Практика_5 Кожин Численные

Практика №5

Локализация нахождения собственных чисел

Известно что | λ| ≤ ||A||

или для |∆ λ| ≤ ||∆A||

что позволяет оценить неточность нахождения собственных чисел

Метод Крылова

Суть метода заключается в построении алгебраического образа. По виду которого можно было бы сразу записать собственный многочлен вещественной матрицы А.

Возьмем произвольный вектор , согласованный по размерности с матрицей А, и по этому вектору будем составлять последовательность векторов... до тех пор пока не встретится такой вектор, т.е. вектор являющийся линейной комбинацией предыдущих линейно независимых векторов.

Для определения номера m составляют максимально возможную линейную комбинацию, т.е. полагают m=n:

 

Здесь , при - координаты вектора . В результате для определения имеем систему n - линейных алгебраических уравнений.

Для случая линейной независимости векторов полученную систему решают методом Гаусса. В том случае, когда линейно независимы только m первых векторов, находят m коэффициентов системы

Зная все значения коэффициентов можно записать собственный многочлен матрицы Решив уравнение найдем все собственные значения матрицы А.

В том случае, когда найдены только m коэффициентов системы, можно записать многочлен который является делителем собственного многочлена матрицы А. Решив уравнение: найдем часть собственных значений матрицы А. Изменяя исходный вектор и проделав все вычисления заново, находим все оставшиеся собственные значения. Собственный вектор соответствующий собственному значению ищется в виде линейной комбинации линейно-независимых векторов : где коэффициенты

1) Вычисление собственных значений методом Крылова

Пример

2,2	1		0,5		2
1	1,3		2		1
0,5	2		0,5		1,6
2	1		1,6		2
С0=		С1=А С0=		С2=А С1=		С3=А С2=		С4=А С3=
1		2,2		10,09		52,373		291,0006
0		1		6,5		41,84		239,605
0		0,5		6,55		37,64		220,7825
0		2		10,2		57,56		321,93

Тогда система уравнений имеет вид

А * p = В

52,373	10,09	2,2	1	291,0006
41,84	6,5	1	0	239,605
37,64	6,55	0,5	0	220,7825
57,56	10,2	2	0	321,93

Используя метод Гаусса находим коэффициенты полинома

52,373	10,09	2,2	1	291,0006		/	52,373
41,84	6,5	1	0	239,605
37,64	6,55	0,5	0	220,7825
57,56	10,2	2	0	321,93
1	0,192657	0,042006	0,019094	5,5563095		*	-41,84	*	-37,64	*	-57,56
41,84	6,5	1	0	239,605			+
37,64	6,55	0,5	0	220,7825					+
57,56	10,2	2	0	321,93							+
1	0,192657	0,042006	0,019094	5,5563095
0	-1,56075	-0,75755	-0,79888	7,1290085		/	-1,560749
0	-0,70159	-1,08112	-0,71869	11,643009
0	-0,88931	-0,41789	-1,09904	2,1088224
1	0,192657	0,042006	0,019094	5,5563095
0	1	0,485374	0,51186	-4,567685		*	0,7015915	*	0,889
0	-0,70159	-1,08112	-0,71869	11,643009			+
0	-0,88931	-0,41789	-1,09904	2,1088224					+
1	0,192657	0,042006	0,019094	5,5563095
0	1	0,485374	0,51186	-4,567685
0	0	-0,74059	-0,35957	8,4383601		/	-0,740586
0	0	0,013761	-0,64384	-1,953262
1	0,192657	0,042006	0,019094	5,5563095
0	1	0,485374	0,51186	-4,567685
0	0	1	0,485527	-11,39417		*	-0,013761
0	0	0,013761	-0,64384	-1,953262			+
1	0,192657	0,042006	0,019094	5,5563095
0	1	0,485374	0,51186	-4,567685
0	0	1	0,485527	-11,39417
0	0	0	-0,65052	-1,796473		/	-0,650519
1	0,192657	0,042006	0,019094	5,5563095
0	1	0,485374	0,51186	-4,567685
0	0	1	0,485527	-11,39417
0	0	0	1	2,7616		*

Решение

p1	6
p2	0,2
p3	-12,735
p4	2,7616

тогда характеристический полином будет иметь вид

λ⁴-6 λ³ -0,2 λ²+12,735λ+2,761=0

Корни полинома 0,2226 -1,42 1,545 5,652

-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5	5,5	6	6,5
34,9684	2,9984	-8,6966	-8,3666	-2,7616	2,8684	4,7734	0,7034	-10,0916	-26,8616	-47,3566	-67,8266	-83,0216	-86,1916	-69,0866	-21,9566	66,4484	208,8784

Матрица В

1	-0,348	-2,166896	0,487704		5,652
1	-4,455	-7,082975	1,791804		1,545
1	-7,42	10,3364	-1,942688		-1,42
1	-5,7774	-1,486049	12,40421		0,2226

6

0,2

-12,735

2,7616

С3=	С2=	С1=	С0=
52,373	10,09	2,2	1
41,84	6,5	1	0
37,64	6,55	0,5	0
57,56	10,2	2	0

1	-0,348	-2,166896	0,487704
1	-4,455	-7,082975	1,791804
1	-7,42	10,3364	-1,942688
1	-5,7774	-1,486049	12,40421