22. Моделирование непрерывных случайных величин методом обратной функции

Дано:

f(x) – дифференциальный закон распределения с.в. или плотность вероятности

F(x) – интегральный закон распределения с.в. или функция распределения

Непрерывная с.в. η задана интегральной функцией распределения:

Fη(y)=P(η≤y)=

Взаимно однозначная монотонная функция η=Fη-1(ζ), полученная решением относительно η уравнения ζ=Fη(η), преобразует равномерно распределенную на интервале (0,1) величину ζ в η с требуемой плотностью fη(y)

Если с.в. η имеет плотность распределения fη(y), то распределение с.в. ζ=.

На основании этого можно сделать вывод: чтобы получить число, принадлежащее последовательности случайных чисел {yi}, имеющих функцию плотности fη(y), необходимо разрешить относительно yi уравнение

23. Универсальный способ формирования непрерывной случайной величины.

Основан на кусочной аппроксимации ф-ции плотности. Пусть требуется получить послед-ть случайных чисел {yi} с ф-цией плотности fη(y) на интервале (a,b). Представим fη(y) в виде кусочно-постоянной ф-ции, т.е. разобьем интервал (a,b) на m интервалов, и будем считать fη(y) на каждом интервале постоянной, тогда с.в. можно представить в виде η=ak+ηk*, где ak – абсцисса левой границы k-го интервала, ηk* - с.в., возможные значения которой располагаются равномерно внутри k-го интервала, т.е. на каждом участке ak÷ak+1 величина ηk* считается распределенной равномерно. Чтобы аппроксимировать fη(y) наиболее удобным способом, целесообразно разбить (a,b) на интервалы так, чтобы вероятность попадания с.в. η в любой интервал (ak,ak+1) была постоянной, т.е. не зависела от номера интервала. Таким образом, для вычисления аk воспользуемся следующим соотношением

Достоинства: при реализации на ЭВМ требуется небольшое кол-во операций

Алгоритм машинной реализации:

генерируется БСВ

с помощью БСВ выбирается случайный интервал (ak,ak+1)

генерируется число xi+1 и масштабируется с целью приведения его к интервалу (ak,ak+1) т.е. домножается на коэффициент (ak+1-ak) xi+1

выявляется случ. число yj=ak+(ak+1-ak) xi+1 с требуемым з-ном распред-я

24. Описание дискретных случайных величин (полная функция, приближ числ хар-ки)

25. Моделирование дискретных случайных величин методом обратной функции

Дискретная с.в. η принимает значения y1≤y2≤…≤yi≤… с вероятностями р1, р2, …, составляющими дифференциальное распред-е вероятностей

y y1 y2 … yi …

Р(η=y) р1 р2 … рi …

При этом интегральная функция распределения

ym≤y≤ ym+1, m=1,2,…, Fη(y<y1)=0.

Для получения дискретных с.в. можно использовать м-д обр. ф-ции. Если ζ – равномерно распределенная на интервале (0,1) с.в., то искомая с.в. η получается с помощью преобр-я η=Fη-1(ζ), где Fη-1 – ф-ция, обратная Fη. Алгоритм вычисления сводится к выполнению следующих действий:

если x1<p1 то η=y1, иначе,

если x2<p1+p2 то η=y2, иначе … ,

если

то η=ym, иначе …

26. Способы формирования базовых случайных величин (бсв); их возможности

Есть три способа получения с.в.:

- аппаратный способ основан на использовании физических процессов, которые представлены как случайные (пр.: шумы в п/п приборах). Используется электронная приставка, на выходе которой формируется случайная функция. Недостаток метода: необходимость периодической настройки и невозможность повторного воспроизведения той же самой цепочки с.в.

- табличный способ удобен когда требуется небольшое число с.в., которые предварительно д.б. получены и зафиксированы в ОЗУ.

- алгоритмический способ используется чаще всего, т.к. не требует периодической настройки и специальных устройств для получения чисел, легко воспроизводится та же послед-ть, размер выборки задается разработчиком. В основе лежит специальный алгоритм, который при очередном обращении формирует только одну реализацию с.в., многократное обращение формирует заданное число реализаций. Все перечисленные способы позволяют реализовать только псевдослучайные величины (ПСВ).

Такие алгоритмы строятся обычно с помощью рекуррентных процедур. xi+1=Ф(xi) – рекуррентное соотношение первого порядка.

В качестве функции-генератора следует использовать функцию, плотно заполняющую квадрат (1,1).

Необходимые требования для генерации БСВ: ПСВ д.б. независимы, неповторяющимися достаточно длительное время, воспроизводимыми, время генерации д.б. минимальным