Министерство образования науки молодежи и спорта Украины
Национальный технический университет
«Харьковский политехнический институт»
Кафедра промышленной и биомедицинской электроники
Расчетно-реферативное задание
на тему: «Булева алгебра и минимизация логических
функций с помощью карты Карно»
Выполнил
студ. гр. Э-10
Пугач А.П.
Проверил
доц. Крылов Д.С.
Харьков 2012
Основы алгебры логики Общие сведения.
В современной информационной электронике импульсный принцип построения систем занимает доминирующее положение по сравнению с аналоговым. На базе импульсной техники выполняются системы управления и регулирования, устройства измерения и отображения информации На ней основана цифровая вычислительная техника.
В отличие от аналоговых систем, в которых сигналы изменяются непрерывно во времени (например, напряжение изменяется пропорционально регулируемой температуре), в импульсных системах используются сигналы (напряжение, ток) импульсной формы.
Преобладающее применение импульсных систем обусловлено их существенно меньшим потреблением тока (большим к. п. д.), более высокой точностью, меньшей критичностью к изменению температуры, большей помехоустойчивостью. Немаловажную роль играют также относительная простота средств представления информации в импульсной форме и наличие эффективных способов ее обработки (преобразования).
В настоящее время для построения систем обработки и преобразования информации широко применяют цифровые методы. Используемые при этом сигналы близки по форме к прямоугольным и имеют два фиксированных уровня напряжения. Уровню низкого напряжения обычно приписывается символ (состояние) «О», а уровню высокого напряжения — символ (состояние) «1».
Математическим аппаратом анализа и синтеза цифровых систем служит алгебра логики (булева алгебра), которая изучает связь между переменными (сигналами), принимающими только два («О», «1») значения. Символы «О» и «1» в алгебре логики характеризуют состояния переменных или состояния их функций, в связи с чем эти символы нельзя рассматривать как арифметические числа. Алгебра логики является алгеброй состояний, а не алгеброй чисел, и для нее характерны основные действия, отличные от принятых в обычной алгебре действий над числами.
Аксиомы, законы, тождества и теоремы алгебры логики
В
алгебре логики любая переменная может
иметь состояние «О» или «1». Поэтому в
алгебре логики каждой двоичной переменной
например х,
ставится в соответствие обратная или
дополнительная к ней (инверсная)
переменная, такая, что:
Переменную
следует читать как НЕх.
В
алгебре логики в случае одной переменной
х
действуют следующие правила (аксиомы):
Правила 1—4 характеризуют операцию логического сложения (дизъюнкции), правила
6—9 — операцию логического умножения (конъюнкции) и правила 5,10 — операцию инверсии. Знак логического сложения «+» читается ИЛИ (например, правило 1 : «х или 0 равен x»).
Знак логического умножения « • » читается И (например, «х и 0 равен 0»).
Для алгебры логики, как и для обычнол алгебры, действительны следующие за коны.
Переместительный закон (закон коммутативности) для логического сложения и умножения:
Сочетательный закон (закон ассоциативности) для логического сложения и умножения:
Распределительный закон (закон дистрибутивности логического умножения по отношению к сложению):
Для многих случаев алгебраических преобразований полезными являются тождества, относящиеся к двум и трем переменным:
К основным законам алгебры логики относятся законы инверсии для логических сложения и умножения (теоремы де Моргана):
т. е. инверсия суммы переменных есть произведение их инверсий.
т. е. инверсия произведения переменных есть сумма их инверсий.
В общем случае теоремы де Моргана могут быть представлены з виде, предложенном Шенноном:
Теорема в таком виде утверждает, что инверсия любой функции получается заменой каждой переменной ее инверсией и одновременно взаимной заменой символов сложения и умножения. При практическом применении теоремы необходимо строго соблюдать группировки членов, выраженные как явными, так и неявными скобками
Понятия инверсии и инверсного преобразования играют важную роль при синтезе схем. Использование инверсии на определенном этапе синтеза, в частности, приводит иногда к существенному упрощению функции, а следовательно, и средств ее реализации.