4. Частотные характеристики систем автоматического управления
Для упрощения исследования преобразования входного сигнала в выходной, входной сигнал разделяется на сумму простых слагаемых. И каждое слагаемое находится по отдельности, а затем все значения складываются, т.к. система линейная.
Гармоника:
Пусть y=y1
Найдем частное
решение:
,
предположим, что соответствующее решение
имеет вид:x=x1=W(jw)*y1(t)=c/2*W(jw)*ejwt
Подставим x и y в уравнение (1):
(2)
отсюда
частотная характеристика системы (1).
Функция комплексная, функция частоты. Соотв. y отличается от входа только коэффициентом. Входной сигнал преобразуется в выходной умножением на множитель jw*ejw
Коэффициент усиления – комплексное число. Коэффициент не зависит от времени, а зависит от частоты w.
Аналогия с комплексными числами- комплексный коэф. усиления.
Любое комплексное число можно представить в виде действительной и мнимой части:
P(w) – действ частотная характериктика (чх)
Q(w) – мнимая чх
A(w) – амплитудная чх
-
фазовая чх
W(jw)=P(w)+jQ(w)=A(w)*ej
(w)
w – частотная характеристика.
Связь между характеристиками:
;
;
;
Пусть
,
тогдаy2
отличается от у1,
тем что частота отрицательная
Если x=x1+x2=c*Coswt
При входном сигнале:
y(t)=c*Cos wt
x(t)=cA(w)*Cos(wt+
)
Выходной сигнал – результат преобразования гармоник.
Прохождение
гармоник через линейную систему, ее
амплитуда С
увеличивается
в a(w)
раз, а фаза на
.
Любой сигнал (периодический) раскладывается в ряд Фурье и его можно представить в виде гармоник.
Преобразование Фурье – обобщение понятия ряда Фурье.
Преобразование Фурье обозначается X(jw),
Набор коэффициентов называется СПЕКТРОМ.
5. Передаточные функции. Связь между входом и выходом системы в частотной области.
Рассмотрим поведение системы при нулевых начальных условиях. Возьмём преобразование Лапласа от левой и правой частей. Затем, пользуясь теоремой дифференцирования, получим: W(S)=Xвых(S)\Xвх(S).
Отношение изображения Лапласа выходного сигнала к изобр. Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией системы.
Свойства передаточной функции(ПФ):
ПФ, как правило представляется в виде дробно-рациональной функции переменной S, т. е. в виде отношения двух полиномов от S.
Знаменатель ПФ --- характеристический полином.
Коэффициенты полинома – действительные числа. Они прямо или косвенно связаны с физическими параметрами системы.
Порядок числителя (m) не может превышать порядок знаменателя (n) – условие физической осуществимости: m<=n
Если S положить равной jw, то получим частотную характеристику. Предположим, что порядок числителя больше порядка знаменателя. Покажем физическую неосуществимость. Устремим jw к бесконечности, т. е. рассм. входной сигнал высокой частоты. Так как порядок числителя больше порядка знаменателя, то коэффициент усиления стремится к бесконечности. Это значит, что мы рассматриваем систему, которая даёт бесконечное усиление бесконечно большой частоты.
6. Передаточные функции основных видов соединения систем.
Основные соединения звеньев:
Последовательное соединение.
Параллельное соединение.
Соединение по схеме обратной связи.
Передаточная функция в замкнутой системе равна передаточной функцией прямой цепи, деленной на 1 +передаточной функции разомкнутой цепи.
-Передаточная
функция по ошибке
-это
отношение входного сигнала к изображению
выходного сигнала.
-Эквивалентная схема