- •1.Многочлены.
- •2. Рациональные дроби.
- •3. Понятие первообразной ф-ции и неопределенного интеграла.
- •4. Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •5. Интегрирование по частям в неопределённом интеграле.
- •6. Интегрирование рациональных функций.
- •7. Интегрирование тригонометрических функций.
- •8. Интегрирование иррациональных функций.
- •11. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
- •12. Замена переменных в определенном интеграле.
- •13. Интегралы от периодических, нечетных и четных ф-ций.
- •14. Вычисление площадей плоских фигур.
- •15. Вычисление длины дуги с помощью определенного интеграла.
- •17. Ни-1
- •18. Несобственные интегралы второго рода.
- •19. Понятие функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных в точке, повторные пределы. Непрерывность.
- •20. Частные производные .
- •21 . Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия дифференцируемости. Полный дифференциал.
- •22. Частные производные сложной функции. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала.
- •23. Неявные функции и их дифференцирование.
- •24. Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •25. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Матрица Гессе.
- •26. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
- •27. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.
- •28. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции в замкнутой области.
- •29. Интегралы по фигуре от скалярной функции, их свойства, геометрические и физические приложения.
- •30. Криволинейный интеграл первого рода.
- •36. Криволинейный интеграл второго рода, его механический смысл, скалярная форма и вычисление.
- •Скалярная форма кри-2
- •37. Формула Грина.
- •38. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути. Интегрирование полных дифференциалов.
- •39. Поверхностный интеграл второго рода, его физический смысл, скалярная форма и вычисление..
- •40. Скалярные поля. Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
- •41. Векторные поля. Поток векторного поля. Дивергенция.
- •42. Циркуляция и ротор векторного поля.
- •43. Операторы Гамильтона и Лапласа.
- •44 Потенциальное векторное поле и его свойства.
- •45.Соленоидальное векторное поле. Гармоническое векторное поле.
26. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
u=f(M), k+1-раз. дифф в опр. т. М0€[М]
└→(Rk+1(N))
N отр М0М, u=f(M), k-1 раз.дифф. в окр. k раз дифф в т. М0.
;
27. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.
u=f(M)=f(x1,x2,..,xn) опред. в окр. т.М0(x10,x20,..,xn0).
Опр. Ф-ция u=f(M) имеет в т. М0локальный максимум (мин.), если сущ. такая окр. в т. М0в кот.при ММ0выполняется след. нер-во:f(M)<f(M0), (f(M)>f(M0)).
∆u=f(M)-f(M0)<0, если М0т.локал. мах.; ∆u>0, если М0т.локал. мin.
Теор.(необход.усл.экстремума).
Если ф-ция u=f(M) дифф. в т.М0и М0– т.лок.max(min), то в этой точке:
Док-во: док-ем, что ,u=f(x1,x2,..,xn)
x2=x20, М0(x10,x20,..,xn0).
x3=x30,..
xn=xn0.
u=f(x10,x20,..,xn0) – имеет лок. экстремум в т.М0→.
Точка в кот. все частные призвод. u=f(M) – стационарн., таким обр. точками возможен. экстремума дифф. экстремума явл. стационар. т., но в стационар. т. ф-ция может и не иметь экстремума.
u=xy2,ux’=y2=0;uy’=2xy=0;M(0,0) стационар., но не явл. т.экстремума.
∆u=u(M)-u(M0)=xy2>(<)0
Кроме того, лок. экстр. ф-ция может иметь в т., в кот. она не дифф.:
z=1-√x2+y2;zx’=x/√x2+y2;zy’=y/√x2+y2;z(0,0)=1;z(∆x,∆y)<1
Теор.(Дост. усл. сущ. т. лок. экстр.)
Пусть u=f(u) дважды непр. дифф. в некот. окр.т.M0и т.M0– стационар.т.,u=f(M) (df(M0)=0), тогда если для любыхdx1,dx2,..dxnне равных одновременно 0:
d2f(M0)>0, то т.M0-т.лок.min;d2f(M0)<0, то т.M0-т.лок.max;
Д-во: f(M)=f(M0)+df(M0)/1!+d2f(N)/2!., ∆f(M0)=f(M)-f(M0)=df(M0)+d2f(N)/2!.
u=f(M) – дважды непр. дифф.,d2f(M0)>0→d2f(N)>0;d2f(M0)<0→d2f(N)<0;→ ∆f(M0)>0→
M0 – т.лок.min;M0 – т.лок.max;
d2f(M0)>0↔a11>0,
d2f(M0)<0↔a11<0,
Если d2f(M0) представляет собой закономерную квадрат. форму, то в т.M0экстремума не будет. Если 2-ой дифф. представляет собой квадр. форму
Q(dx1,dx2,..dxn)>0 то полож.опр.
Q(dx1,dx2,..dxn)≥0 то казизнакополож.опр
х12+2х12х22+х22+(х1+х1)2≥0; х1=-х2.
28. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции в замкнутой области.
Найти экстремум z, при ксловии, что x и y связаны следующим образом.
; x+y-1=0;
(*)
; ;;
Метод множителя Ла-Гранджа.
(*) эквивалентна задаче: , где
-множитель Ла-Гранджа; - функция Ла-Гранджа.
Надо исследовать ф-ции Ла-Гранджа с учетом условия связи в диффиринциалах.
Наибольшее и наименьшее значение ф-ции в замкнутой области.
Если ф-я определена в замкнутой ограниченной области Д, то она достигает своего min и max значения, либо в стационарных точках внутри области, либо на ее границе.
29. Интегралы по фигуре от скалярной функции, их свойства, геометрические и физические приложения.
Множество называется связанным, если любые 2 из них можно соединить линией, все точки которой принадлежат данному множеству.
Под геометрической фигуройпонимается одно из следующих связных (включая границу) множеств точек (см. таблицу).
Диаметром d фигуры Ф называется максимальное расстояние между двумя ее точками.
Под меройфигуры Ф понимается следующее (см. таблицу).
Если он существует, конечен и не зависит от способа построения интегральной суммы , то он называется интегралом по фигуре Ф от скалярной ф-ции Ф(Р) и обозначается
Теорема: Если на связной, ограниченной и содержащей граничные точки фигуре Ф скалярная ф-ция f(P) непрерывна, то интеграл по фигуре Ф существует.