22. Частные производные сложной функции. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала.

; ;

Теорема: Если ф-ция дифф. В т., а- дифф. в т., то тогдабудет дифф. в т.и

Док-во: ;;

- дифф. в т. - непрерывны в т., т.е.;

дифф. в т.

;

; ;;

;

;

- свойство инвариантности формы первого дифф.

23. Неявные функции и их дифференцирование.

переменная u, являющаяся по смыслу задачи функцией аргументов х, у, ... , задается посредством функционального уравнения

F(u, х, у, ...) = 0. (1)

В этом случае говорят, что u как функция аргументов х, у, ... задана неявно. Так, например, функция u = -, рассматриваемая в круге x² + y² ≤ 1, может быть неявно задана посредством функционального уравнения

F(u, х, у) = u² + x² + y² – 1 = 0. (2)

Теорема 1. Пусть функция F(u, х, у) дифференцируема в некоторой, окрестности точки M₀(u₀, х₀, у₀) пространства R, причем частная производная непрерывна в точкеM₀. Тогда, если в точке M₀ функция F обращается в нуль, а частная производная не обращается в нуль, то для любого достаточно малого положительного числа ε, найдется такая окрестность точкиM₀’(х₀, у₀) пространства R', что в пределах этой окрестности существует единственная функция u = φ(х, у), которая удовлетворяет условию | u - u₀ | < ε и является решением уравнения

F(u, х, у) = 0 (3)

причем эта функция u = φ(х, у) непрерывна и дифференцируема в указанной окрестности точки M₀’.

24. Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

f(x,y)=f(x₀,y₀)+A∆x+B∆x+o(ρ); z₀=f(x₀,y₀); z=f(x,y); ∆x=x-x₀, ∆y=y-y₀;

z₀=z₀+A(x-x₀)+B(y-y₀); z₀-z=A(x-x₀)+B(y-y₀);

z₀-z=f_x‘(x₀,y₀)(x-x₀)+f_y‘(x₀,y₀)(y-y₀)-ур-ние касательн. плоскости в поверхности.

z=f(x,y) (x₀,y₀,z₀).

Нормалью к поверхн. в данной точке М₀(x₀,y₀,z₀) назыв. прямая, проходящая через эту точку перпенд. к касат.

(x-x₀)/f_x‘(x₀,y₀)=(y-y₀)/f_y‘(x₀,y₀)=(z-z₀)/(-1) – ур-ние нормали

(x-x₀)/f_x‘(x₀,y₀,z₀)=(y-y₀)/f_y‘(x₀,y₀,z₀)=(z-z₀)/f_z‘(x₀,y₀,z₀)

25. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Матрица Гессе.

Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Матрица Гессе.

Частные производные иназывают частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. порядков.

Так .

Частная производная второго и более высокого порядков, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной.

Теорема. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

Пусть функция z = f(x;y) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по формуле . Найдем его:

.

Символически это записывается так:

.

Аналогично можно получить формулу для дифференциала 3-го порядка.

Методом мат. Индукции можно показать, что:

, где .

Полученные формулы справедливы лишь если x и y – независимые переменные.

Матрица Гессе имеет вид: