25.Обратная функция, сложная функция, неявная функция
1)обратная функция
Пусть задана функция у = f(x) с областью определения D и множеством значений Е. Если каждому значению у принадлежащему Е соответствует единственное значение х принадлежащее D, то определена функция х = φ(у) с областью определения Е и множеством значений D. Такая функция φ(у) называется обратной к функции f(x) и записывается в следующем виде: х = φ(У) = f-1(y).
Любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).
графики взаимно обратных функций у = f(x) и у =φ(х) симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
2)сложная функция
Пусть функция у = f(и) определена на множестве D, а функция и = φ(х) на множестве D1 , причем для x принадлежащего D1 соответствующее значение и = φ(х) принадлежит D. Тогда на множестве D1 определена функция и= f(φ(x)), которая называется сложной функцией от х (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции). Переменную и = φ(х) называют промежуточным аргументом сложной функции.
Например, функция у = sin 2х есть суперпозиция двух функций у = sin и и и = 2х. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.
3)неявная функция
Если функция задана уравнением у = f(x), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).
Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x; у) = О, не разрешенного относительно у. Всякую явно заданную функцию у = f (х) можно записать как неявно заданную уравнением f(x) - у = О, но не наоборот. Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у + 2х + cosy - 1 = О или 2 У - Х + у = О).
Если неявная функция задана уравнением F(x; у) = О, то для нахождения производной от У по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у : достаточно продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.
Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.
26
27
31.
32.
28 Вопрос
Бесконечно большая функция - функция f(x) при x стримящемуся к x0, если для любого числа М>0 существует число b= b(M)>0 , что для всех х , удовлетваряющих неравнсетсву 0<|x-x0|<b , выполняется неравнество |f(x)|>M
Всякая ББФ в окрестности точки х0 явялется неограниченной в этой окрестности.
Бесконечно малая функция - функция f(x) при х стремящемуся к х0, если Lim f(x) = 0 при х стремящемуся к х0. Равенство означает : для любого числа E >0 найдется такое число b >0, такое, что для всех х , удовлетворяющих неравенству 0<|x-x0|<b , выполняется неравенство |f(x)|<E.
Теорема:
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть БМФ.
Теорема:
Произведение ограниченной функции на БМФ есть БМФ.
Следствие : Проиведение 2-х БМФ есть БМФ
Следствие: Произведение БМФ на число есть БМФ
Теорема:
Частное от деление БМФ на функцию имеющую отличительный от нуля предел , есть БМФ.
Теорема:
Если функция а(х) - БМФ (а не равно 0) , то функция 1/(а(ч)) - ББФ и наоборот.
Связь между функцией, ее пределом и БМФ
Теорема
Если функция f(x) имеет предел , равный А , то ее можно представить как сумму числа А и БМФ а(x), то есть если Lim f(x)= A при x стремящемуся к x0, то f(x)= A+a(x).
Теорема
Если функция f(x) можно представить в виде суммы числа А и БМФ а(х) , то число А является пределом функции f (x), то есть если f(x) = A+a(x), то Lim f(x)= A при x стремящемуся к x0.