3.Аналитическая геометрия Прямая на плоскости

     Общее уравнение

Ax + By + C (> 0).

     Вектор = (А; В)- нормальный вектор прямой.

     В векторном виде: + С = 0, где- радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).

     Частные случаи:

     1) By + C = 0- прямая параллельна осиOx;

     2) Ax + C = 0- прямая параллельна осиOy;

     3) Ax + By = 0- прямая проходит через начало координат;

     4) y = 0- осьOx;

     5) x = 0- осьOy.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В²  0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. y = k*x + b

Соотношение y = k*x + b – называется Ур. Прямой. С другой стороныy = k*x + b можно при заданных значениях к и в рассматривать как функцию. (Функцией называется соотношение между у и х соответствует единственное значение у.)

y = k*x + b с одной стороны это Ур. Прямой, а с другой стороны этой формулой задается функция(линейная функция)

Пусть дана прямая L на координатнойплоскостиОху.

Определение. Углом наклона прямой к оси абсцисс называется уголповорота оси абсцисс вокруг любой ее точки против часовой стрелки до положения параллельности (или совпадения) с данной прямой.

Общее уравнение прямой

Уравнение

Ах+Ву+С=0

(где А, В, Смогут иметь любые значения, лишь бы коэффициентыА, Вне были нулями оба сразу) представляетпрямую линию. Всякую прямую можно представить уравнением этого вида. Поэтому его называютобщим уравнением прямой.

Если А=0, то есть уравнение не содержитх, то оно представляет прямую,параллельную оси ОХ.

Если В=0, то есть уравнение не содержиту, то оно представляет прямую,параллельную оси ОY.

Когла Вне равно нулю, то общее уравнение прямой можноразрешить относительно ординаты у, тогда оно преобразуется к виду

y=ax+b

(где a=-A/B; b=-C/B).

Аналогично, при Аотличным от нуля общее уравнение прямой можно разрешить относительнох.

Если С=0, то есть общее уравнение прямой не содержит свободного члена, то оно представляет прямую, проходящую через начало координат.

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве

            Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

            Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарные. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

                                               

Расстояние от точки до прямой

Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от дочки до прямой. Теорема.Расстояние от любых двух точек прямой до параллельной прямой равны.Пусть а и b – параллельные прямые и точки A и A1 – некоторые точки на прямой a. Опустим из точки A перпендикуляр AB на прямую b и отложим из точки B отрезок BB1, равный AA1 так, что бы A и B1 были по разные стороны от прямой A1B. Δ A1AB = Δ BB1A1 по первому признаку равенства треугольников (A1B – общая, ∠ AA1B = ∠ B1BA1 – как внутренние накрест лежащие, AA1=B1B). Из равенства треугольников следует, что A1B1 тоже перпендикуляр к прямой b и AB = A1B1. Теорема доказана.Расстоянием между параллельными прямыминазывается расстояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой прямой.

 

Вычисление определителя и обратной матрицы с помощью метода Гаусса

Метод Гаусса можно использовать для нахождения определителя и обратной матрицы [5, стр.316-317].

Именно, определитель матрицы равен det .

Обратная матрица находится решением систем линейных уравнений методом исключения Гаусса:

, где есть j-тый столбец единичной матрицы , - искомый вектор.

Полученные векторы решений - образуют, очевидно, столбцов матрицы , поскольку .

Областью решения линейного неравенства с двумя переменными

(4.4)

является полуплоскость. Для того чтобы определить, какая из двух полуплоскостей соответствует этому неравенству, нужно привести его к виду или. Тогда искомая полуплоскость в первом случае расположена выше прямой, во втором - ниже нее. Если, то неравенство (4.4) имеет вид; в этом случае получим либо- правую полуплоскость, либо- левую полуплоскость.

Областью решенийсистемы является пересечение конечного числа полуплоскостей, описываемых каждым отдельным неравенством вида (4.4). Это пересечение представляет собой многоугольную область. Она может быть как ограниченной, так и неограниченной и даже пустой.

Линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид: 

 

 

где  a,  b,  c,  d,  e,  f – заданные числа;  x,  y – неизвестные. Числа   a,  b,  d,  e  – коэффициенты при неизвестных; c, f – свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя основными  методами.

Линейных уравнений с тремя неизвестными имеют вид:

                                                          

где  a,  b,  c,   d,  e,  f,   g,  h,  p,  q,  r,  s – заданные числа;  x, y,  z – неизвестные. Числа  a,  b,  c,  e,  f,   g,   p,  q,  r – коэффициенты при неизвестных;  d,  h,  s – свободные члены. Решение этой системы может быть найдено теми же двумя основными методами, рассмотренными выше: подстановки и сложения или вычитания. Мы же рассмотрим здесь подробно только метод Крамера.

  Матричная запись системы линейных уравнений

AX = B,

где

     Матрицу Aназывают матрицей (или основной матрицей) системы. Матрицу

называют расширенной матрицей системы, а матрицу для которойAС = В, - вектор-решением системы.

Ме́тод Га́усса— классический метод решениясистемы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключенияпеременных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные. Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица Aназывается основной матрицей системы,b— столбцом свободных членов.

Миноры матрицы

Пусть дана квадратная матрица А, n - ого порядка. Минором некоторого элемента а_ij , определителя матрицы n - ого порядка называется определитель (n - 1) - ого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент а_ij. Обозначается М_ij.

Рассмотрим на примере определителя матрицы 3 - его порядка:

, тогда согласно определению минора, минором М₁₂, соответствующим элементу а₁₂, будет определитель:

Алгебраическим дополнением элемента а_ij называется его минор, взятый со знаком "+", если сумма (i + j) четное число, и со знаком "-", если эта сумма нечетное число. Обозначается А_ij. А_ij = (-1)^i+j × М_ij.

Тогда можно переформулировать изложенное выше свойство. Определитель матрицы равен сумме произведение элементов некторого ряда (строки или столбца) матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения. Пример:

Обра́тная ма́трица— такаяматрицаA^-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результатеединичную матрицуE: АА^-1 =А^-1А=Е.Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц ивырожденных матрицобратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввестипсевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Свойства обратной матрицы

• ,где det обозначаетопределитель.

• (AB)^{− 1}=B^{− 1}A^{− 1}для любых двух обратимых матрицAиB.

• (A^T)^{− 1}= (A^{− 1})^Tгде *^Tобозначает транспонированную матрицу.

• (kA)^{− 1}=k^{− 1}A^{− 1}для любого коэффициента .

• Если необходимо решить систему линейных уравненийAx=b, (b — ненулевой вектор) гдеx— искомый вектор, и еслиA^{- 1}существует, тоx=A^{− 1}b. В противном случае либо размерностьпространстварешений больше нуля, либо их нет вовсе.

Для общего решения линейной неоднородной системы справедлива теорема:

Теорема. Если ранг r матрицы неоднородной системы линейных уравнений мерньше числа неизвестных n, то общее решение системы можно записать в виде

где — произвольные константы, а — фундаментальная система решений однородной системы, — некоторое (частное) решение неоднородной системы.

Заметим, что общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений равно сумме общего решения приведенной однородной системы и любого частного решения неоднородной системы.

Заметим также, что неоднородная система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда приведенная однородная система тривиально совместна, т.е. когда ранг матрицы системы равен числу неизвестных (r=n).

Необходимым и достаточным условием единственности решения неоднородной системы в случае m=n (число неизвестных совпадает с числом уравнений) является оличие от нуля определителя матрицы (условие detA?0).

Исследование линейной системы проще всего производить методом Гаусса.

Однородной системой линейных уравненийназывается система вида:

Нулевое решение системы (1) называетсятривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

Решения однородной системы обладают свойством линейности:

Теорема (о линейном решении однородных систем). Пусть — решения однородной системы (1), — произвольные константы. Тогда также является решением рассматриваемой системы.

Определители n-порядка

В общем случае определитель n-го порядка состоит изn²элементов, и обычно его записывают как

Первый индекс каждого элемента указывает номер строки, второй – номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент, поэтому a_ij– элементi-й строки иj-го столбца. Часто такой определитель записывают в виде |a_ij|.

Под значением определителя

принято понимать сумму всех произведений из nэлементов, т.е.

В этой формуле суммирование ведется по всем перестановкам j₁,,j_nчисел 1, 2,,nи перед членом ставится знак плюс, если перестановка четна, и минус, если эта перестановка нечетна. Такая сумма насчитывает ровноn! членов, половина которых берется со знаком плюс, половина – со знаком минус. Каждый член суммы содержит по одному члену из каждого столбца и каждой строки определителя.

Определителем второго порядка называется

число равное разности произведе

ний элементов главной и второй диагонали:

(нарисовать точечки ,помниме как он нам объяснял)))))сдесь 2 строчки и 2 столбика))

Примеры определителей второго порядка:

Определителем третьего порядканазывается

следующее выражение:

(а сдесь 3 строчки и 3 столбика)

Определитель третьего порядка вычислить легко,

если учесть следующее правило: со знаком плюс

идут произведения троек чисел, расположенных на

главной диагонали матрицы, и в вершинах треуголь

ников с основанием параллельным этой диагонали и

вершиной в противоположого угла матрицы. Со знаком

минус идут тройки из второй диагонали и из треуголь

ноков, построенных относительно этой диагонали.

Основная задача линейного программирования (ОЗЛП) ставится следующим образом: Имеется ряд переменных. Требуется найти такие их неотрицательные значения, которые удовлетворяли бы системе линейных уравнений:

и, кроме того, обращали бы в минимум линейную целевую функцию(ЦФ)

Очевидно, случай, когда ЦФ нужно обратить не в минимум, а в максимум, легко сводится к предыдущему, если изменить знак функции и рассмотреть вместо нее функцию

Допустимым решениемОЗЛП называют любую совокупность переменных, удовлетворяющую уравнениям (1.1).

Оптимальным решениемназывают то из допустимых решений, при котором ЦФ обращается в минимум.

Ответы на 7,8,9!

Основные понятия теории вероятности.

Опыт.

Теория вероятности опытом(эксепериментом)называется любая последовательность действий,которую можно повторить,то что получается в результате опыта называется событием.

Иногда,при повторении опытов получается одно и тоже событие.Такое событие называется достоверным событием.

Если в результате опыта событие не может произойти никогда,то такое событие для данного опыта называется невозможным событием.

А иногда,бывает что некоторое событие в результате повторения опытов,то происходит,а то не происходит ,какое событие называется случайным событием.

Результаты экспериментов нахывается элементарными событиями .Кол-во всех элементарных событий обозначает

n(E)=2

Элементарные событие обозначается одной буквой A,B,C...

А-означаетс событие произошло.Если в результате эксперимента событие А не произошло то обозначаем. так -

А

Алгебра событий

Пусть — пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (т.е. непустое множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств , которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определённую только на множестве событий (каждый третий студент 1 курса ЭФ не знает, что такое область определения функции. А вы знаете?).

Итак, событиями мы будем называть не любые подмножества , а лишь элементы некоторого выделенного набора подмножеств . При этом необходимо позаботиться, чтобы этот набор подмножеств был замкнут относительно введённых в параграфе 2 главы 1 операций над событиями, т.е. чтобы объединение, пересечение, дополнение событий снова давало событие. Сначала введём понятие алгебры событий.

Определение 10. Множество , элементами которого являются подмножества множества (не обязательно все) называется алгеброй (алгеброй событий), если оно удовлетворяет следующим условиям:

(A1) (алгебра событий содержит достоверное событие);

(A2) если , то (вместе с любым событием алгебра содержит противоположное событие);

(A3) если и , то (вместе с любыми двумя событиями алгебра содержит их объединение).

Из свойств (A1) и (A2) следует, что пустое множество также содержится в .

Из (A3) следует, что вместе с любым конечным набором событий алгебра содержит их объединение: для любого , для любых , ..., выполнено .

Вместо замкнутости относительно операции объединения можно требовать замкнутость относительно операции пересечения.

Свойство 1. Свойство (A3) в определении 10 можно заменить на

(A4) если и , то .

Доказательство. Докажем, что при выполнении (A1) и (A2) из (A3) следует (A4). Если , , то , по свойству (A2). Тогда из (A3) следует, что , и, по (A2), дополнение к этому множеству также принадлежит . В силу формул двойственности, дополнение к объединению как раз и есть пересечение дополнений:

Аналогично доказывается, что при выполнении (A1) и (A2) из (A4) следует (A3), т.е. эти два свойства в определении взаимозаменяемы.

Классическая вероятность.

Вероятность события А есть отношение кол-ва вариантов,которые принадлежат к А к общему кол-ву всех возможных равновозможных вариантов.

Геометрическая вероятность.

Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы – это отдельные точки G, любое событие – это подмножество этой области, пространства элементарных исходов G. Можно считать, что все точки G «равноправны» и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы.

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:

где m(G), m(A) – геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и события А.

Относительная частота.

Относительная частота наряду с вероятностью принадлежит к основным понятиям теории вероятностей.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой

W (А) = m / n,

где m - число появлений события, n - общее число испытаний.

Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту - после опыта.

примеры относительной частоты

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах, относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.

Статистическая вероятность.

Пусть некоторый эксперимент повторяется п раз, событие А при этом наступилораз.

О: Относительной частотой появления события А, наступившего т раз при повторении эксперимента п раз, называется

Замечено, что при больших

частоталишь слегка колеб-

лется — это закон устойчивости частот.

О: Статистической вероятностью события А называется

если число испытаний п достаточно большое.

Например, при бросании монеты 24 000 раз герб выпал 12 012 раз (опыт К. Пирсона). Число 12 012/24 000 близко к 1/2. При решении задачи о вероятности выпадения герба при бросании монеты формула (34.2) дает Р(А) =

Элементы комбинаторики

Рассмотрим некоторое множество Х, состоящее из n элементовБудем выбирать из этого множества различные упорядоченные подмножестваy из k элементов.Размещением из n элементов множества Х по k элементам назовем любой упорядоченный набор элементов множества Х.

Если выбор элементов множества y из Х происходит с возвращением, т.е. каждый элемент множества Х может быть выбран несколько раз, то число размещений из n по k находится по формуле n в степени k (размещения с повторениями).

Если же выбор делается без возвращения, т.е. каждый элемент множества Х можно выбирать только один раз, то количество размещений из n по k обозначается А наверху k внизу n и определяется равенством

Частный случай размещения при n=k называется перестановкой из n элементов. Число всех перестановок из n элементов равно

Пусть теперь из множества Х выбирается неупорядоченное подмножество Y(порядок элементов в подмножестве не имеет значения). Сочетаниями из n элементов по k называются подмножества из k элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Общее число всех сочетаний из n по k обозначается и С вверху k внизу n равно

Справедливы равенства:

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m*n способами.

Теоремы сложения:

1) пусть А и Б - два несовместных события, тогда вероятность их суммы равна сумме вероятностей слагаемых, т.е.

Р(А+Б)=Р(А)+Р(Б)

2) пусть А и Б - два совместных события, тогда вероятность их суммы равна сумме вероятностей слагаемых без вероятности произведения, т.е.

Р(А+Б)=Р(А)+Р(Б)-Р(АБ)

Теоремы умножения:

3) пусть А и Б - два независимых события, тогда вероятность их произведения равна произведению вероятностей сомножителей, т.е.

Р(АБ)=Р(А)Р(Б)

4) пусть А и Б - два зависимых события, тогда вероятность их произведения равна произведению вероятностей первого множителя на вероятность второго, вычисленную в предположении, что первое событие произошло (или вероятности второго множителя на вероятность первого, вычисленную в предположении, что второе событие произошло), т.е.

Р(АБ)=Р(А)Р(Б/А)=Р(Б)Р(А/Б)

Условная вероятность

Случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий эксперимента может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий эксперимента, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А.

Условной вероятностью(два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

В частности, отсюда получаем

Формула полной вероятности и формула Байеса

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий, вероятности появления которых. Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий, которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез .

По теореме умножения вероятностей

,

откуда

.

Аналогично, для остальных гипотез

Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотезназываются апостериорными вероятностями, тогда как- априорными вероятностями.

Случайные величины и их числовые характеристики.

Определение случайной величины.

Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причем появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Формальное математическое определение следующее: пусть — вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция, измеримая относительнои борелевскойσ-алгебры на . Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Дискретная случайная величина. Непрерывная случайная величина.

ернемся к примерам, приведенным выше. В первом из них случайная величина Х могла принять одно из следующих возможных значений: О, 1, 2, ..., 100. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений X. Таким образом, в этом примере случайная величина принимает отдельные, изолированные возможные значения. Во втором и третьем примерах случайные величины могли принять любые из значений промежутков (а,b) и (c, d) . Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины.

Уже из сказанного можно заключить о целесообразности различать случайные величины, принимающие лишь отдельные, изолированные значения, и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Дадим более точное определение :

Дискретной случайной величиной (ДСВ) называют такую величину, множество значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное.

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Множество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно и несчетно.

Ряды распределения.

Важнейшей частью статистического анализа является построение рядов распределения (структурной группировки) с целью выделения характерных свойств и закономерностей изучаемой совокупности. В зависимости от того, какой признак (количественный или качественный) взят за основу группировки данных, различают соответственно типы рядов распределения.

Если за основу группировки взят качественный признак, то такой ряд распределения называют атрибутивным (распределение по видам труда, по полу, по профессии, по религиозному признаку, национальной принадлежности и т.д.).

Если ряд распределения построен по количественному признаку, то такой ряд называют вариационным. Построить вариационный ряд - значит упорядочить количественное распределение единиц совокупности по значениям признака, а затем подсчитать числа единиц совокупности с этими значениями (построить групповую таблицу).

Выделяют три формы вариационного ряда: ранжированный ряд, дискретный ряд и интервальный ряд.

Ранжированный ряд - это распределение отдельных единиц совокупности в порядке возрастания или убывания исследуемого признака. Ранжирование позволяет легко разделить количественные данные по группам, сразу обнаружить наименьшее и наибольшее значения признака, выделить значения, которые чаще всего повторяются.

Другие формы вариационного ряда - групповые таблицы, составленные по характеру вариации значений изучаемого признака. По характеру вариации различают дискретные (прерывные) и непрерывные признаки.

Дискретный ряд - это такой вариационный ряд, в основу построения которого положены признаки с прерывным изменением (дискретные признаки). К последним можно отнести тарифный разряд, количество детей в семье, число работников на предприятии и т.д. Эти признаки могут принимать только конечное число определенных значений.

Дискретный вариационный ряд представляет таблицу, которая состоит из двух граф. В первой графе указывается конкретное значение признака, а во второй - число единиц совокупности с определенным значением признака.

Если признак имеет непрерывное изменение (размер дохода, стаж работы, стоимость основных фондов предприятия и т.д., которые в определенных границах могут принимать любые значения), то для этого признака нужно строить интервальный вариационный ряд.

Групповая таблица здесь также имеет две графы. В первой указывается значение признака в интервале «от - до» (варианты), во второй - число единиц, входящих в интервал (частота).

Частота (частота повторения) - число повторений отдельного варианта значений признака, обозначается fi , а сумма частот, равная объему исследуемой совокупности, обозначается

где k - число вариантов значений признака

Очень часто таблица дополняется графой, в которой подсчитываются накопленные частоты S, которые показывают, какое количество единиц совокупности имеет значение признака не большее, чем данное значение.

Частоты ряда f могут заменяться частостями w, выраженными в относительных числах (долях или процентах). Они представляют собой отношения частот каждого интервала к их общей сумме, т.е.:

При построении вариационного ряда с интервальными значениями прежде всего необходимо установить величину интервала i, которая определяется как отношение размаха вариации R к числу групп m:

где R = xmax - xmin ; m = 1 + 3,322 lgn (формула Стерджесса); n - общее число единиц совокупности.

Плотность распределения непрерыной св

Основные числовые характеристики СВ.

Для характеристики среднего значения СВ вводится математическое ожидание.

О: Математическим ожиданием дискретной СВ

с законом распределенияназывается

Математическим ожиданием непрерывной СВс плотностью распределенияназывается

Математическое ожидание имеет следующие свойства: 1°. Математическое ожидание постоянной равно ей самой: М(с) = с, с = const.

2°.

Для дискретной СВ

Для

непрерывной СВ свойство следует из свойств определенного интеграла и определения несобственного интеграла

3°.

- СВ.

Доказательство проводится аналогично свойству 2°.

Если задана дискретная СВс законом распределения тто математическое ожидание определяется какв случае абсолютной сходимости ряда.

В противном случае СВ не имеет математического ожидания.

Для характеристики степени разбросанности значений СВоколо ее среднего значениявводится дисперсия.

О: Дисперсией СВназывается

Средним квадратическим отклонением СВназывается

Основные распределения случайных величин.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими этим значениям вероятностями.

Для дискретной СВ закон распределения может быть задан в виде ряда распределения или в виде функции распределения, для непрерывной СВ — в виде функции распределения.

Обозначимвероятность того, чтопримет значение

О: Рядом распределения дискретной СВназывается закон распределения, заданный в виде таблицы значенийи вероятностей

Серия независимых испытаний.

Проводится серия из nнезависимых испытаний, каждое из которых заканчивается либо “успехом” либо “неуспехом”, в каждом испытании (опыте) вероятность успеха p, а вероятность неуспеха q=1-p. Вероятность того, что в серии будет реализовано ровно k “успехов” вычисляется по формуле, где 0<p<1, k=0, 1, …, n,,

Биномиальное распределение.

Биномиальное распределение, распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях. Если при каждом испытании вероятность появления события равна р, причём 0 £ p £ 1, то число m появлений этого события при n независимых испытаниях есть случайная величина, принимающая значения m = 1, 2,.., n с вероятностями

где q = 1 — p, a— биномиальные коэффициенты (отсюда название Биномиальное распределение). Приведённая формула иногда называется формулой Бернулли. Математическое ожидание и дисперсия величины m, имеющей Биномиальное распределение, равны М (m) = np и D (m) = npq, соответственно. При больших n, в силу Лапласа теоремы, Биномиальное распределение близко к нормальному распределению, чем и пользуются на практике. При небольших n приходится пользоваться таблицами Биномиальное распределение

Распределение непрерывных св.

Св называется непрерывной, если ее функция непрерывна и дифференцируема почти всюду.

Из этого утверждения следует, что для непрерывной Св бессмысленно говорить о вероятности принять заданное значение.

P{x<X≤ x}=F(x+ x)-F(x)= F

P {X=x}=Lim( x 0)P{x<X≤ x}=Lim F(x)=0

Рассмотрим отношение

плотность распределения

Плотностью распределения непрерывной Св Х называют первую производную функции распределения

Т. О. функция F(x) является первообразной для плотности распределения. График плотности распределения является кривой распределени

Плотность распределения f(x) является законом распределения непрерывной Св, т.е. зная плотность распределения, можно вычислить вер-ть любого события, связанного с непрерывной Св.

P{α<X≤β} = F(β)-F(α)

P{α<X≤β} + P{X=β} = F(β)-F(α)= f(x)dx – на основе формулы Ньютона-Лейбница =>

α β

Свойства плотности распределения

1. F(x)≥0, это следует из свойств функции F(x)

2. - условие нормировки

связь ф-ии распределения и плотности

Нормальное распределение.

Любая случайная величина имеет функцию распределения - зависимость плотности вероятности от значения случайной величины. Для нормального распределения (распределения Гаусса) функция распределения имеет следующий вид:

- матожидание (генеральное среднее)

- стандартное отклонение

Для проведения статистических расчетов часто необходимо располагать информацией о виде функции распределения.

Центральная предельная теорема Чебышева: Если случайная величина подвержена воздействию бесконечного числа бесконечно малых случайных факторов, то она имеет нормальное распределение.

Как правило, для аналитических измерений условие теоремы выполняется, поэтому для результатов химического анализа обычно постулируется нормальное распределение.

Нарушения нормального закона распределения:

1) Нарушаются условия теоремы (выделяется более весомая группа факторов). Например: анализ высокочистых веществ - неравномерное распределение примесей.

2) Произвольное объединение нескольких выборок (даже если каждая из них подчинялась распределению Гаусса):

3) Косвенные измерения. Линейная комбинация нормально распределенных случайных величин также будет подчиняться нормальному распределению. А нелинейная комбинация (например, произведение двух величин) не сохранит нормального распределения. Однако, чем меньше погрешность, тем меньше отличие от нормального распределения, поэтому даже для нелинейных преобразований в некоторых случаях можно принять нормальное распределение.

4) Результат измерения является дискретной величиной (например, некоторые радиоактивационные методы анализа, ряд биохимических и рентгеноспектральных методов - так называемые счетные методы). В этом случае результат измерения подчиняется распределению Пуассона. Однако при больших распределение Пуассона переходит в нормальное распределение. (Примечание: формально любой результат измерения является дискретным - потому, что шкала прибора имеет дискретный набор делений, и результат округляется до ближайшего деления. Однако если измеряемый сигнал много больше цены деления, то результат подчиняется нормальному распределению).

Что делать, если результат не подчиняется нормальному распределению?

1) Возможно, нормальное распределение выполняется приблизительно и можно применять критерии для нормального распределения.

2) Если известен закон распределения (например, распределение Пуассона), то можно пользоваться критериями этого распределения. (Например, для сравнения двух нормально распределенных случайных величин используется критерий Стьюдента . Дисперсия рассчитывается нелинейным преобразованием, и подчиняется -распределению (хи-квадрат распределение или распределение Фишера). Для сравнения двух дисперсий используется критерий Фишера.

3) Если распределение неизвестно, то на этот случай существуют непараметрические критерии. Например, сравнение двух средних на основе расчета числа возможных перестановок внутри объединенной выборки.

График нормального распределения.

Распределения Стьюдента

Распределение Стьюдента

Другое название – T-распределение

Обозначение

Область значений

Параметры Параметр формы , число степеней свободы, целое положительное число

Плотность (функция вероятности)

Математическое ожидание 0

Дисперсия ,

Функция распределения Не выражается в элементарных функциях

Связь с другими распределениями

Случайная величина , имеющая распределение Стьюдента сстепенями свободы, следующими соотношениями связана с независимыми случайными величинами,иимеющими соответственно F-распределение с степенями свободы 1 и , распределение хи-квадрат с степенями свободы и нормальное с параметрами 0 и 1:

Кроме того, .

При распределение Стьюдента достаточно для практических целей близко к нормальному распределению.

Пусть даны n независимых случайных величин, распределенных нормально с параметрамии..Определим случайные величиныиобычным образом. Тогда случайная величинаподчиняется T-распределению с n степенями свободы. На этом свойстве основан одновыборочный T-критерий.

Пусть даны два набора из n1 и n2 случайных величин, распределенных нормально с параметрами,и,соответственно. Определим случайные величины , и , обычным образом. Тогда случайная величина

подчиняется T-распределению с n1+n2-2 степенями свободы. На этом свойстве основан двухвыборочный T-критерий.

Вычисление функции распределения и ее квантилей

Выше указано соотношение, связывающее распределение Стьюдента с F-распределением, которое, в свою очередь, является частным случаем бета. Это и дает нам способ вычисления функции распределения Стьюдента.

хи-квадрат и Фишера и их графики

тут я не знаю(

Точный критерий Фишера - это один из критериев, используемый для обработки выборочных данных в статистических исследованиях.

Допустим, что есть два дихотомических фактора (два показателя с ответами: "Да" и "Нет") и случайная выборка с результатами их измерений.

Критерий позволяет проверить гипотезу о зависимости/независимости этих факторов.

В статистике имеются и другие критерии для проверки этой же гипотезы. Но сложилась парадоксальная ситуация. С одной стороны Точный критерий Фишера считается наиболее мощным (название говорит само за себя). С другой стороны методика применения этого критерия практически не поддается ручному счету, а сколько-нибудь подробные таблицы отсутствуют (хорошая таблица займет несколько томов).

В результате Точному критерию Фишера уделяется незаслуженно мало места как в учебниках прикладной статистики, так и в известных статистических компьютерных пакетах.

Авторы любят рекомендовать его только при небольших объемах выборок, и когда иные критерии выдают явную чушь.

Между тем компьютерная программа в состоянии вычислить его с превосходной точностью, практически мгновенно и для выборок до 20 тысяч. Этого достаточно практически для всех выборочных исследований.

Настоящая программка считает критерий, выдает график распределения и делает выводы.

Исходными данными для расчета являются всего 4 (а то и 3) числа. Поэтому интерфейс программы исключительно простой. Для людей, знакомых с этим предметом, вообще вопросов не возникнет.

Тем не менее программа имеет встроенный текстовый блок с популярной лекцией о возможностях этого критерия и о статистике вообще и с наглядным примером использования.

Рангомсистемы строк (столбцов)матрицыА

называется максимальное число линейно независимых

строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) назы

ваются линейно независимыми, если ни одна из них

не выражается линейно через другие. Ранг системы

строк всегда равен рангу системы столбцов и это

число называется рангом матрицы.Ранг матрицы—

наивысший из порядков миноровэтой матрицы,

отличных от нуля. Ранг матрицы равен наибольшему

числу линейно независимых строк (или столбцов)

матрицы.Обычно ранг матрицы AобозначаетсяrangA(rgA)

или rankA. Оба обозначения пришли к нам из иностранных

языков, потому и употребляться могут оба. Последний

вариант свойственен для английскогоязыка, в то время как

первый — для немецкого,французскогои ряда других

языков.2 метода вычисления ранга матрицы: 1) метод

окаймляющих миноров; 2) метод элементарных преоб

разований.

Свойства определителей

1)Детерминант — кососимметричнаяполили

нейная функция строк (столбцов) матрицы.

Полилинейность означает, что определитель

линеен по всем строкам (столбцам):

2)При добавлении к любой строке (столбцу)

линейной комбинациидругих строк (столбцов)

определитель не изменится.

3)Если две строки (столбца) матрицы совпадают,

то её определитель равен нулю.4)Общий мно

житель элементов какого-либо ряда определителя

можно вынести за знак определителя.5)Если хотя

бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то

определитель равен нулю.6)Сумма произведений

всех элементов любой строки на их

алгебраические дополненияравна определителю.

7)Сумма произведений всех элементов любого ряда

на алгебраические дополнениясоответствующих

элементов параллельного ряда равна нулю.

8)Определитель произведения квадратных матриц

одинакового порядка равен произведению их

определителей

Система m линейных уравнений с n неизвестными в линейной алгебре— это система уравнений вида

(1)

Здесь x₁,x₂, …,x_n— неизвестные, которые надо определить.a₁₁,a₁₂, …,a_mn— коэффициенты системы — иb₁,b₂, …b_m— свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁=b₂= … =b_m= 0), иначе —неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если числоmуравнений равно числуnнеизвестных.

Теорема Кронекера-Капели.

Система линейных алгебраических уравнений (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Выводы из теоремы:

1)если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение

2)если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений

3)ранг основной матрицы не может быть больше ранга расширенной матрицы

Транспонированная матрица—матрицаA^T,

полученная из исходной матрицы Aзаменой

строк на столбцы.Формально, транспонированная

матрица для матрицы Aразмеров — матрица

A^Tразмеров , определённая какA^T[i,j] =A[j,i].

Например,и

Свойства транспонированных матриц

1. (A^T)^T=A

2. (A+B)^T=A^T+B^T

3. (AB)^T=B^TA^T

4. detA= detA^T