2

Міністерство освіти і науки україни

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

„ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до лабораторних занять з курсу “Теоретична механіка ”

для студентів спеціальностей ФТ-факультету

Комп’ютерний лабораторний практикум

Лабораторна робота 1

ДОСЛІДЖЕННЯ КІНЕМАТИКИ ТОЧКИ

Затверджено

редакційно-видавничою

радою університету,

протокол № ____ від ____

Харків НТУ “ХПІ” 2012

Методичні вказівки до лабораторних занять з курсу “Теоретична механіка” для студентів спеціальностей ФТ-факультету. Комп’ютерний лабораторний практикум. Лабораторна робота 1 «Дослідження кінематики точки» // Укл. Д.В. Лавінський. – Харків: НТУ “ХПІ”, 2012. – с .

Укладач: Д.В. Лавінський

Рецензент В.М. Адашевський

Кафедра теоретичної механіки

Лабораторна робота 1

ДОСЛІДЖЕННЯ КІНЕМАТИКИ ТОЧКИ

Цілі, об’єкт, предмет та методи досліджень:

Ціль роботи є вивчення закономірностей руху точки, яка здійснює одночасно два гармонійних коливання у двох взаємно ортогональних напрямах, в декартових та натуральних координатах.

Об’єктом досліджень є точки, що здійснюють в площині циклічний рух, який є заданим в декартових координатах.

Предметом досліджень є кінематичні характеристики: траєкторії, вектори та годографи швидкості й пришвидшення точки, яка здійснює одночасно два гармонійних коливання у двох взаємно ортогональних напрямах.

Методи досліджень містять: аналітичне та комп’ютерне моделювання

Теоретичний матеріал

Кінематика точки – це розділ механіки, в якому вивчають рух матеріальної точки з геометричної точки зору, без розгляду причин, що викликають або змінюють цей рух. Рух – це переміщення об’єктів у просторі із плином часу, він завжди відносний і розглядається відносно системи відліку.

Траєкторія руху точки – геометричне місце послідовних положень точки у просторі із зміною часу відносно заданої системи відліку.

Тіло та система відліку. Тіло відліку – це тіло відносно якого розглядається рух об’єкта, та з яким скріпляють систему відліку. Система відліку в евклідовому просторі – це секундомір та система координат, у якості якої можна вибрати – декартову, полярну, натуральну тощо.

Закон руху – це зв’язок між положенням точки чи тіла у просторі і часом або система математичних залежностей, які повністю визначають положення об’єкту в заданій системі відліку в довільний момент часу.

Рисунок 1. Декартова, полярна та натуральна системи координат

Д е к а р т о в і к о о р д и н а т и. Система відліку із взаємно ортогональними осями координат є декартовою (див. рис. 1). Рух точки у такій системі вважають заданим, якщо координати точки відомі як двічі диференційовані функції часу: . Якщо точка рухається у площині, то її рух може бути завданим наступним чином:.

П о л я р н і к о о р д и н а т и. Якщо з тілом відліку пов’язати полярну вісь Ох то положення точки буде відомим, якщо задані полярні координати: полярний радіус та полярний кут. При русі точки в площині її рух можна задати полярними координатами (– радіальна та кутова координати),– одиничні вектори, які задають позитивні напрями радіальноїта трансверсальноїосей відповідно (див. рис.  1).

Н а т у р а л ь н і к о о р д и н а т и. У цьому випадку задають: траєкторію руху точки (функціональною залежністю, табличним способом або графічно); з рухомою точкою зв’язують натуральну систему координат (натуральний тригранник – тріедр Френе) – сукупність ортогональних осей: дотичної, головної нормалі та бінормалі, напрям яких задають одиничними ортогональними векторами (див. рис. 1); початок відліку на траєкторії, напрям руху по траєкторії; закон зміни дугової координати точки у вигляді , тобто закон руху точки по траєкторії.

Рисунок 2. Вектори швидкості та прискорення точки у різних системах координат

Швидкість руху точки при заданому закону руху у площині визначають за формулами:

– у декартових координатах

, (1) де – вектор швидкості точки, – його проекції на координатні осі, – модуль (величина) швидкості точки (рис. 2);

– у полярних координатах

, (2) де – радіальна та трансверсальна проекції вектора швидкості точки;

– у натуральних координатах

, (3)

де – проекція вектору швидкості на дотичну до траєкторії, – алгебраїчне значення швидкості (див. рис. 2).

Прискорення руху точки при заданому закону руху у площині визначають за формулами:

– у декартових координатах

, (4)

де – вектор повного прискорення точки; – його проекції на координатні осі; – модуль (величина) повного прискорення точки (див. рис. 2);

– у полярних координатах

, (5)

де – радіальна та трансверсальна проекції вектора швидкості точки;

– у натуральних координатах

, (6)

де – дотичне і нормальне прискорення; – кривина і – радіус кривини траєкторії (див. рис. 2).

Годограф вектора – геометричне місце положень кінців змінного вектора в просторі, який для будь якого моменту часу відкладається від однієї і тієї самої нерухомої точки. Годограф радіус-векторів положення точки, яка рухається, є траєкторією точки, а дотичні вектори к цьому годографу є векторами швидкості точки. За аналогією можна говорити про годограф векторів швидкості, дотичні вектори до якого є вектори прискорення.

І н в а р і а н т н і с т ь в е к т о р і в ш в и д к о с т і т а п р и с к о р е н н я. Інваріантність фізичних величин, наприклад векторних величин, означає їхню незалежність від вибору координатних систем. Якщо закон руху у площині задано в декртових координатах: , то для визначення векторів швидкості та прискорення у полярній системі координат спочатку слід застосовувати формули переходу

. (7)

Для визначення дотичного та нормального прискорення використовують такі формули

. (8)

Слід зауважити, що для визначення закону руху точки уздовж траєкторії – необхідно інтегрувати диференціальне рівнянняпри заданих початкових умовах.

Путь, яку точка проходить уздовж траєкторії, може бути визначена як довжина дуги. Тому, якщо закон руху надано в декартових або в полярних координатах, то застосовуються наступні формули:

. (9)

Траєкторії поділяють на прямолінійні та криволінійні. Криволінійні траєкторії, в свою чергу, поділяють на плоскі, наприклад, коло, парабола чи гіпербола і просторові, наприклад, гвинтова лінія, що має форму спіральній пружини. Плоскі криві утворюють шляхом перетину двох площин або площини та тіла, тому вони цілком лежать в одній площині. Просторові криві неможна отримати як перетин який-небудь поверхні або тіла з плоскістю, а тому вона не лежить цілком в одній площині. Траєкторії можуть бути обмеженими (по них матеріальна точка рухається періодично) та необмеженими. Траєкторії можуть бути замкненими, наприклад коло, еліпс, та незамкненими, наприклад, парабола, гіпербола, пряма.

Прості криві описують простим рівнянням , дета– координати положення точки у площині. За типом рівнянь криві поділяють на алгебраїчні й трансцендентні. Наприклад, – це алгебраїчна крива,чи– рівняння трансцендентних кривих.

Параметричні криві – це криві, які задають параметричними рівняннями, що застосовують для складних кривих, які не можна відобразити на графіку простими функціями. Стосовно руху матеріальної точки параметром може виступати час. Багато складних кривих отримали спеціальні найменування, наприклад спіраль Архімеда, локон Ан’єзі, цистоїда Диоклеса, кохоїда Нікомеда, лемніската Бернуллі, фігури Ліссажу.