Уменьшение случайных погрешностей

Влияние шума, приведенного к входу, может быть уменьшено за счет цифровой фильтрации методом усреднения - путем проведения многократных преобразований и последующего усреднения выходного кода АЦП.

Представим результат отдельного преобразования в виде , гдеX, ,– истинное значение, систематическая, случайная погрешности вi–ом измерении. При усреднении по m измерениям за результат измерения принимается значение

Первое слагаемое есть результат измерения при усреднении. Второе слагаемое отображает вклад систематической погрешности в результат измерения. При постоянстве этой погрешности уменьшения систематической погрешности не происходит.

Третье слагаемое есть среднее значение случайной погрешности и отображает вклад случайной погрешности (шума) в результат измерения. Из теории вероятности известно, что СКО среднего значения случайной величины уменьшается в раз по сравнению с СКО слагаемых, что свидетельствует об уменьшении вклада случайной погрешности.

При m5 среднее значение случайной величины имеет закон распределения близкий к нормальному. Для нормально распределенной величины можно связать доверительный интервал погрешности и доверительную вероятность со значением следующим образом: при, при=Ϭ_ш/(m)^1/2.

Значение доверительного интервала при Рд = 0.997 можно принять в качестве полного размаха шума после усреднения

Р_шу = 6Ϭ_ш/(m)^1/2 .

Оценка выигрыша при цифровой фильтрации методом усреднения

Выигрыш при усреднении основан на уменьшении СКО шума Ϭ_ш в m^1/2 раз, во столько же раз уменьшается при усреднении и размах шума Р_шу, выраженный в квантах Р_шу = Р_ш/(m)^1/2:

Число свободных от шумов отсчетов после усреднения N_сву можно оценить по формуле

N_сву = Х_м/Р_шу = (2ⁿq)/(Р_ш/(m)^1/2) = 2ⁿm^1/2/Р_шq = m^1/2 N_св,

т.е. увеличивается в m^1/2 раз.

Это значение может быть преобразовано может быть преобразовано в свободное от шумов число двоичных разрядов n_сву кода путем вычисления двоичного логарифма

n_сву = lоg₂N_сву =lоg₂(N_св(m)^1/2) = n_св + lоg₂(m)^1/2 = n_св + 0.5 lоg₂m.

Значение n_сву увеличивается на 1 разряд при усреднении по 4 значением (m = 4), на 2 разряда при m = 16, на 3 разряда при m = 64, и т.д. Каждое учетверение числа усредняемых значений увеличивает свободное от шумов число двоичных разрядов n_сву на 1 двоичный разряд.

Недостатки усреднения

При усреднении снижается частота дискретизации, так как усредненные отсчеты сигнала выдаются в m раз реже, чем исходные коды результатов преобразований.

Для вычисления среднего значения требуются вычислительные мощности. Для того чтобы выиграть дополнительное «разрешение» для большего числа значащих разрядов, необходимо выполнять вычисления при усреднении с достаточной точностью.

Требования к отчету

1. Определить значение кванта по уровню q для 8 разрядного АЦП q = U_m / 2⁸ для заданного предела измерения U_m.

2. Определить статистическое распределение частот появления кодов в выборке объема n= …… на основании данных табл.1 и 2. Построить график статистического распределения частот.

Таблица 1 Выборка значений кодов при наличии случайного шума.

№ опыта	Значение кода Ni
1
2
…
n

Таблица 2 Статистическое распределение частот появления кодов в выборке объема n = …. Значение кода без шума –No =….. Значение СКО шума - ……

Наблюдаемые значения кодов (No-j) в массиве объема n	No-L	...	No-2	No-1	No	No+1	No+2	…	No+K
Количество данных значений кодов (No-j)
Разность макс и мин. значений кодов в выборке L+K
Частоты появления кодов pi = (No-j)/n

3. Экспериментально определить число свободных от шумов кодовых комбинацийN_сви свободное от шумов число двоичных разрядовn_св для: заданного значения кодаNoи заданного размаха шума с. Рассчитать указанные характеристики, занести результаты в таблицу 3. Определить также указанные характеристики при усреднении поnзначениям, занести полученные результаты в таблицу 3.

Таблица 3. Характеристики АЦП при наличии шума. Uo = …… No=……c = …..

n

σN, кв

Расчет

Эксперимент

Расчет при усреднении

Эксперимент при усреднении

Ршq,кв

Nсв

nсв

Ршq,кв

Nсв

nсв

Ршу,кв

Nсв

nсв

Ршу ,кв

Nсву

nсву

4

8

16

32

64