12

Свойство конгруэнтности (сравнимости) целочисленных величин и его использование в генераторах БСВ.

Обычно для построения БСВ используются т.н. конгруэнтные процедуры. В основе этих методов лежит фундаментальное понятие о конгруэнтных величинах.

Свойства конгруэнтности:

1) А и В целые числа;

2) интервал между числами А и В д.б. равен целому числу умноженному на m;

3) остатки от деления А и В на модуль m д.б. одинаковы.

Формально:

1. a,b,m – целые числа

2. │a-b│ =k*m, где k – целое.

3. ]a/m[=]b/m[

Если 1, 2, 3 выполн., то a=b(mod m) {т.е. сравнимы по модулю}.

При формировании БСВ конгруэнтными процедурами, на роль очередных x_i+1 и текущих x_i выбираются конгруэнтные: x_i+1=x_i(mod m).

Конгруэнтные процедуры являются чисто детерминированными, т.к. описываются виде рекуррентного соотношения, когда функция x_i+1=Ф(x_i) имеет вид x_i+1≡αx_i +β (mod m)

x_i= [αⁱx₀ + β (αⁱ-1) /(α-1)](mod m).

Если задано начальное значение x₀, множитель α и аддитивная константа β, то данная формула однозначно определяет послед-ть целых чисел {x_i}.

Способы формирования базовых случайных величин (БСВ); их возможности.

Есть три способа получения с.в.:

- аппаратный способ основан на использовании физических процессов, которые представлены как случайные (пр.: шумы в п/п приборах). Используется электронная приставка, на выходе которой формируется случайная функция. Недостаток метода: необходимость периодической настройки и невозможность повторного воспроизведения той же самой цепочки с.в.

- табличный способ удобен когда требуется небольшое число с.в., которые предварительно д.б. получены и зафиксированы в ОЗУ.

- алгоритмический способ используется чаще всего, т.к. не требует периодической настройки и специальных устройств для получения чисел, легко воспроизводится та же послед-ть, размер выборки задается разработчиком. В основе лежит специальный алгоритм, который при очередном обращении формирует только одну реализацию с.в., многократное обращение формирует заданное число реализаций. Все перечисленные способы позволяют реализовать только псевдослучайные величины (ПСВ).

Такие алгоритмы строятся обычно с помощью рекуррентных процедур. x_i+1=Ф(x_i) – рекуррентное соотношение первого порядка.

В качестве функции-генератора следует использовать функцию, плотно заполняющую квадрат (1,1).

Необходимые требования для генерации БСВ: ПСВ д.б. независимы, неповторяющимися достаточно длительное время, воспроизводимыми, время генерации д.б. минимальным

. Организация цифрового статистического моделирования; метод статистических испытаний (Монте-Карло).

Метод статистических испытаний (Монте-Карло) базируется на иссл-ии случайных чисел, т.е. возможных значений нек. с.в. с заданным распределением вероятностей. Статистическое моделирование представляет собой метод получения с помощью ЭВМ статистических данных о процессах, происходящих в моделируемой системе. Статистические данные обрабатываются и классифицируются с использованием методов мат. статистики.

Сущность метода: построение для процесса функционирования системы S некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды E, и реализация этого алгоритма с использованием программно-технических средств ЭВМ.

Области применения: для изучения стохастических систем; для решения детерминированных задач.

В результате статистического моделирования системы S получается серия частных значений искомых величин и функций, статистическая обработка которых позволяет получить сведения о реальном поведении системы в произвольные моменты времени. Если количество реализаций N достаточно велико, то полученные результаты моделирования системы приобретают статистическую устойчивость и с достаточной точностью могут быть приняты в качестве оценок искомых характеристик процесса функционирования системы S.

Метод статистических испытаний (МСИ) — это специфич. инструмент для получения с.в., процессов и функций. Если этот метод включен в состав имитационной модели то она получает название имитационно-статистич. модели.

В МСИ для реализации множества с.в. используются некоторые БСВ. В качестве БСВ можно взять любую, однако на практике принято использовать БСВ с равномерным распределением.

Цель, суть и сферы применения моделирования.

Существует внешняя среда, которая представлена исследователю в виде объекта-оригинала или процесса (явления). Также сущ. информационная система – наблюдатель. Предполагается, что есть более сложная система, сост. из внешней среды и информационной системы.

Внеш. среда представлена нек. свойствами, не отн. к инф. системе, но она оказывает действие на инф. систему. С другой стороны, инф. система (наблюдатель) оказывает влияние на внеш. среду с пом. исполнительных устройств. Т.о. внеш. среда и инф. система взаимодействуют.

Свойства объекта-оригинала не представлены непосредственно на входе инф. системы Опосредованные характеристики оригинальных св-в объекта, которые имеются на входе инф. системы, формируются инф. системой в виде образа объекта – этот образ является моделью оригинала. Т.о. инф. система (субъект) формирует или создает для себя модель, которая ~ аналогична объекту-оригиналу. При этом предпол., что реальный объект труднодоступен для наблюдателя. Если удалось установить аналогию между моделью и оригиналом, то исследование объекта заменяется исследованием модели.

Сферы применения: В настоящее время моделир-е на сознательном уровне используется почти во всех сферах человеческой деятельности: медицине, биологии и т.д.

В последние десятилетия широко применяется цифровое/компьютерное мат. моделир-е. Но кроме мат. моделир-я, широко используются др. виды.

Сфер применения много, но основных направлений 2:

1. научные исследования;

проектирование систем.

Суть и роль общепринятых методологических подходов в познавательной деятельности и моделировании.

Во все времена существования человечества в качестве инструмента познавательной деятельности использовались методологические подходы (стереотипы мышления), в т.ч. в научной деят-ти. Роль этих подходов двояка.

С одной стороны, стереотипы мышления создают алгоритмы деят-ти, которые при последующих применениях уже не требуют творческих усилий.

С пом. систем образования эти стереотипы тиражируются, что экономит время. Однако недостатком установившихся методологических подходов (догматов) явл. невозможность взглянуть по-новому на прежние объекты и полная невозможность вкл. в поле зрения новые объекты => стереотипное мышление явл. тормозом в познавательной деятельности.

Различают следующие методологические подходы: классический и системный.

Их суть и роль удобно выявлять в сравнении их познавательных установок.

В основе классического подхода заложена мат. традиция, которая явно выражена в теории множеств => это теоретико-множественный подход. В основе этого подхода лежит то, что сложное можно описать с помощью простого.

Системный подход более новый, чем классический: в качестве основы он представляет наблюдение сложного объекта в целом.

. Классич. и системн. подходы в сравнении их познавательных установок

Классический (а) Системный (б)

1

Первичность элементов Первичность целого

2

Очевидность элементов Неочевидность элементов наблюдаемого объекта

3

Принцип неразборчивости Принцип естественной системы

4

Принцип внешней организации Принцип внутренней организации

5

Принцип вероятностей Принцип ранговых распределений

1.а) При описании сложного объекта, полагается, что в его основе заложены некие простые эл-ты, в этом смысле эл-ты первичны (т.е. сист. не сущ. без этих эл-тов). Пр.: студ-ты группы; б) За первичную основу берется сам наблюдаемый объект. На первом этапе компоненты объекта не ясны (пр.: живой орг., музыка).

2.а) Эл-ты объекта очевидны и их не требуется выделять; б) Нужно использовать спец. процедуры для выявления компонентов объекта (пр. неграмотному нужно изучить язык, чтобы понять текст).

3.а) Предполагается, что в состав исследуемого объекта, могут быть введены произвольные эл-ты. Сложные объекты могут быть сконструированы искусственно. (пр. задачник включает все задачи вперемешку); б) Предполагается, что компоненты в целом волей наблюдателя не могут составлять сложную систему. Их набор не случаен и они представляют естественную компоновку (пр. организм – внутренние органы, электросхема).

4. а) Некая внеш. система организуется в целое другой внеш. системой/ организацией (пр. командир-> подразделение). В качестве внеш. системы может выступать внеш. среда или случай (пр. естеств. отбор) б) Главное – внутр. организация системы, которая в малой степени определяется внеш. факторами

Мультипликативная и мультипликативно-аддитивная процедура генерации БСВ.

Конгруэнтная процедура получения послед-тей псевдослучайных чисел м.б. реализована мультипликативным либо мультипликативно-аддитивным методом.

Мультипликативный метод задает послед-ть неотр. целых чисел {x_i}, не превосходящих m, по формуле x_i+1≡λx_i(mod m). Получаются воспроизводимые последовательности. Требуемый объем памяти минимален, необходим последовательный подсчет произв-я двух целых чисел, т.е. вып-я операции, быстро реализуемой на ЭВМ. Для машинной реализации наиболее удобна версия m=p^g, где p – число цифр в системе счисления, принятой в ЭВМ, g – число бит в машинном слове. Тогда вычисление остатка от деления на m сводится к выделению g младших разрядов делимого, а преобразования целого числа x_i в рациональную дробь из интервала (0,1) осуществляется подстановкой слева двоичной или десятичной запятой.

Пример: для g=4, получить числа последовательности, используя алгоритм мультипликативного метода.

1. выбираем x₀=7₍₁₀₎=0111₍₂₎

2. при t=1 получим λ=11₍₁₀₎ или 5₍₁₀₎ (λ=8t±3), пусть λ=5₍₁₀₎=0101₍₂₎

3. рассчит. произв-е λx₀, берем g мл. р-дов, вычисляем x₁ и присваиваем x₀=x₁

   1. λx₀=(0101)(0111)=00100011, x₁=0011, x₁=3/16=0,1875

   2. λx₁=(0101)(0011)=00001111, x₂=1111, x₂=15/16=0,9375 и т.д.

Мультипликативно-аддитивный м-д (смешанный) позв. вычислять послед-ть по формуле x_i+1≡λx_i +β (mod m), т.е. в отличие от мультиплик-ного м-да β≠0. Этот метод сложнее мультиплик-ного на одну операцию «+», но возможность выбора доп. параметра позволяет уменьшить корреляцию получаемых чисел.

Проверка БСВ; плотность распределения и математическое ожидание равномерного распределения.

Эффективность статистического моделирования систем и достоверность получаемых результатов существенно зависит от БСВ. Проверка равномерности БСВ осуществляется следующим образом: Выдвигается гипотеза о равномерности распределения чисел в интервале (0,1). Затем интервал (0,1) разбивают на m равных частей, тогда при генерации последовательности {x_i} каждое из чисел x_i с вероятностью p_j=1/m, j=1…m попадает в один из подинтервалов. Всего в каждый j-й интервал попадет N_j чисел. Относительная частота попадания случайных чисел в каждый подинтервал равна N_j/N. По виду полученной гистограммы и теоретической прямой можно судить о равномерности распределения БСВ.

Плотность распределения – такая функция p(x)≥0, что вероятность неравенства a<x<b при любых a и b равна ∫_a^b p(x)dx, при этом функция p(x) должна удовлетворять условию ∫p(x)dx=1.

Математическое ожидание – среднее значение, одна из важнейших характеристик распределения вероятностей с.в.

Плотность распределения равномерно распределенной с.в. на инт. (a,b) — это прямая f=1/(b-a). Мат. ожидание такой величины m_x = (a+b)/2

Моделирование дискретных случайных величин методом обратной функции; способы их описания.

Дискретная с.в. η принимает значения y₁≤y₂≤…≤y_i≤… с вероятностями р₁, р₂, …, составляющими дифференциальное распред-е вероятностей

y y₁ y₂ … y_i …

Р(η=y) р₁ р₂ … р_i …

При этом интегральная функция распределения

y_m≤y≤ y_m+1, m=1,2,…, F_η(y<y₁)=0.

Для получения дискретных с.в. можно использовать м-д обр. ф-ции. Если ζ – равномерно распределенная на интервале (0,1) с.в., то искомая с.в. η получается с помощью преобр-я η=F_η^-1(ζ), где F_η^-1 – ф-ция, обратная F_η. Алгоритм вычисления сводится к выполнению следующих действий:

если x₁<p₁ то η=y₁, иначе,

если x₂<p₁+p₂ то η=y₂, иначе … ,

если

то η=y_m, иначе …

. Определения модели и моделирования; этапы моделирования.

Модель — естественно существующие или искусственно созданные объект, явление, процесс, ситуация, которые ~ аналогичны труднодоступному или вообще недоступному для прямого исследования явлению, процессу… .

В качестве модели может выступать лишь доступный исследователю объект.

Моделирование — процесс опосредованного опознания труднодоступного объекта-оригинала с помощью модели.

Если удалось установить аналогию между моделью и оригиналом, то исследование объекта заменяется исследованием модели.

2 этапа моделир-я:

1. построение модели, адекватной оригиналу (этот этап самый важный и трудный);

2. исследование объекта-оригинала с помощью модели (используем модель, чтобы познать труднодоступный объект). Исследование возможно, если ранее удалось построить адекватную модель.

На практике бывает полезно знать не просто описание объекта с пом. модели, но и то, как поведет себя объект в разных ситуациях. В этом смысле полезно исследование модели.

Понятие системы и внешней среды; структурный и функциональный подходы в моделировании; иерархия уровней моделирования; "внутренние" и "внешние" системы.

Под системой понимают множество физ. компонентов (в т.ч. разных), которые составляют некоторую пространственно-временную организацию.

Для этих систем характерно наличие разнородных компонентов, которые дополняют друг друга.

Внешняя система — совокупность реально или потенциально существующих объектов, обычно одинаковой физической природы и с одинаковыми функциями. Такие совокупности называют классами.

Обычно компонентами внешней системы являются внутренние системы.

В зависимости от цели иссл-я, при системном подходе возможно использование 2 разных подходов: структурный и функциональный.

1) Структурный – предполагает рассмотрение системы как мн-во отдельных компонентов и связей между ними. При этом в зависимости от цели исследования можно рассм. разные структуры на разных уровнях иерархической организации. Пр.: в выч. технике возможны разные уровни детализации:

• сетевой;

• системный;

• функциональный;

• цифровых устройств;

• логических эл-тов;

• физический уровень.

2) Функциональный — рассматривает отдельные компоненты и их организацию в более сложную систему с т. зр. только выполняемой функции. Этот подход характерен для ТАУ при исследовании и описании динамических систем.

В зависимости от цели иссл-я, при системном подходе возможно использование 2 разных подходов: структурный и функциональный.

1) Структурный – предполагает рассмотрение системы как мн-во отдельных компонентов и связей между ними. При этом в зависимости от цели исследования можно рассм. разные структуры на разных уровнях иерархической организации. Пр.: в выч. технике возможны разные уровни детализации:

• сетевой;

• системный;

• функциональный;

• цифровых устройств;

• логических эл-тов;

• физический уровень.

2) Функциональный — рассматривает отдельные компоненты и их организацию в более сложную систему с т. зр. только выполняемой функции. Этот подход характерен для ТАУ при исследовании и описании динамических систем.

21. Моделирование случайных событий и их описание.

Пусть событие А происходит с вероятностью р(А). Соответственно противоположное событие А формируется с вероятностью 1-р(А). Появление любого из этих событий – достоверное событие, т.е. вероятность появления любого – равна 1.

На оси абсцисс получаем пороговое значение с.в., а заштрихованная площадь соответственно есть ее значение.

Процедура генерации: если x_i<x_пор, то событие А, иначе А, и формируем следующее x_i+1, сравниваем с x_пор. Аналогично формируем несколько случайных событий с заданными вероятностями: р(А1), р(А2) …. Для этого весь прямоугольник разбивается на несколько частей в соответствии с вероятностями. Если x_i<x<x_i+1 тогда А_i.

Метод серединных квадратов для генерации БСВ.

Один из первых м-дов получения последовательностей ПСВ.

Пусть имеется 2n-разрядное число, меньшее 1: x_i=0, a₁ a₂ … a_2n. Возведем его в квадрат: x_i²=0, b₁ b₂ … b_4n, а затем отберем средние 2n разрядов x_i+1=0, b_n+1 b_n+2 … b_3n, которые и будут являться очередным числом псевдослучайной последовательности.

Недостаток этого метода – наличие корреляции между числами последовательности, а в некоторых случаях случайность вообще может отсутствовать (x₀=0,4500, x₀²=0,20250000, x₁=0,2500, x₁²=0,06250000, x₂=0,2500 и т.д.) Кроме того, при некоторых i^* вообще может наблюдаться вырождение последовательности, т.е. x_i=0 при i≥i^*. Это существенно ограничивает возможности использования метода серединных квадратов.

Моделирование непрерывных случайных величин методом обратной функции; способы их описания

f(x) – дифференциальный закон распределения с.в. или плотность вероятности

F(x) – интегральный закон распределения с.в. или функция распределения

Непрерывная с.в. η задана интегральной функцией распределения:

F_η(y)=P(η≤y)=

Взаимно однозначная монотонная функция η=F_η^-1(ζ), полученная решением относительно η уравнения ζ=F_η(η), преобразует равномерно распределенную на интервале (0,1) величину ζ в η с требуемой плотностью f_η(y)

Если с.в. η имеет плотность распределения f_η(y), то распределение с.в. ζ=. На основании этого можно сделать вывод: чтобы получить число, принадлежащее последовательности случайных чисел {y_i}, имеющих функцию плотности f_η(y), необходимо разрешить относительно y_i уравнение

Отношение "моделирования" в классическом и системном подходах; основания для перехода к моделированию на основе системного подхода.

Описать отн-е моделирования = описать отн-е между 3 компонентами: наблюдатель, объект, модель.

В классическом подходе предполагается, что:

1) роль наблюдателя min;

2) объект и модель имеют одну природу, т.е. явл. мн-вами;

3) отношение или соотв-е между моделью и объектом взаимно однозначное (объекту соотв. только одна модель);

4) модель не влияет на поведение реального объекта (наблюдение пассивно).

В системном подходе предполагается:

1) обязательный учет наблюдателя;

2) объект есть нечто большее по св-вам, чем модель (объект – реальное, модель – мысленное, или идеальное образование).

3) отношение между объектом и моделью не взаимно однозначное (объекту может соответствовать несколько моделей);

4) модель через наблюдателя и сам наблюдатель влияют на объект.

В физике субсвет. скоростей и микромира оказалось, что влияние наблюдателя существенно. В др. отраслях науки это влияние давно известно. => необходим переход от моделирования на основе классич. подхода к системному. Для этого:

1. следует учитывать разную природу объекта и модели;

2. нужно учитывать влияние наблюдателя на процесс моделирования.

Результат моделир-я (модель) определяется 3 факторами, которые представляют наблюдателя: его цель, позиция и концепция (первоначальное представление об объекте до начала наблюдения).

Наблюдатель преобразует инф-ю об объекте в первомодели. Наличие мн-ва первомоделей позволяет устанавливать между ними и окончательной моделью неоднозначное соотв-е.

Способы классификации моделей и моделирования.

Различают разные способы классификации моделей:

1. По степени идеализации: физические (имеют такую же природу, как объекты; должны соблюдаться пространственно-временные соотношения процессов); физ.-мат. (материальная природа обычно отличается от объекта, но должно быть соответствие мат. описание конструкции)=>дешевые, компактные и легко управляемые; чисто мат. (логико-мат.) модели (строятся в виде ур-ний, неравенств, лог. условий)=>наиболее эфф-ны, если возможно мат. описание.

2. По форме представления: мысленные и реальные, которые в свою очередь имеют подклассы - см. вопрос №8)

3. По полноте описания: полные (отражают все ф-ции объекта и адекватно), неполные (отображают некоторые ф-ции объекта неадекватно) и приближенные (не все ф-ции и не все адекватно).

4. По характеру изучаемых процессов: статические и динамические (это модели таких систем, у кот. парам-ры во времени не изменяются/изменяются); вероятностные и детерминированные (это модели таких систем, поведение которых (не определено)/(однозначно определено) по параметру или/и внешнему (входному-выходному) воздействию) и непрерывные, дискретные и дискретно-непрерывные (некоторые процессы характеризуются некоторыми мн-вами хар-к, которые представлены соответствующими величинами, состояниями или процессами).

5. По способу представления переменных в модели: аналоговые (АВМ - хар-ки возмущения представлены непрерывными величинами), цифровые (ЦВМ - переменные представлены дискретными величинами) и аналого-цифровые.

Виды моделей: аналитические (obj представл. в виде ур-ний), имитационные (исп. моделирующий алгоритм для сложных объектов), комбинированные (комбинация рассм. выше видов) и кибернетические (“чёрн. ящик”)

Классификация моделей и моделирования по форме представления объекта.

Различают 2 класса: мысленные (основной класс моделей, используемых при моделировании) и реальные (сам исследуемый объект или его точная копия в масштабе).

Идеальные модели объектов строятся на основе з-нов подобия, для выполнения которых необходимо соблюдение соответствия хотя бы некоторых основных св-в, параметров, структур для объекта. Набор основных характеристик объекта и степень соответствия модели выясняется в процессе моделирования на основе опыта и интуиции исследователя - это творческий процесс.

Мысленные модели делятся на:

1. Наглядные (наглядный образ реального объекта). 3 вида: гипотетические (строятся, когда нет мат. описания, нет наглядных образов, но есть некоторая гипотеза о структуре данного объекта, пр.: модель атома H), аналоговые (достаточно точное наглядное отображение), и макеты (отображают пространственные хар-ки объекта).

2. Символические. 3 вида: естественно-языковые; построенные на основе формальных или искусственных языков (на основе тезауруса); знаковые. Также может быть их комбинация.

3. Математические. Конструируются из знаков, записанных поочередно в форме мат. высказываний. Обеспечивают наиболее полное соответствие, легко управляемые и дешёвые в использовании.

Реальные модели делятся на:

1. Натурные. Обычно представляют реальный объект в натуральном масштабе времени.

Физические. Позволяют исследовать в реальном и измененном масштабе времени.