Расчёт погрешности измерений

3

Расчёт погрешностей при измерениях физических величин

При прямых измерениях физических величин (значение величины определяется непосредственно измерительным прибором) могут быть допущены три вида погрешностей (ошибок измерений): а) систематические (методические и приборные);

б) случайные;

в) грубые (промахи).

Грубые ошибки (или промахи) нужно сразу же исключить и провести новые измерения.

Систематические и случайные ошибки нужно учитывать.

Стандартная погрешность измерения величины Х рассчитывается по формуле:

Х = , (1)

где Х_сист - стандартная систематическая погрешность, а Х_сл - стандартная случайная погрешность.

Методические систематические погрешности нужно по возможности устранить или учесть путём введения специальных поправочных коэффициентов к измеряемой величине Х.

Приборные систематические погрешности определяются по классу точности прибора. Существуют семь классов точности приборов - 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0.

Если класс точности на шкале прибора заключён в кружок (прибор нормирован по относительной погрешности), например, 0,5 , то

Х_сист = Х_приб = 0,01^.К^.Х, (2а)

где К - класс точности прибора, Х - измеренное значение физической величины.

Если класс точности на шкале прибора не заключён в кружок (прибор нормирован по приведенной погрешности), то Х_сист = Х_приб = 0,01^.К^.Х^max, (2b)

где Х^max -верхний предел измерений прибора.

Если класс точности прибора не известен, то погрешность принимают равной половине цены наименьшего деления шкалы стрелочного прибора, и одного наименьшего деления шкалы цифрового прибора. Если стрелка прибора перемещается вдоль шкалы скачками, как например, у ручного секундомера, то приборную погрешность принимают равной цене деления, соответствующего одному скачку стрелки.

Для определения случайной погрешности измерения проводят многократно.

За наиболее достоверное значение непосредственно измеряемой физической величины Х принимают среднее из всех n измерений:

<X>= . (3)

Стандартная случайная погрешность равна:

Х_сл = t_n , (4)

где Х_i = |<X> - X_i| - абсолютная погрешность i-го измерения; t_n - коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и от требуемой надёжности  получаемого результата, определяемый по специальной таблице (cм. ниже). При числе измерений n  5 с надёжностью =2/3 коэффициент Стьюдента t_n = 1.

Относительной погрешностью измерения величины Х называется величина:

Х = . (5)

Истинное значение измеряемой величины Х с надёжностью  находится в интервале [Х - Х, Х + Х], где Х определяется формулой (3), а Х - формулой (1) с подстановкой значений Х_сист и Х_сл, рассчитанных по формулам (2) и (4). Условно это записывают в виде:

X = <X>  ΔX . (6)

При косвенных измерениях значение физической величины определяется путём прямых измерений других физических величин, а также использования известных параметров измерительной установки и справочных данных с дальнейшей подстановкой этих значений в рабочую формулу и соответствующих расчётов.

Например, Y = f (a,b,c,d), где a = a  a, b = b  b, c = c  c, d = d  d.

Наиболее близким к истинному значению будет:

Y =f (a, b, c, d), (7)

а стандартная погрешность Y принимается равной:

Y= . (8)

В простых случаях, когда, например, Y = a^ b^ c^, удобно расчёт вести по формуле:

. (9)

Истинное значение измеряемой величины Y находится в интервале [Y - Y, Y + Y ], где Y определяется формулой (7), а Y - формулой (8) или (9). Таким образом, результат может быть представлен в стандартной форме (6):

Y = <Y>  Y .

При записи результата измерений в стандартной форме необходимо соблюдать

правила округления:

1-ое правило - погрешности Х или Y округляются до двух значащих цифр, если первая цифра единица, и до одной значащей цифры во всех остальных случаях;

2-ое правило - средние значения измеряемых величин Х или <Y> округляются до последнего десятичного разряда, который используется при записи погрешности.

Коэффициенты Стьюдента t_n

n	
	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,99
2	1,00	1,38	2,0	3,1	6,3	12,7	63,7
3	0,82	1,06	1,3	1,9	2,9	4,3	9,9
4	0,77	0,98	1,3	1,6	2,4	3,2	5,8
5	0,74	0,94	1,2	1,5	2,1	2,8	4,6
6	0,73	0,92	1,2	1,5	2,0	2,6	4,0
7	0,72	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,7
8	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,5
9	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,3	3,4
10	0,70	0,88	1,1	1,4	1,8	2,3	3,3
100	0,68	0,85	1,0	1,3	1,7	2,0	2,6
	0,67	0,84	1,0	1,3	1,6	2,0	2,6

МУ составлены доц. Петренко Л.Г.

2002-2003 уч.г.