5.4.6 Енергетичний виграш кодування

У реальних системах зв'язку звичайно задаються обмеженими значеннями (р₃) імовірності помилки, не вимагаючи виконання умови .Тому при заданій інформаційній швидкості передачі й фіксованомупараметрі N₀ завжди можна забезпечити необхідну вірність прийому за допомогою вибору необхідного значення потужності сигналу Р_с.

Використання кодування може дозволити знизити необхідне значення потужності сигналу до деякої величини Р_ск при збереженні тих же самих значень N₀ й .Виражене в децибелах відношення цих двох потужностей називається енергетичним виграшем кодування (ЕВК) у порівнянні з використанням якого-небудь методу модуляції-демодуляції без кодування, тобто

, (5.56)

де Р_с. – потужність сигналу в системі зв'язку без кодування; Р_ск – потужність сигналу в тій же системі зв'язку, але з кодуванням.

Тут ми оцінюємо ЕВК при необмеженій складності кодування, тобто при , тоді як у наступній главі ми будемо оцінюватийого для кодів з кінцевими довжинами блоків. Очевидно, що ЕВК в останньому випадку завжди буде менше, ніж при . Тому тут миодержимо найкращі можливі результати.

Визначимо швидкість блокового коду як відношення логарифма числа дозволених кодових комбінацій М к логарифму всілякого числа комбінацій довжини п, утворених т-ічним кодом

.

Для забезпечення тієї ж самої заданої інформаційної швидкості передачі v_к тривалості канальних символів при відсутності кодування Т_к і при наявності кодування Т_кк будуть зв'язані співвідношенням

Т_кк=RТ_к .

Тому для розрахунку ЕВК при використанні коду із заданою швидкістю (у тому числі й в асимптотическом випадку, коли ) співвідношення (5.56) може бути представлене в наступній формі:

, (5.57)

де – відношення сигнал-шум у каналі зв'язку, що забезпечує необхідну величину р₃ імовірності помилкового прийому символу без кодування; – відношення сигнал-шум у каналі зв'язку, що забезпечує необхідну величину р₃ при використанні даного коду.

Величина в цьому співвідношенні може бути знайдена як рішення рівняння , де– імовірність помилки для заданого способу модуляції-демодуляції й моделі каналу зв'язку, як функції параметра . Величина відповідно до теореми кодування Шеннона може бути знайдена як рішення рівняння

,

де –пропускна спроможність дискретного каналу зв'язку, представлений як функція параметра .

В окремому випадку для 2СК одержуємо рівняння

. (5.58)

Якщо швидкість коду не задана, то ми можемо її оптимізувати, домагаючись максимізації η в (5.57) при виконанні умови (5.58).

Це, у свою чергу, реалізується при максимізації по R величини

.

Як було показано раніше, ця величина при оптимальному когерентному прийомі досягає максимуму, коли , а отже прийвиявляється рівної 0,46α.

При оптимальному некогерентному прийомі ця величина максимізується при ,що відповідає оптимальному значенню й "оптимальної" імовірності помилки символу в каналі зв'язку .

При оптимальному значенні ймовірності помилки пропускна спроможність 2СК стає приблизно рівної 0,51, що й збігається з оптимальною швидкістю коду. У цьому випадку, як було показано раніше, максимальне значення R/ виявляється рівним 0,33β.

Так, якщо задатися величиною р₃=10^-6, то ЕВК при когерентному прийомі й оптимальному виборі швидкості коду (R = 0) складе 10,2 дБ, а при оптимальному некогерентному прийомі ЕВК при оптимальному виборі швидкості буде дорівнювати приблизно 6,3 дБ.

Знаючи величини потенційних виграшів при оптимальному кодуванні, ми можемо зробити попередній вивід про те, чи доцільно намагатися застосовувати регулярне кодування, тобто "обмінювати" ці децибели на ускладнення устаткування або програмного забезпечення. Помітимо, що вибір фіксованої швидкості коду R дозволяє контролювати розширення смуги частот сигналів у порівнянні з некодованою передачею повідомлень.