39. Исследование условий и построение графиков.

- найти область определения функции

- найти точки пересечения графика с осями координат

- найти интервалы знака постоянства

- исследовать на четность, нечетность

- найти асимптоты графика функции

- найти интервалы монотонности функции

- найти экстремумы функции

- найти интервалы выпуклости и точки перегиба

Пусть {xn} – числовая послед. Выражение Cумма от бескон до n=1 an= a1+a2+…+an+.. назыв числовым рядом, а числа аn – членами ряда.

Числ послед {Sn}, где S1=a1, Sn=a1+a2+..+an – последовательность частичных сумм ряда.

Необх условие сходимости: Если ряд Cумма от бескон до n=1 an сходится, то lim (n->бескон) an=0. Числовой ряд (Cумма от бескон до n=1 an )ограничен, если последоват его частичных сумм ограничена.

Ряд (Cумма от бескон до n=1 an) абсолютно сходится (сходящийся), если сходится ряд Cумма от бескон до n=1 |an|

Сходящийся ряд, не явл абсол сход, наз-ся условно сход-мся. Пример 1-1+1\2-1\2+1\3-1\3+..+1\n-1\n+…

Признак Коши сходимости числового ряда.

Пусть для числового ряда Cумм от бескон до n=1 с положит членами сущ предел lim (n->бескон) (kor an)^n, то если: 1) Сущ такое q,1 (неотриц), то ряд сходится, если 2) q>1, то ряд расх

Предельная форма:

Пусть члены ряда Cумм от бескон до n=1 неотриц и lim (n->бескон) (kor an)^n сущ, тогда если lim (n->бескон) (kor an)^n:

1. <1, то ряд сходится

2. >1, то расх

3. =1, то может сход или расх

Признак Деламбера

Пусть все члены ряда ( Cумма от бескон до n=1 an) положительны. Предел отнош послед члена к предыд равен q: lim (n->бескон) an+1\an=q. Тогда

1. если q<1, то ряд сходится,

2. если q>1, то ряд расходится,

3. если q=1, то может сходится или расх

Предельная форма признака Деламбера: Пусть ( Cумма от бескон до n=1 an) и ( Cумма от бескон до n=1 bn) – ряды с положит членами и сущ конечный предел отношения их общих членов lim(n->бескон) an\bn=мю не равно 0. Тогда ряды одновр сходятся и расх. Пример:

Для числ рядов Cумм от бескон до n=1 1\n^2 и Cумм от бескон до n=1 (n+5)n^2\n^3=lim (n->бескон) (1+5\n)=1не равно 0 ряды расходятся

Числ ряды основ на сравн

Пусть имеются два числ ряда с положит членами

A1+a2+..+an+.. (1)

B1+b2+..+bn+.. (2)

Где an>0, bn>0 для всех n принадл N, для таких рядов справелливы след призн сходимости:

Призн сравнения: Пусть общие члены рядов (1) и (2) с положит членами связаны нер-вами an<=bn для всех n принадл N. Тогда:

А) если ряд (2) сходится, то ряд (1) сходится

Б) если ряд (1) расх, то ряд (2) расх

Гармонич ряд: 1+1\2+1\3+..+1\n+..= Сумм от бескон до n=1 1\n (расх)

Обобщ гармонич ряд: 1+1\2^альфа+1\3^альфа +..+1\n^альфа +..= Сумм от бескон до n=1 1\n^альфа (расх)

Альфа- некот число

Сход, если альфа >1 и расх, если альфа <=1

17 Числовая и абсол сходимость. Знакочеред ряды.

Абсол сходится – если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсол величин его членов (св-ва: можно складывать, перемножать, переставлять члены; их члены быстро убыв) Сумм от бескон до n=1 (-1)^n-1\n^2

Условно сход, если сам ряд сход, а ряд, составл из абсол величин его членов, расх Сумм от бескон до n=1 (-1)^n-1\n (не облад св-вами абсол)

Знакочеред – ряд, в кот все члены попеременно то положит, то отриц: а1-ф2+ф3-..+(-1)^n+1*an+…= Сумм от бескон до n=1 (-1)^n+1an, где an>0 для всех n принадл N

18 Признак Лейбница: Если члены знакочеред ряда убывают по абсол величине u1>u2>…>un>…u предел его общего члена при n-> бескон равен 0, т.е. lim (n->бескон) Un=0, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена S<=u1

Функциональные послед. Равномерная сходимость

Пусть дана послед ф-ции {Fn(x)}, каждая из кот определена в интерв (а,в). Ф-циф f(x) определенная в интерв (а,в) назыв-ся пределом функц полед-сти {Fn(x)}, если Vxo принадл (a,b) lim (n->бескон) fn(xo)=f(xo)

Пусть {Fn(x)} – последоват функций, каждая из кот определена в интерв [a,b]. Функц посл {Fn(x)} сходится в интерв [a,b] равномерно к ф-ции f(x), если VE>0EK=K(E):Vx принадл [a,b]n>k=> |fn(x)-f(x)|<E

Если функц последовательности {Fn(x)} и {Фи n(x)} сходятся равномерно в замкнутом интервале [a,b] соотв к ф-циям f(x) и Фи(х), то

1. {Fn(x) + Фи n(x)} равном сходятся к Fn(x) + Фи n(x)

2. {Fn(x)*Фи n(x)} cход к Fn(x)*Фи n(x)

3. {Fn(x)\Фи n(x)} сход к Fn(x)\Фи n(x)

Функц ряд Сумм от бескон до n=1 fn(x) сход равном в замкн интерв [a,b], если соотв функц посл-ть {Sn(x)} его частичных сумм, где Sn(x)=f1(x)+f2(x)+…+fn(x), равномерно сходится в интерв [a,b]

Дифференцирование послед и рядов

Т: Если функц послед {fn(x)} непрер и имеет непрер перв произв в интерв [a,b] и если послед-ть {fn(x)} и {f`n(x)} сходится равномерно в этом интерв, то положим lim (n->бескон) fn(x)=f(x), можно утверждать, и что lim (n->бескон) f`n(x)=f`(x)

Д-во: Пусть lim f`n(x)=фи(x) и хо принадл (а,в), по теореме о ср знач. Имеем:

|(fn(xo+h)-fn(xo)\h)-fi(xo)|=|f`n(xo+teta h)-fi(xo)|=f`n(xo+teta h)-fi(xo+teta h) +fi(xo+tetah)|<=|f`n(xo+teta h – fi(xo+teta h)+ (fi(xo+tetah)-fi(xo)|

Пусть E>0. Т.к. послед {f`n(x)} сход к fi(x) равномерно, то сущ такой номер N, что для кажд х справедливо неравенство |f`n(x)-fi(x)|<E\2. Отсюда следует, что для n>N и кажд h:

|f`n(xo+tetah)-fi(xo+teta h)<E\2

Функция фи(х) непрер как предел равномерн сход послед-сти непрер ф-ции, поэтому |fi(x`)-fi(xo)|<E\2

Ф Тейлора

F(x)=f(xo)+f`(xo)(x-xo)+f``(xo)\2! * (x-xo)^2+..+f^(n)(xo)\n! * (x-xo)^n+ Rn(x) – остаточн член

Ф Маклорена

F(x)=f(0)+x\1! * f`(0)+ x^2\2! * f``(0)+…+ x^n-1\(n-1)! * f^(n-1)(0)+Rn(x), где R(n) имеет вид:

1)остат член в форме Коши

Rn(x)=x^n\(n-1)! (1-тета`)^n-1*f^(n)(тета` x); 0<тета`<1

2) ост член в форме Лагранжа

Rn(x)=x^n\n! F^(n)(тета x), 0<тета<1

Оба этих ост члена равны между собой и отлич только видом

Разложение элементарных функций

1. y=e^x

Имеем f(x)=f`(x)=f``(x)=..=f^n(x)=e^x

f(0)=f`(0)=f``(0)=..=f^n(0)=e^0=1

e^x=1+x+x^2\2!+x^3\3!+…+x^n\n!...

Область сходимости ряда (-бескон;+бескон)

2. y=sinx

Имеем f(x)=sinx, f`(x)=cosx, f``(x)=-sinx; f```(x)=-cosx, f````(x)=sinx f(0)=0, f`(0)=1, f``(0)=0. f```(0)=-1, f````(0)=0

Sinx=x-x^3\3!+x^5\5!+…+((-1)^n-1 * x^2n-1)\(2n-1)!+.. обл сход (-бескон;+бескон)

3. y=cosx

cosx=1-x^2\2!+x^4\4!-…+ (-1)^n * x^2n)\(2n)!+..

4. y=ln (1+x)

ln(1+x)=x- x^2\2+x^3\3-…+ (-1)^n * x^n+1)\n+1+.. обл сход (-1;1]

5. y =(1+x)^m, где m- люб действит число

(1+x)^m=1+mx+m(m-1)/2! *x^2 + m(m-1)(m-2)\3! * x^3 + m(m-1)(m-n+1)\n! x^n+… обл сход (-1;1)