19 Ряд Фурье и интегральное преобразование Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме.

Применение преобразования Фурье при обработке сигналов

Интегральное преобразование Фурье

Преобразованием Фурье функции называется следующая пара взаимно однозначных преобразований:

- прямое преобразование

; (4.1)

- обратное преобразование

, (4.2)

где - оригинал – вещественная или комплексная функция, удовлетворяющая условиям Дирихле: на любом конечном интервале в области задания определена, однозначна, непрерывна или кусочно-непрерывна, имеет конечное число экстремумов и разрывов первого рода;

- фурье-изображение (фурье-образ) функции, результат преобразования Фурье;

;

- частота сигнала;

- время.

Преобразование Фурье справедливо только в области абсолютной сходимости интеграла (4.1)

.

Преобразование Фурье справедливо для более узкого класса сигналов, чем преобразование Лапласа.

Ряд Фурье

Непрерывная периодическая функция с периодом, удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда Фурье

, (4.3)

где - период дискретизации по круговой частоте:

; (4.4)

- коэффициенты Фурье (комплексные числа)

; (4.5)

- номер коэффициента Фурье, соответствующего частоте.

Аналогично, непрерывная периодическая функция частоты с периодом, удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле может быть представлена в виде ряда, симметричного (4.3)

, (4.6)

где - период дискретизации по времени:

; (4.7)

- коэффициенты Фурье (комплексные числа)

; (4.8)

- номер коэффициента Фурье, соответствующего времени.

На основании приведенных формул можно записать соотношение для периодов функций и периодов дискретизации во временной и частотной областях .

Преобразованием Фурье дискретной последовательности называется следующий ряд

, (4.9)

где - оригинал – вещественная или комплексная последовательность;

- фурье-изображение (фурье-образ) последовательности, результат преобразования Фурье.

Преобразование Фурье справедливо только в области абсолютной сходимости ряда (4.9)

.

Фурье-изображение последовательностиявляется периодической функцией, поскольку аргумент данной функциипериодичен по частотес периодом, равным частоте дискретизации:. (4.10)

Значит, непрерывная периодическая функция частоты может быть представлена рядом Фурье прии

, (4.11)

где коэффициенты вычисляются по формуле

. (4.12)

Подставляя в (4.11) и учитывая, что, получаем (4.9)

.

Поэтому формула (4.12) представляет собой обратное преобразование Фурье.

Таким образом, преобразованием Фурье последовательности называется пара взаимно однозначных преобразований:

- прямое

; (4.13)

- обратное

. (4.14)

20 Преобразование Фурье для прямоугольного импульса.

Преобразование Фурье прямоугольного импульса

Прямоугольный импульс определяется выражением:

(4.51)

Рисунок 4.2 – Форма прямоугольного импульса

Прямое преобразование Фурье позволяет получить спектр прямоугольного импульса:

(4.52)

Рисунок 4.3 – Спектр прямоугольного импульса

Обратное преобразование Фурье приводит к восстановлению прямоугольного импульса: