10

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

Дифференцирование функции. Геометрический смысл производной.

Цель. Научиться находить численное значение производной функции в заданной точке.

Вычисление производной функции.

Оператор производной Mathcad предназначен для нахождения численного значения производной функции в заданной точке. Для вычисления производной используется клавиша со знаком ?.

Для того, чтобы найти производную функции и вычислить ее численное значение, необходимо сделать следующее:

• Сначала определить точку, в которой необходимо найти производную.

• Щелкнуть ниже определения этой точки. Затем набрать ?. Появится оператор производной с двумя полями:

• Щелкнуть на поле в знаменателе и набрать имя переменной, по которой проводится дифференцирование.

• Щелкнуть на поле справа от и набрать выражение, которое нужно дифференцировать.

• Чтобы увидеть результат, нажать знак =.

Задание 1.1 Найти производную по в точке

Решение:

Определим точку, в которой необходимо найти производную:

Введем оператор производной, заполним поля и вычислим производную:

* Результат дифференцирования есть не функция, а число – значение производной в указанной точке переменной дифференцирования.

Хотя дифференцирование возвращает только одно число, можно определить одну функцию как производную другой функции. Например: .

Вычисление f(x) будет возвращать в численной форме производную g(x) в точке х.

Выражение, которое нужно дифференцировать, может быть вещественным или комплексным.

Переменная дифференцирования должна быть простой неиндексированной переменной.

Геометрический смысл производной.

Задание 1.2. Дана функция у=f(x). Построить график функции и касательную к графику в точке с абсциссой x=x0, если - уравнение касательной.

Введем данную функцию и найдем ее значение в точке :

Найдем значение производной данной функции в точке :

Запишем уравнение касательной для данной функции:

Построим график данной функции и касательную к ней.

Задания 3. Выполнить дифференциальные вычисления в символьном виде:

Задание 4. Найти производную функции в произвольной точке.

1. 5. 9.

2. 6. 10.

3. 7.

4. 8.

Задание 5.

Дана функция y=f(x). Построить график функции и касательную к графику в точке с абсциссой x=x0. Y=f(x0)(x-x0)+f(x0) – уравнение касательной.

1. 6. , x0=π∕6

2. , x0=2 7. , x0=-1

3. , x0=e 8. , x0=-π/2

4. , x0=-1 9. , x0=3

5. , x0=1 10. , x0=-2

Содержание отчета:

1. Задания 1 и 2, 3, 4, 5.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5.

Интегральное исчисление.

Цель. Научиться находить определенные интегралы функций, вычислять площадь фигуры при помощи интеграла.

1. Определенный интеграл.

Оператор интегрирования в Mathcad предназначен для численного вычисления определенного интеграла функции по некоторому интервалу.

Знак интеграла выводится при нажатии клавиши со знаком &.

Для того, чтобы вычислить определенный интеграл, необходимо сделать следующее:

• Щелкнуть в свободном месте и набрать знак &. Появится знак интеграла с пустыми полями для подынтегрального выражения, пределов интегрирования и переменной интегрирования: ∫

• Щелкнуть на поле внизу и набрать нижний предел интегрирования. Щелкнуть на верхнем поле и набрать верхний предел интегрирования.

• Щелкнуть на поле между знаком интеграла и d и набрать выражение, которое нужно интегрировать.

• Щелкнуть на последнее пустое поле и набрать переменную интегрирования.

• Чтобы увидеть результат, нажать знак =.

Задание 1.1 Вычислить определенный интеграл от 0 до 

Решение:

Введем знак интеграла и заполним пустые поля;

вычислим интеграл:

*Пределы интегрирования должны быть вещественными. Выражение, которое нужно интегрировать может быть вещественным, либо комплексным. Кроме переменной интегрирования, все переменные в подынтегральном выражении должны быть определены ранее в другом месте рабочего документа. Переменная интегрирования должна быть простой переменной без индекса. Если переменная интегрирования является размерной величиной, верхний и нижний пределы интегрирования должны иметь ту же самую размерность.

2. Площадь фигуры. Как известно, при помощи определенного интеграла можно вычислять площадь фигуры.

Задание 2.1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

Решение.

Построим графики этих функций в одном графическом блоке:

Вычислим площадь полученной фигуры:

(кв.ед.)

Задание 2.1. Выполнить интегральные вычисления в символьном виде:

Задания 3.1 Вычислить определенный интеграл.

1. 2. 3.dx

4. 5. 6.

7. 7. 9. 10.

Задание 3.2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций. Построить эту фигуру.

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

Содержание отчета: Задания 1 и 2, 3.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6.

Матрицы

Цель. Научиться основным приемам работы с матрицами.

1. Основные операции с матрицами

Очень часто в расчетах необходимо использовать массивы чисел. MathCAD поддерживает два вида массивов - одномерные (векторы) и двумерные (матрицы). Элементами массива могут быть числа, строки, математические выражения и даже другие массивы. Переменной может быть присвоено значение матрицы (вектор-столбец - это матрица с одним столбцом). Основные операции для работы с векторами и матрицами собраны на панели математических инструментов Matrix.

Простой способ ввести матрицу - комбинация клавиш Ctrl+M.

Над матрицами можно осуществлять все допустимые в математике операции
вычислить определитель квадратной матрицы A:		Знак определителя квадратной матрицы (так же обозначается длина вектора-столбца и абсолютная величина числа) можно найти на панелях Calculator и Matrix или ввести клавишей < | >.
вычислить обратную матрицу (численно и символьно) для квадратной матрицы А с ненулевым определителем:		Минус первая степень в обозначении обратной матрицы вводится кнопкой X-1 панели Matrix или клавишей <^> клавиатуры ПК с последующим набором минус единицы. Оператор символьного вывода вводится комбинацией клавиш < Ctrl . >.
транспонировать матрицу (т. е. заменить ее столбцы строками и наоборот):		Кнопка MT транспонирования матрицы находится на панели Matrix. Можно также воспользоваться комбинацией клавиш <Ctrl 1>.
складывать матрицы одинаковой размерности, умноженные на любые действительные числа		Знак прозведения (точка) вводится кнопкой Х (Multiplication) панели Calculator или клавишей < * > клавиатуры ПК.
перемножать матрицы при условии, что число столбцов левого сомножителя равно числу строк правого множителя

Задание 1.1. Найти определитель матрицы, обратную и транспонированную матрицы.

2. Решение системы линейных уравнений называют

матричным методом.

Систему линейных уравнений

у которой коэффициенты при неизвестных составляют квадратную матрицу

, а свободные члены составляют матрицу , можно

записать в виде матричного уравнения , где есть матрица-столбец неизвестных. Столбец неизвестных находится из матричного уравнения умножением его частей слева на обратную матрицу , которая существует, если только определитель матрицы системы отличен от нуля. В результате получим (так как , где единичная матрица). Этот метод решения системы линейных уравнений называют матричным методом. В нашем случае получаем (численно и символьно):

Проверка решения заключается в подстановке найденного решения в матричное уравнение, которое при этом должно обратиться в верное равенство. В результате подстановки получаем:

Задание 3.

3.1. Найти определитель матрицы, обратную и транспонированную матрицы.

Матрицу 5х5 составляем самостоятельно.

3.2. Решить систему линейных уравнений матричным методом.