Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

СеверинВП ДУ высших порядков

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

1.54 Mб

Скачать

☆

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»

В. П. Северин

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Учебно-методическое пособие по курсу «Дифференциальные уравнения» для студентов направлений 6.040302 «Информатика», 6.040303 «Системный анализ»

Утверждено редакционно-издательским советом НТУ «ХПИ», протокол №2 от 07.12.2011

Харьков НТУ «ХПИ»

2012

УДК 517.91(075) ББК 22.161.6я73 С 28

Рецензенты: И. Ф. Домнин, д-р техн. наук, проф., Институт ионосферы НАН Украины; Н. В. Ткачук, д-р техн. наук, проф., Национальный технический уни-

верситет «Харьковский политехнический институт»

Викладені теорія і методи розв’язання диференціальних рівнянь вищих порядків. Розглянуті основні поняття теорії диференціальних рівнянь вищих порядків; питання існування і єдиності розв’язку рівнянь вищих порядків; теорія однорідних і неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь вищих порядків. Дані завдання для практичних занять і самостійної роботи студентів.

Призначено для студентів технічних спеціальностей.

Северин В. П.

С 28 Дифференциальные уравнения высших порядков : учебнометод. пособ. по курсу «Дифференциальные уравнения» / В. П. Северин. – Х. : НТУ «ХПИ», 2012. – 104 с. – На русск. яз.

ISBN

Изложены теория и методы решения дифференциальных уравнений высших порядков. Рассмотрены основные понятия теории дифференциальных уравнений высших порядков; вопросы существования и единственности решения уравнений высших порядков; теория однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений высших порядков. Даны задания для практических занятий и самостоятельной работы студентов.

Предназначено для студентов технических специальностей.

Табл. 2. Библиогр.: 15 назв.

	УДК 517.91(075)
	ББК 22.161.6я73
ISBN	© В.П. Северин, 2012 г.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................	5
1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ................................................	6
1.1. Дифференциальные уравнения высших порядков ...........................	6
1.2. Общее и частное решения уравнения высшего порядка ..................	8
1.3. Теорема Коши для дифференциальных уравнений высших
порядков ............................................................................................	11
Контрольные вопросы ..............................................................................	11
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ,
ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА .................................	13
2.1. Уравнения, не содержащие искомую функцию и ее младшие
производные .......................................................................................	13
2.2. Уравнение, не содержащее независимую переменную ..................	16
2.3. Уравнение, однородное для искомой функции и ее
производных .......................................................................................	18
2.4. Уравнения, приводящиеся к точным производным .......................	21
Практическое занятие ...............................................................................	23
Контрольные вопросы ..............................................................................	23
3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ........................................................................................	25
3.1. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков ........	25
3.2. Линейный дифференциальный оператор и его свойства ...............	26
3.3. Линейный дифференциальный оператор произведения
функций ..............................................................................................	28
3.4. Линейно зависимые и линейно независимые функции ..................	30
3.5. Определитель Вронского и линейная зависимость функций ........	31
Контрольные вопросы ..............................................................................	33
4. ОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ....................................	35
4.1. Общие теоремы об однородных линейных уравнениях .................	35
3

4.2. Фундаментальная система решений однородного уравнения	...... 38
4.3. Общее решение однородного линейного уравнения .....................	41
4.4. Понижение порядка однородного линейного уравнения ..............	43
Контрольные вопросы .............................................................................	47
5. ОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С
ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ........................................	49
5.1. Однородные уравнения с постоянными коэффициентами ............	49
5.2. Случай простых вещественных корней характеристического
уравнения ............................................................................................	51
5.3. Случай простых комплексных корней ............................................	53
5.4. Случай кратных вещественных корней ..........................................	56
5.5. Случай кратных комплексных корней ............................................	60
Практическое занятие ..............................................................................	62
Контрольные вопросы .............................................................................	64
6. НЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ..............................	66
6.1. Общие теоремы о неоднородных линейных уравнениях ..............	66
6.2. Общее решение неоднородного линейного уравнения .................	68
6.3. Метод вариации произвольных постоянных ..................................	70
Практическое занятие ..............................................................................	76
Контрольные вопросы .............................................................................	76
7. НЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ....................................	78
7.1. Уравнения с правой частью специального вида .............................	78
7.2. Уравнения с правой частью в виде полинома ................................	80
7.3. Правая часть в виде произведения полинома и экспоненты .........	85
7.4. Правая часть в виде произведения полинома, экспоненты и
гармонической функции ...................................................................	91
Практическое занятие ..............................................................................	94
Контрольные вопросы .............................................................................	95
8. СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ .............................................................	97
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ......................................................................	102

ВВЕДЕНИЕ

Дифференциальные уравнения находят применение в математике, информатике, физике, химии, технике, биологии, экономике. Дифференциальные уравнения и их системы лежат в основе математических моделей, применяемых для анализа реальных динамических объектов и систем управления. Теория дифференциальных уравнений является основой других учебных дисциплин.

Курс лекций по дисциплине «Дифференциальные уравнения», который в течение ряда лет читался автором на факультете управления и информатики НТУ «ХПИ» для студентов специальностей «Информатика», «Социальная информатика», «Системный анализ и управление», рассчитан на один семестр, в котором изучаются разделы «Дифференциальные уравнения первого порядка», «Дифференциальные уравнения высших порядков», «Системы дифференциальных уравнений». В предлагаемом пособии, соответствующему второму модулю курса «Дифференциальные уравнения», рассмотрены теория и методы решения дифференциальных уравнений высших порядков. Приведены основные понятия теории дифференциальных уравнений высших порядков. Рассмотрены вопросы существования и единственности решения уравнений высших порядков. Изложена теория решения однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений высших порядков. Даны задания для практических занятий и самостоятельной работы студентов.

Особенностью пособия является более детальная структура раздела «Дифференциальные уравнения высших порядков» по сравнению с большинством учебно-методических изданий. Приводятся примеры решения всех типов рассмотренных уравнений высших порядков.

Для усвоения материала достаточно владения стандартными курсами математического анализа, аналитической геометрии и линейной алгебры.

1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Данный раздел посвящен определению тех основных понятий, которые будут изучаться в дальнейшем. Что такое дифференциальное уравнение высшего порядка, что называется его общим и частным решениями, как много этих решений существует – таковы главные вопросы, на которые дается ответ в этом разделе. Количество решений определяется теоремой Коши о существовании и единственности решения, которая здесь не доказывается, а только формулируется. На простейшем примере дифференциального уравнения второго порядка рассматривается вид его общего решения и принципы доказательства того, что полученное решение действительно является общим решением. Этот материал позволит лучше понять доказательство теорем в последующих разделах.

1.1. Дифференциальные уравнения высших порядков

Будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения порядка выше первого. В общем случае обыкновенное дифференциальное уравнение n -го порядка

	F(x, y, y , y , ..., y(n) ) 0			(1.1)
содержит	независимую переменную	x , неизвестную		функцию
y y(x)	и её производные y y (x) ,	y y (x) , …,	y(n) y(n) (x) .

Здесь F – заданная функция n 2 переменных, причем n 1 . Решением дифференциального уравнения (1.1) называется такая

функция y (x) независимой переменной x , n раз дифференцируемая, что при подстановке ее вместо y в уравнение (1.1) получается тождество по x .

Если дифференциальное уравнение (1.1) может быть разрешено относительно старшей производной y(n) , то оно записывается в виде

y(n) f (x, y, y , y ,...,y(n 1) ) .

(1.2)

Такое уравнение называется дифференциальным уравнением, разрешенным относительно старшей производной.

Пусть при интегрировании дифференциального уравнения n -го порядка (1.1) или (1.2) получено дифференциальное уравнение порядка n 1 вида

F(x, y, y , y , ..., y(n 1) ,C) 0 ,

(1.3)

где C – произвольная постоянная. Если уравнение (1.3) имеет все те же решения, что и исходное дифференциального уравнение, то оно называется первым интегралом исходного уравнения.

Рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение второго порядка

y 0 .

(1.4)

Интегрируя это равенство, имеем уравнение первого порядка
y C1 ,	(1.5)

где C1 – произвольная постоянная. Это и есть первый интеграл исходного уравнения (1.4). Повторно интегрируя равенство (1.5), получим функцию

y C1x C2 ,

(1.6)

где C2 – еще одна произвольная постоянная. Это есть общий интеграл дифференциального уравнения (1.4).

Найденная функция (1.6) является решением дифференциального уравнения (1.4), поскольку при ее подстановке в это уравнение и дифференцирования мы получаем тождество 0 0 .

1.2. Общее и частное решения уравнения высшего порядка

Полученная функция (1.6) является решением дифференциального уравнения (1.4), поскольку при ее подстановке в это уравнение мы получили тождество 0 0 . Более того, функция (1.6) определяет множество всех возможных решений уравнения (1.4), поэтому (1.6) является общим решением этого уравнения. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные C1 и C2 , то есть является двухпараметрическим.

Для определения частного решения по данному общему решению уже недостаточно одной точки (x0 , y0 ) , соответствующей начальному условию, а необходимо также задавать угловой коэффициент наклона интегральной кривой в этой точке, то есть необходимо задавать два начальных условия:

y	x x0	y	0	,	y	x x0	y .
	x x0		0			x x0	0
Общее решение дифференциального							уравнения	n -го порядка
(1.1) или (1.2) имеет вид
	y (x, C1, C2 , , Cn ) ,							(1.7)

где C1 , C2 , …, Cn – произвольные постоянные. Их число всегда равно порядку дифференциального уравнения.

Произвольные постоянные C1 , C2 , …, Cn должны быть незави-

симыми. Например, выражение C1ex C2 содержит две произвольные постоянные, но они не независимы, так как

C1ex C2 (C1eC2 )ex Cex .

Так что выражение C1ex C2 фактически содержит одну постоянную. Аналогично выражение

C1 sin x (C2

2C3 )cos x

фактически

содержит две

произвольные

постоянные,

так

как

C2 2C3 C .

В выражении же C1x C2

произвольные постоянные C1

и C2 не-

зависимы.

Возьмем общее решение уравнения (1.2), которое дается форму-

лой (1.7), и придадим произвольным постоянным C1 ,

C2 , …, Cn не-

которые конкретные значения

C , …,

C . Получим конкретное

решение

y(x) (x, C , C

, , C ) .

(1.8)

Это решение уравнения (1.2) называется частным решением.

Для нахождения конкретного частного решения из общего реше-

ния задают начальные условия:

x x0

y , y

x x0

, …,

y(n 1)

x x0

y(n 1) .

(1.9)

Число начальных условий всегда равно порядку дифференциаль-

ного уравнения.

Дадим в заключение полное формальное определение общего ре-

шения дифференциального уравнения n -го порядка.

Функция (1.7) называется общим решением дифференциального

уравнения (1.2), если:

1) при любых конкретных C C ,

C , …, C

функция

(1.8) удовлетворяет этому уравнению;

2) для любых допустимых начальных условий (1.9) возможно од-

нозначно определить значения произвольных постоянных C , C , …,

Cn .

П р и м е р 1 . 1 . Доказать, что функция

y C1x C2

является общим решением дифференциального уравнения

y 0 .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Проверим выполнение двух условий об-
щего решения.
1. Докажем,	что функция	(x) C1x C2 является решением
уравнения y 0	при любых C1	и C2 . Имеем:
	(x) C1 ,		(x) 0 .
Подставляя вторую производную			(x) в уравнение y 0 , получим

тождество 0 0 .

2. Покажем, что для любых начальных условий

y	x x0	y	0	,	y	x x0	y
							0
значения произвольных постоянных					C1 и		C2 возможно определить

однозначно. Подставляя начальные условия в выражения для y и y имеем систему уравнений:

C x	0	C	2	y	,
1	0		2	0
C y .
C y .
1		0

Решая эту систему, получим:

C y ,			C y x y .
1	0		2		0	0	0
То есть при любых значениях x		0	, y	0	и	y произвольные постоянные
						0
C1 и C2 определяются однозначно.
Тем самым доказано, что функция						y C1x C2 является общим

решением дифференциального уравнения y 0 .

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.11.2019100.31 Кб11САПР_ответы.docx
#
01.02.20151.09 Mб197Саулин Д.В. Мат.моделирование ХТС.doc
#
02.02.2015194.05 Кб10СЕБЕСТОИМОСТЬ ПРОДУКЦИИ.doc
#
02.02.20151.84 Mб96Северин В.П. Методы ОП.pdf
#
02.02.20153.8 Mб90Северин Методы БМ.pdf
#
02.02.20151.54 Mб38СеверинВП ДУ высших порядков.pdf
#
02.02.20151.31 Mб22СеверинВП ДУ первого порядка.pdf
#
02.02.201521.52 Кб23Сексуальное долголетие.docx
#
02.02.20151.08 Mб14Сети и системы(курсач).docx
#
02.02.2015110.59 Кб43си_1.doc
#
11.09.2019109.57 Кб1Синтаксис C#.doc