СеверинВП ДУ первого порядка
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»
В. П. Северин
АНАЛИЗ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Учебно-методическое пособие для студентов направлений 6.040302 «Информатика», 6.040303 «Системный анализ»
Утверждено редакционно-издательским советом НТУ «ХПИ», протокол №2 от 07.12.2011
Харьков НТУ «ХПИ»
2012
УДК 517.91(075) ББК 22.161.6я73 С 28
Рецензенты: И. Ф. Домнин, д-р техн. наук, проф., Институт ионосферы НАН Украины; Н. В. Ткачук, д-р техн. наук, проф., Национальный технический уни-
верситет «Харьковский политехнический институт»
Викладені теорія і методи розв’язання диференціальних рівнянь першого порядку. Розглянуті основні поняття теорії диференціальних рівнянь; теорія диференціальних рівнянь першого порядку, що інтегруються в квадратурах; питання існування розв’язку рівнянь першого порядку; теорія диференціальних рівнянь, що не розв’язані відносно похідних. Дані завдання для практичних занять і самостійної роботи студентів. Призначено для студентів технічних спеціальностей.
Северин В. П.
С 28 Анализ систем на основе дифференциальных уравнений первого порядка : учебно-метод. пособ. / В. П. Северин. – Х. : НТУ
«ХПИ», 2012. – 96 с. – На русск. яз.
ISBN
Изложены теория и методы решения дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрены основные понятия теории дифференциальных уравнений; теория дифференциальных уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах; вопросы существования решения уравнений первого порядка; теория дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производных. Даны задания для практических занятий и самостоятельной работы студентов. Предназначено для студентов технических специальностей.
Ил. 19. Табл. 2. Библиогр.: 15 назв.
|
УДК 517.91(075) |
|
ББК 22.161.6я73 |
ISBN |
© В.П. Северин, 2012 г. |
СОДЕРЖАНИЕ |
|
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................. |
5 |
1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ |
|
УРАВНЕНИЙ .......................................................................................... |
7 |
1.1. Предмет теории дифференциальных уравнений .............................. |
7 |
1.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ............. |
9 |
1.3. Уравнения первого порядка и их геометрический смысл .............. |
10 |
1.4. Уравнения с разделяющимися переменными ................................. |
13 |
1.5. Общее и частные решения дифференциального уравнения .......... |
16 |
Практическое занятие ............................................................................... |
19 |
Контрольные вопросы .............................................................................. |
20 |
2. УРАВНЕНИЯ, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ ................. |
22 |
2.1. Однородные дифференциальные уравнения ................................... |
22 |
2.2. Уравнения, приводящиеся к однородным ....................................... |
25 |
2.3. Линейные уравнения первого порядка ............................................ |
27 |
2.4. Уравнение Бернулли .......................................................................... |
29 |
2.5. Уравнение Риккати ............................................................................ |
31 |
2.6. Уравнения в полных дифференциалах ............................................ |
33 |
2.7. Интегрирующий множитель ............................................................. |
36 |
Практическое занятие ............................................................................... |
39 |
Контрольные вопросы .............................................................................. |
41 |
3. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ .............. |
43 |
3.1. Условие Липшица .............................................................................. |
43 |
3.2. Теорема Коши о существовании и единственности решения |
|
дифференциального уравнения ......................................................... |
45 |
3.3. Понятие о продолжении решения .................................................... |
55 |
3.4. Непрерывная зависимость решения от начального условия ......... |
56 |
3.5. Уточненное определение общего решения ..................................... |
59 |
3.6. Теорема о гладкости решений .......................................................... |
60 |
3.7. Особые решения уравнения первого порядка ................................. |
61 |
3 |
|
3.8. Составление дифференциального уравнения по его |
|
общему решению .............................................................................. |
65 |
3.9. Ортогональные траектории семейства кривых .............................. |
66 |
3.10. Метод последовательных приближений ....................................... |
69 |
Практическое занятие .............................................................................. |
72 |
Контрольные вопросы ............................................................................. |
73 |
4. УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО |
|
ПРОИЗВОДНОЙ .................................................................................. |
75 |
4.1. Простейшие уравнения, не разрешенные относительно |
|
производной ....................................................................................... |
75 |
4.2. Уравнение Лагранжа ......................................................................... |
79 |
4.3. Уравнение Клеро ............................................................................... |
83 |
Практическое занятие .............................................................................. |
86 |
Контрольные вопросы ............................................................................. |
87 |
5. СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ............................................................. |
89 |
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ........................................................................ |
94 |
4
ВВЕДЕНИЕ
Дифференциальные уравнения находят применение в математике, информатике, физике, химии, технике, биологии, экономике. Дифференциальные уравнения и их системы лежат в основе математических моделей, применяемых для анализа реальных динамических объектов и систем управления. Теория дифференциальных уравнений является основой изучения многих других учебных дисциплин.
Курс лекций по дисциплине «Дифференциальные уравнения», который читал автор в течение ряда лет на факультете управления и информатики НТУ «ХПИ» для студентов специальностей «Информатика», «Социальная информатика», «Системный анализ и управление», рассчитан на один учебный семестр, в котором изучаются разделы «Дифференциальные уравнения первого порядка», «Дифференциальные уравнения высших порядков», «Системы дифференциальных уравнений».
В предлагаемом учебно-методическом пособии представлен материал для изучения первого модуля дисциплины «Дифференциальные уравнения», в котором рассмотрены теория и методы решения дифференциальных уравнений первого порядка. Особенностью пособия является более детальная структура раздела «Дифференциальные уравнения первого порядка» по сравнению с большинством учебнометодических изданий.
Первый раздел посвящен определению основных понятий, которые будут изучаться во всем курсе «Дифференциальные уравнения». Определяется предмет теории дифференциальных уравнений и показывается роль дифференциальных уравнений в других дисциплинах. Вводятся понятия дифференциального уравнения и его решения, рассматриваются общие виды дифференциальных уравнений первого порядка и их геометрический смысл. На примере дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными анализируются особенно-
5
сти решения дифференциальных уравнений. Даются определения общего и частного решения дифференциального уравнения.
Во втором разделе излагаются основные виды дифференциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах: однородные уравнения и приводящиеся к однородным, линейные уравнения и уравнение Бернулли, уравнение Риккати, уравнения в полных дифференциалах и приводящиеся к ним с помощью интегрирующего множителя.
Третий раздел посвящен теоретическим вопросам, связанным с существованием и единственностью решения дифференциальных уравнений. Формулируется и доказывается теорема Коши о существовании и единственности решения, вводится понятие о продолжении решения. Показывается непрерывная зависимость решения от начального условия и уточняется определение общего решения, доказывается теорема о гладкости решений, вводится понятие особого решения. Рассматривается нахождение дифференциального уравнения по его общему решению и построение ортогональных траекторий семейства кривых. Выводится формула метода последовательных приближений.
В четвертом разделе излагаются методы решения основных видов дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Рассматриваются простейшие такие уравнения: уравнение, которое не содержит аргумента и функции; уравнение, которое не содержит аргумента; уравнение, которое не содержит функции. Обосновываются методы решения уравнений Лагранжа и Клеро.
Для рассмотренных типов дифференциальных уравнений даются примеры их решений. Приводятся задания для аудиторных практических занятий и самостоятельной работы студентов. Для усвоения материала пособия достаточно владения стандартными курсами математического анализа, аналитической геометрии и линейной алгебры.
При написании этого пособия автор испытывал глубокую благодарность к своему требовательному учителю по высшей математике доценту НТУ «ХПИ» Юрию Федоровичу Сенчуку, который оставил о себе светлую память в душах многочисленных своих учеников.
6
1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Данный раздел посвящен определению и рассмотрению тех основных понятий, которые будут изучаться во всем курсе «Дифференциальные уравнения». Определяется предмет теории дифференциальных уравнений, показывается роль дифференциальных уравнений в других дисциплинах. Вводятся понятия дифференциального уравнения и его порядка, решения и интеграла дифференциального уравнения. Рассматриваются общие виды дифференциальных уравнений первого порядка и их геометрический смысл. На примере дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными рассматриваются особенности решения дифференциальных уравнений первого порядка. Даются определения общего и частного решения дифференциального уравнения первого порядка. Приводятся примеры для аудиторного практического занятия и самостоятельной работы студентов.
1.1. Предмет теории дифференциальных уравнений
Теория дифференциальных уравнений возникла как обоснование решения физических задач математическими методами. Обычно законы, связывающие изучаемые переменные величины, исследователю неизвестны, но он легко может установить зависимость между этими величинами и их производными.
Например, в инженерной практике часто возникает задача определения закона движения тела под влиянием действующих на тело сил. Найти такой закон движения непосредственно как функцию перемещения тела, зависящую от времени, было бы нелегко. В этом случае применяют основной закон динамики в виде второго закона Ньютона ma F : «сила F равна произведению массы m на ускорение a ». Этот закон в дифференциальной форме позволяет установить зависи-
7
мость, содержащую ускорение как вторую производную пути |
x по |
|||
времени t |
|
|
||
m |
d 2 x |
F . |
(1.1) |
|
dt 2 |
||||
|
|
|
||
Закон движения x x(t) будет найден, если научиться определять не-
известную функцию пути x(t) из дифференциального уравнения (1.1). Основная задача теории дифференциальных уравнений и заключается в изучении методов нахождения неизвестных функций, определяемых дифференциальными уравнениями. Предметом изучения в теории дифференциальных уравнений являются методы решения и исследования дифференциальных уравнений и их систем.
Вначале дифференциальные уравнения возникли при рассмотрении отдельных конкретных задач в работах Декарта, Галилея, Барроу (учитель Ньютона), Ферма, Кеплера в XVII веке. В то время понятие производной еще не было введено, как и сам термин «дифференциальное уравнение». История дифференциальных уравнений как самостоятельного раздела математики началась с работ Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница, основателей дифференциального и интегрального исчисления. Сам термин «дифференциальное уравнение» введен Лейбницем. Он также ввел некоторые поныне используемые обозначения. Существенный вклад в теорию дифференциальных уравнений внесли братья Якоб и Иоганн Бернулли (ученики Лейбница), потомки Иоганна Бернулли (особенно Даниил), Леонард Эйлер (ученик Иоганна Бернулли), Лагранж, Лиувилль, Коши и другие известные математики.
К составлению и решению дифференциальных уравнений приводят многочисленные задачи как самой математики, так и других наук – физики, химии, техники, биологии, экономики. Математические модели многих реальных динамических объектов и систем управления представляют собой дифференциальные уравнения или их системы, поэтому теория дифференциальных уравнений является основой математического моделирования и теории автоматического управления.
8
Только простейшие дифференциальные уравнения допускают аналитическое решение. Для большинства дифференциальных уравнений, связанных с практическими задачами, необходимо использовать численные методы решения. Однако основным фундаментом численных методов решения дифференциальных уравнений остается классическая теория дифференциальных уравнений.
1.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержа-
щее производные неизвестной функции.
Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция является функцией одной независимой переменной, то оно называется
обыкновенным дифференциальным уравнением. Дифференциальное уравнение (1.1) представляет пример такого уравнения.
Если же входящая в дифференциальное уравнение неизвестная функция зависит от нескольких независимых аргументов, то оно назы-
вается уравнением в частных производных. Примером служит уравне-
ние
2 z |
|
2 z |
0 |
, |
(1.2) |
|
x2 |
y2 |
|||||
|
|
|
|
которое содержит неизвестную функцию z z(x, y) .
Порядком дифференциального уравнения называется наибольший порядок входящей в уравнение производной. Так дифференциальные уравнения (1.1) и (1.2) – это уравнения второго порядка.
Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.
Например, легко проверить, что функция y sin x является ре-
шением дифференциального уравнения y y 0 .
Процесс решения дифференциального уравнения называется ин-
9
тегрированием уравнения.
В дальнейшем рассматриваются лишь обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы. Обыкновенное дифференциальное уравнение n -го порядка
|
F(x, y, y , y , ..., y(n) ) 0 |
|
(1.3) |
содержит |
независимую переменную x , неизвестную |
функцию |
|
y y(x) |
и её производные y y (x) , y y (x) , …, |
y(n) y(n) (x) . |
|
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Уравнение считается проинтегрированным, если его решение найдено в явном виде y y(x) или определяется неявно
уравнением вида (x, y) 0 независимо от того, удается ли разрешить это уравнение относительно неизвестной функции или нет. Уравнение (x, y) 0 , которое определяет решение y(x) дифференциального уравнения, называется интегралом этого дифференциального уравнения.
В данном пособии рассматриваются методы интегрирования и исследования дифференциальных уравнений первого порядка.
1.3. Уравнения первого порядка и их геометрический смысл
Дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано в общем виде, аналогичному уравнению n -го порядка (1.3)
F(x, y, y ) 0 . |
(1.4) |
Если это уравнение разрешить относительно производной, то |
|
y f (x, y) . |
(1.5) |
Простейший пример такого уравнения |
|
y f (x) , |
(1.6) |
10