8

Вариант № 19 г. Томск

2010г

Задание.

В таблице представлены сведения о доходах У, расходах на продукты питания Х1, расходах на промышленные товары Х2.

Доходы	Расходы на продукты питания	расходы на промышленные товары
У	Х1	Х2
91,76	67,25	1,72
38,68	22,95	12,02
34,14	27,25	0,12
30,77	12,84	1,17
50,02	47,37	0,94
34,33	21,78	2,47
42,63	24,54	5,39
63,47	58,61	0,21
19,86	16,56	0,79
58,87	44,77	5,79
72,45	40,06	10,97
29,7	20,87	6,88
93,74	43,58	25,93
17,77	16,88	0,78
78,84	33,12	8,47
39,73	30,99	6,19
93,87	56,8	20,22
86,15	48,19	24,52
25,95	23,45	1,51
36,95	18,88	14,56
45,78	21	2,69
12,36	12,01	0,06

Необходимо определить:

1. Модель парной линейной регрессии вида

2. Модель множественной линейной регрессии вида

3. Линейно-логарифмическую модель вида

4. Авторегрессионную модель вида

Для модели парной регрессии определить наличие гетероскедастичности (методом графического анализа остатков, при помощи теста ранговой корреляции Спирмена, теста Голдфелда-Кванта) и автокорреляции (графическим методом и при помощи критерия Дарбина-Уотсона).

Для всех моделей проверить качество уравнения регрессии, т.е.

• Проверить статистическую значимость коэффициентов,

• Определить интервальные оценки коэффициентов уравнения регрессии,

• Определить доверительные интервалы для зависимой переменной,

• Проверить общее качество уравнения регрессии (коэффициент детерминации и его статистическую значимость).

Сделать выводы о том, какая модель является наилучшей.

Решение:

1. Модель парной линейной регрессии вида

Необходимо провести регрессионный анализ. Данные и расчеты представлены в таблице 1.

	Доходы	расходы на промышл. товары	Х2	ХУ	У2	Уi	ei	ei2
i	У	Х2
1	91,76	1,72	2,96	157,83	8419,90	38,8192	52,94	2802,73
2	38,68	12,02	144,48	464,93	1496,14	60,5522	-21,87	478,39
3	34,14	0,12	0,01	4,10	1165,54	35,4432	-1,30	1,70
4	30,77	1,17	1,37	36,00	946,79	37,6587	-6,89	47,45
5	50,02	0,94	0,88	47,02	2502,00	37,1734	12,85	165,04
6	34,33	2,47	6,10	84,80	1178,55	40,4017	-6,07	36,87
7	42,63	5,39	29,05	229,78	1817,32	46,5629	-3,93	15,47
8	63,47	0,21	0,04	13,33	4028,44	35,6331	27,84	774,89
9	19,86	0,79	0,62	15,69	394,42	36,8569	-17,00	288,89
10	58,87	5,79	33,52	340,86	3465,68	47,4069	11,46	131,40
11	72,45	10,97	120,34	794,78	5249,00	58,3367	14,11	199,19
12	29,7	6,88	47,33	204,34	882,09	49,7068	-20,01	400,27
13	93,74	25,93	672,36	2430,68	8787,19	89,9023	3,84	14,73
14	17,77	0,78	0,61	13,86	315,77	36,8358	-19,07	363,50
15	78,84	8,47	71,74	667,77	6215,75	53,0617	25,78	664,52
16	39,73	6,19	38,32	245,93	1578,47	48,2509	-8,52	72,61
17	93,87	20,22	408,85	1898,05	8811,58	77,8542	16,02	256,51
18	86,15	24,52	601,23	2112,40	7421,82	86,9272	-0,78	0,60
19	25,95	1,51	2,28	39,18	673,40	38,3761	-12,43	154,41
20	36,95	14,56	211,99	537,99	1365,30	65,9116	-28,96	838,77
21	45,78	2,69	7,24	123,15	2095,81	40,8659	4,91	24,15
22	12,36	0,06	0,0036	0,74	152,77	35,3166	-22,96	527,01
Сумма	1097,82	153,4	2401,349	10463,19	68963,73		0	8259,10
Средняя	49,90	6,97	109,15	475,60	3134,72

Уравнение парной регрессии имеет следующий вид: Ŷ=35,19+2,11*Х₂. По этому уравнению рассчитывается ŷ_i, а также е_i=y_i- ŷ_i.

Рассчитаем другие показатели

Проверим статистическую значимость коэффициентов b₀ и b₁.

Критическое значение при уровне значимости α=0,05 равно t_крит= t_0,025;20=2,086. так как t₁=3,77>2,086, то это подтверждает статистическую значимость коэффициента регрессии b₁. Аналогично для другого коэффициента – t₀=6,05>2,086, то коэффициент b₀ также является значимым.

Доверительные интервалы коэффициентов регрессии с надежность 95% (α=0,05) будут следующими:

Для b₀ (35,19±2,086*5,82)=(23,049; 47,331)

Для b₁ (2,11±2,086*0,56)=(0,942;3,278)

Далее определяются границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных объемов потребления при неограниченно большом числе наблюдений и уровне дохода Х2=10

Коэффициент детерминации

Данный показатель характеризует тесноту связи - на 41,76% изменение результативного признака (У) обусловлено изменением факторного признака (Х2) (100-41,76) =58,24% - влияние остаточных факторов

Рассчитаем F - статистику для коэффициента детерминации и оценим его статистическую значимость.

Оценим статистическую значимость критерия Фишера:

F>Fкр - критерий значим, связь между переменными существенна Fкр (а=0,05; m = 1; (n-2) = 20) = 4,35 - по таблице значений критерия Фишера, m - число факторов в регрессии (в данном случае m=1).

F > Fкр; 14,3416 > 4,35. Следовательно, принимается гипотеза о статистической значимости найденного уравнения регрессии

Проанализируем графически остатки, представив зависимость e_i от x_i

График отражает большую вероятность наличия гетероскедастичности для рассматриваемых статистических данных (то есть остатки зависят от независимой переменной).

Для обнаружения гетероскедастичности используем тест ранговой корреляции Спирмена. Вспомогательные расчеты приводятся в таблице 2

расходы на промышленные товары	ei	eiкв	Ранг Х	Ранг еi	di	diквадр
Х2
1,72	52,94	2802,73	9	22	-13	169
12,02	-21,87	478,39	18	17	1	1
0,12	-1,30	1,70	2	2	0	0
1,17	-6,89	47,45	7	7	0	0
0,94	12,85	165,04	6	11	-5	25
2,47	-6,07	36,87	10	6	4	16
5,39	-3,93	15,47	12	4	8	64
0,21	27,84	774,89	3	20	-17	289
0,79	-17,00	288,89	5	14	-9	81
5,79	11,46	131,40	13	9	4	16
10,97	14,11	199,19	17	12	5	25
6,88	-20,01	400,27	15	16	-1	1
25,93	3,84	14,73	22	3	19	361
0,78	-19,07	363,50	4	15	-11	121
8,47	25,78	664,52	16	19	-3	9
6,19	-8,52	72,61	14	8	6	36
20,22	16,02	256,51	20	13	7	49
24,52	-0,78	0,60	21	1	20	400
1,51	-12,43	154,41	8	10	-2	4
14,56	-28,96	838,77	19	21	-2	4
2,69	4,91	24,15	11	5	6	36
0,06	-22,96	527,01	1	18	-17	289
ИТОГО:2401,349	0	8259,10				1996

Коэффициент ранговой корреляции

Рассчитаем t-статистику:

Критическое значение t-статистики для числа степеней свободы 22-2=20 и уровня значимости α=0,05 t _крит=2,086 больше . Следовательно, принимается гипотеза об отсутствии гетероскедостичности

Тест Голдвелда-Квандта. Выборка разбивает на три подвыборки размерностью 8,6,8 значений. Дисперсия отклонений для первой и третьей выборки

Значение F-статистики F=2538,57/4322,54=0,587.

Критическое значение F_крит=2,12

Следовательно, принимается гипотеза об отсутствии гетероскедостичности.

Проверка наличия автокорреляции графическим методом

Таким образом, согласно проведенному исследованию можно сделать вывод об отсутствии гетераскедастичности, то есть об отсутствии зависимости остатков регрессии от факторного признака.

Для расчета статистики Дарбина-Уотсона строится вспомогательная таблица 3

	e	е2	ei-1	(ei-1)2
1	8,36	8,36
2	-7,24	-7,24	-15,60	243,27
3	-0,70	-0,70	6,54	42,73
4	11,23	11,23	11,93	142,28
5	-9,27	-9,27	-20,49	420,02
6	2,66	2,66	11,93	142,30
7	3,82	3,82	1,16	1,34
8	-7,87	-7,87	-11,69	136,61
9	-3,49	-3,49	4,39	19,23
10	-3,95	-3,95	-0,46	0,21
11	8,10	8,10	12,05	145,22
12	-6,87	-6,87	-14,97	224,04
13	5,11	5,11	11,98	143,49
14	-5,93	-5,93	-11,05	122,00
15	25,92	25,92	31,85	1014,43
16	-7,64	-7,64	-33,56	1126,35
17	-2,38	-2,38	5,26	27,67
18	-5,92	-5,92	-3,54	12,51
19	-6,36	-6,36	-0,44	0,19
20	-7,68	-7,68	-1,32	1,73
21	14,72	14,72	22,40	501,55
22	-4,72	-4,72	-19,44	377,96
ИТОГО	0	8,36	-13,08	4845,14

По таблице значений критерия Дарбина -Уотсона определяем для n = 22, и К = 1, Du =1,43, D_L =1,24, Интервал [Du; 4-Du] = [1,43; 2,57]

Так как значение критерия Дарбина - Уотсона находится в интервале Du< DW < 4-Du, то можно сделать вывод об отсутствии автокорреляции остатков.