подобен соответствующей фигуре на теле и повёрнут относительно её на 90˚ по направлению вращения. Эти свойства плана скоростей позволяют определять скорости точек тела графическим способом.

7.2 — Геометрический метод

Геометрический метод расчета подразумевает использование плана скоростей для анализа движения, метода МЦС, графов.

7.3 — Расчет кинематики плоского движения

Скорость точки JB тела при плоском движении вычисляют через известную скорость какой-либо точки JA того же тела,

принимаемой за полюс: Jv B = v A + v BA , v BA = [ω1 × AB

Ускорения точке тела при плоском движении связаны формулой:

Ja B = a A + [ε × AB] + [ω × v BA

7.4 — Метод графов

Страница (1 из 4(

Билет 7

Для расчета скоростей точек многозвенного механизма, каждое звено которого совершает плоское движение, формулу Jv B = v A + v BA , vBA = [ω1 × AB

применяют последовательно для всех точек, переходя от одной точки, принимаемой за полюс, к другой. Схему вычислений в этом случае удобно за-писывать в виде

структурных формул AJ 1 B, где над стрелкой указан

φ1

номер тела или наименование стержня, которому принадлежат точки, а снизу —

угол J между осью J и вектором ABJ . В проекциях на оси J граф AJ 1 B дает

φ1

vBx = vAx − AB · ω1z · sin(φ1)

уравнения: vBy = vAy + AB · ω1z · cos(φ1), где J 1z — проекция угловой

скорости тела на ось J, перпендикулярную плоскости движения. Если вращение происходит против часовой стрелки, то Jω1z = ω1 , а если по часовой стрелке, то

Jω1z = − ω1 . В качестве вершин графа удобно брать точки механизма с

заданными или искомыми скоростями. При этом скорость может быть задана частично, например только по направлению. Если в задаче имеется тело (обычно диск или цилиндр), катящееся без проскальзывания по какой-либо поверхности, то точка касания тела может быть вершиной графа, так как скорость ее равна нулю.

Для многозвенного механизма можно образовать цепочку

AJ 1 B ; B 2 C ; C 3 D ; …

особенно удобную для связи скоростей , в тех случаях, когда скорости промежуточных

точек B! и !C в задачу не входят

В проекциях на оси этот граф дает соотношения:

vDx = vAx − AB · ω1 · sin(ϕ1) − BC · ω2 · sin(ϕ2) − CD · ω3 · sin(ϕ3) vDy = vAy + AB · ω1 · cos(ϕ1) + BC · ω2 · cos(ϕ2) + CD · ω3 · cos(ϕ2)

Многозвенный механизм можно пройти и в обратном направлении. Углы к направлениям стержней будут, как и ранее, отсчитываться от положительного направления оси ! в начале стержня:

скоростями точек при этом не изменится.

7.5 — Мгновенный центр скоростей

Страница (2 из 4(

Билет 7

Мгновенный центр скоростей — точка на плоскости, связанной с этой фигурой, скорость которой в данный момент времени равняется нулю.

Если угловая скорость плоской фигуры не равна нулю, то мгновенный центр скоростей всегда существует и определяется единственным образом.

Доказательство существования МЦС: I Часть

1.Если скорость произвольной точки JA в данный момент времени равна нулю, то эта точка —мгновенный центр скоростей.

2.Если Jv A ≠ 0, рассмотрим некоторую точку JP. Для скорости точки имеем

И поскольку вектор Jω перпендикулярен вектору Jv A, последнее выражение принимает вид: Jv P = v A − ω1z2 (v A · ωz2) = v A − v A = 0

Таким образом: Jv P = 0, а точка JP — мгновенный центр скоростей. Модуль

II часть

Для некоторой точки JA, скорость которой не равна нулю, введем систему координат так, что ось JAy направлена по вектору Jv A. Тогда имеем:

Jv Ax = 0 и vAy = A > 0. Выберем на оси JAx точку JP. Ее координаты: J(x;0).

Скорость точки P:

Для нахождения мгновенного центра скоростей нужно повернуть вектор скорости точки на

Доказательство единственности МЦС:

Предположим, что мгновенных центров скоростей у тела — два, т.е., имеем Jv P = 0, и v k = 0 . Тогда для любой точки будем иметь

Страница (3 из 4(

Билет 7

Jv C = v P + [ω × PC] = v k + [ω × KC] [ω × PC] = [ω × KC]. Тогда J ω × (PC − KC)] = 0 и PC − KC = 0 PC = KC что и требовалось

доказать.

Распределение скоростей при плоском движении:

Если точка — мгновенный центр скоростей, то для некоторой точки имеем: Jv A = v P + [ω × PM , и с учетом того что

Jv P = 0 скорость точки определяется выражением: Jv A = [ω × PM .

Если Jω ≠ 0, то в каждый момент времени распределение скоростей плоской фигуры такое же, как и при вращательном

движении вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей: скорости точек плоской фигуры перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром скоростей, а величины скоростей пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра скоростей:

JvA = ωz · AP

Страница (4 из 4(

Билет 8

8 — Плоское движение. Теорема о концах векторов скоростей. Ускорение точек тела при плоском движении.

8.1 — Теорема о концах векторов скоростей

Теорема: «Концы векторов скоростей точек неизменяемого отрезка твердого тела при плоском движении лежат на одной прямой и делят ее на отрезки пропорциональные расстояниям между точками.»

Доказательство:

d1D1 AD

Заметим, что Jb1B1 = vAB = AB · ω ; d1D1 = vAD = AD · ω b1B1 = AB . Так как JA1d1 = AD и JA1b1 = AB как противоположные стороны параллелограммов,

скоростей пропорциональны расстояниям между соответствующими точками, что и требовалось доказать.

8.2 — Ускорение точек при плоском движении

Скорость точки JB определяется выражением

Jv B = v A + [ω × AB] . При дифференциации по времени мы получим:

ускорения перпендикулярен плоскости движения, а его величина равна второй производной по времени угла поворота тела вокруг полюса.

Страница (1 из 2(

Билет 8

JddABt = [ω × AB] a B = a A + [ε × AB] + [ω × [ω × AB]]. Учитывая,

что J ω × [ω × AB]] = (ω · (ω × AB))− (AB · (ω · AB)) = − ABω2

выражение можно переписать в виде: Ja B = a A + [ε × AB] − ω2AB.

Эта формула выражает теорему о распределении ускорений при плоском движении: «Ускорение произвольной точки тела при плоском движении равняется геометрической сумме векторов ускорения полюса, вращательного и осестремительного (центростремительного) ускорений.»

Страница (2 из 2(