шпоры

20 Частотные х-ки инерционного звена.

Уравнение и передаточная функция звена имеют вид:

.

Заменив, получим выражение для амплитудно-фазовой частотной характеристики звена:

Выделяя вещественную и мнимую части, получим:

.

Амплитудно-фазовая характеристика изображена на рис. 3.3.

Амплитудная и фазовая частотные характеристики строятся по уравнениям:

.

Изменяя частоту от до , можно построить частотные характеристики

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика звена определяется уравнением

.

Эта характеристика имеет асимптоты:

а) при ,

б) при .

Последняя будет наклонной прямой с наклоном, а первая – горизонтальной прямой. Пересекаются они в точке .

Наибольшее ее отклонение от истинной л.а.х. будет в точке , а именно:.

В инженерных расчетах такой величиной пренебрегают и считают, что логарифмическая амплитудная частотная характеристика апериодического звена имеет вид ломанной, состоящей из двух прямых

21 Построение ЛАХ и ЛФК разомкнутой системы (РС).

Наиболее простые системы получаются если передаточную функцию РС можно привести к виду (А - кол-во интегрирующих звеньев W(P)=1/P):

P=Jω L(ω)=20lg|W(Jω)|

Правило построения ЛАХ РС. На низких частотах пренебрегают всеми постоянными времени и рассматривают передаточную функцию W(P)=K/P^A. Для построения ЛАХ этого звена из (.), где ω=1, восстанавливаем перпендикуляр = 20 lgK и ч/з получившуюся (.) проводим прямую с наклоном -20Adδ/дек. Эту асимптоту проводим до первой сопрягающей частоты ω_i=1/Т_i ω_J=1/Т_J , если эта сопрягающая частота соответствует постоянной времени находящийся в знаменателе (что соответствует интегрирующему звену 1/(ТР+1), наклон ЛАХ которого равен -20 dδ/дек). То ЛАХ опускается вниз и проводится до следующей сопрягающей частоты. Если эта сопрягающая частота соотв постоянной времени находящийся в числителе (что соответствует дифференцирующему звену ТР+1, наклон ЛАХ которого равен +20 dδ/дек). То ЛАХ поднимается вверх до следующей сопрягающей частоты и т.д.

ЛФК строится по перемножению, т.к. при перемножении комплексных чисел аргументы складываются:

27Пример исследования САУ по критерию Михайлова.

Устойчивость следящей системы МДУ характеристика уравнения которая имеет вид:

Заменим Р= jw получим выражение для кривой Михайлова

По этому выражению можно построить кривую Михайлова, но в простейших случаях можно обойтись без построения кривой Михайлова. Система будет находится на границах устойчивости при выполнении условий

24. Критерий устойчивости Гурвица.

Данный критерий является алгебраическим и позволяет судить об устойчивости

замкнутой системы по коэффициентам характеристического уравнения замкнутой системы:

.Для этого уравнения составим квадратную матрицу коэффициентов, содержащую n строк и n столбцов:

В верхней строке пишутся все коэффициенты характеристического уравнения с нечетными индексами, во второй – с четными, начиная с a₀. После них пишется несколько нулей так, чтобы в строках было n элементов. Третья и четвертая строки – это первые две строки, сдвинутые на один элемент вправо и т.д. Всего должно быть n столбцов.

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы были положительны n определителей Гурвица, которые имеют вид:

и т.д.

Последний определитель Гурвица определяется следующим образом:

Граница устойчивости определяется из условия Например, найдем условия устойчивости для системы третьего порядка: .

Составим матрицу коэффициентов

при .

, при .

26 Критерий устойчивости Михайлова.

Пусть дан характеристический многочлен линейной системы го порядка:

. (4.4)

Подставив в него , получим: ,

где

(4.5)

Годограф называется кривой Михайлова. Практически кривая Михайлова строится по точкам на комплексной плоскости. Задают несколько разных значений в интервале между до . По формулам (4.5) вычисляют координаты точек кривой Михайлова, которая может иметь вид, представленный на рис. 4.1.

Для различных кривая Михайлова может иметь примерно такие формы как показано на рис. 4.2.

Для устойчивости линейной системы го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента функции при изменении от 0 до , равнялась бы nPi/2.Другими словами, требуется, чтобы кривая Михайлова проходила последовательно квадрантов против часовой стрелки, окружая начало координат. Граница устойчивости будет иметь место, если кривая Михайлова проходит через начало координат, откуда получаем: .Эти выражения можно использовать для построения областей устойчивости системы на плоскости любых двух параметров и , выбираемых при проектировании системы (это могут быть, например, коэффициент усиления и построения времени). Тогда последние уравнения можно записать в виде: .Путем задания разных значений величиныкаждый раз из этих уравнений определяются значения параметров и . В результате по точкам строятся границы устойчивости на плоскости .

28 Критерий устойчивости Найквиста.

Частотный критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду а.ф.х. разомкнутой системы.Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид: При доказательстве критерия сделаем следующие допущения:

1. Разомкнутая система устойчива..

Введем вспомогательную функцию:

где − характеристический многочлен замкнутой системы, а − характеристический многочлен разомкнутой системы. Заменяя , получим: .По критерию Михайлова угол поворота вектора при равен nPi/2, т.к. разомкнутая система устойчива по условию. С другой стороны, требуется, чтобы система была устойчивой в замкнутом состоянии. Для этого нужно потребовать, чтобы угол поворота вектора при также равнялся бы nPi/2.

Отсюда следует, что угол поворота вектора должен быть равен:

т.к. при делении комплексных чисел аргументы вычитаются. Частотная характеристика представлена на рис. 4.3.

Условие означает, что частотная функция не должна охватывать начало координат. Вернемся теперь к функции: ,

которая представляет собой амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы (рис. 4.4).

Отсюда получаем следующую формулировку частотного критерия Найквиста.Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы не охватывала точку .

29 Исследование устойчивости с помощью логи-ческих частотных характеристик

Для определения устойчивости по критерию Нейквиста можно строить не амплитудно-фазовую характеристику, а логарифмическую амплитудную частот-ную характеристику (л.а.х) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (л.ф.х) разомкнутой системы.

Построение л.а.х. производится по выражению:

где - модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы. Построение л.ф.х. производится по выражению частотной передаточной функции.

Наиболее простое построение получается, если передаточную функцию разомкнутой системы можно свести к виду.

После подстановки получаем:

Логарифмическая фазовая частотная характеристика определяется выражением:

Логарифмическую амплитудно-частотную характеристику можно строить непосредственно по заданной передаточной функции. Для этого надо помнить, что, согласно характеристикам типовых звеньев, каждому сомножителю типа соответствуют л.а.х. с наклоном, имеющие при ординату, равную -. Каждому сомножителю типа в знаменателе соответствует точка излома характеристики при с последующим наклоном , а каждому сомножителю такого же типа в числителе соответствует точка излома при с последующим наклоном. Сомножителю же типа в знаменателе соответствует излом при с наклоном, если .

30 Понятие о качестве системы

После обеспечения устойчивости системы необходимо обеспечить требуемое

качество процесса управления, в понятие которого входят:

а) качество переходного процесса;

б) точность системы в установившемся состоянии.

Качество переходного процесса можно оценить длительностью переходного процесса (быстродействие системы), величиной перерегулирования σ %, количеством колебаний и некоторыми другими показателями.

Теоретически переходный процесс в устойчивой линейной системе затухает в бесконечности.

Практически же длительность переходного процесса ограничивают тем

моментом, когда отклонения становятся пренебрежимо малыми, например, когда величина составляет 5 % от установившегося значения, а перерегулирование определяется по выражению: σ % = (рис. 5.1).

Рис. 5.1

Оценка качества по кривой переходного процесса требует решения дифференциального уравнения, что требует определенных затрат труда.В начале проектирования системы не играют роли точные значения качественных показателей, а важно, чтобы они не выходили за определенные границы.Поэтому разработаны приближенные оценки качества переходного процесса:

а) частотные;

б) корневые;

в) интегральные.

35 Коэффициенты ошибок

Рассмотренный метод может применятся как для g(t), так и для возмущающего f(t) воздействий. Ошибку системы можно определить, используя выражение для передаточной функции ошибки: (6.4),где Ф_Х (Р) − передаточная функция замкнутой системы по ошибке,G(p) − изображение задающего воздействия. Разложим передаточную функцию по ошибке в ряд по возрастающим степеням комплексной величины p: Переходя от изображений к оригиналам, получим формулу для установившейся ошибки:

Величины называются коэффициентами ошибок, которые можно найти, если разделить числитель передаточной функции по ошибке на знаменатель (по правилу деления многочленов) и сравнить полученный ряд с выражением (6.5)

Коэффициент может быть отличным от нуля только в статических системах. В системах с астатизмом первого порядка c₀=0, а коэффициент .

При исследовании ошибки от возмущающего воздействия при астатизме любого порядка можно получить все коэффициенты не равными нулю.

31 Частотные оценки качества переходного процесса

Практически выполненная система управления может иметь значения параметров, отличные от значений, принятых при расчетах. Кроме того, в процессе эксплуатации начальные значения параметров с течением времени также несколько изменяются. В результате этого изменяются и условия устойчивости системы, которая должна оставаться тем не менее устойчивой. Поэтому система должна обладать определенным запасом устойчивости, под которым понимается степень удаления значений ее параметров от границы устойчивости. Представление о запасе устойчивости дает критерий Найквиста: система обладает тем большим запасом устойчивости, чем дальше справа от точки располагается амплитудно-фазовая характеристика .Запас устойчивости характеризуется двумя величинами: запасом по фазе и запасом по амплитуде , которые легко определяются из графика на рис. 5.2.

Практически запас устойчивости считается достаточным, если запас по фазе равен 30⁰ ÷ 40⁰ , а запас по амплитуде равен 3 ÷ 4. Время переходного процесса приближенно можно определить по формуле ,где − частота среза, т.е. частота, при которой модуль а.ф.х. равен единице. Запасы устойчивости можно также легко определить при помощи логарифмических частотных характеристик (рис. 5.3).

а) устойчивая системаб) неустойчивая система

Отсюда следует другая формулировка критерия устойчивости. При положительном запасе по фазе система устойчива, а при отрицательном запасе по фазе замкнутая система неустойчива.

32 Интегральные оценки качества

Интегральные оценки имеют своей целью дать общую оценку быстроты

затухания и величины отклонения регулируемого параметра в совокупности, без определения того и другого в отдельности. Простейшей интегральной оценкой может служить величина: ,где − отклонение (ошибка) регулируемой величины. В устойчивой системе при и этот интеграл имеет конечную величину. Геометрически это будет площадь под кривой переходного процесса, построенного для отклонения (рис. 5.4 а).

Площадь будет тем меньше, чем быстрее затухает переходный процесс и чем меньше величина отклонения. Поэтому параметры системы следует выбирать так, чтобы получить минимум этой интегральной оценки. Этот интеграл можно вычислить аналитически.

Неудобством этой интегральной оценки является то, что она пригодна лишь для монотонных процессов, когда не меняется знак отклонения величины х. Если же имеет место колебательный процесс (рис. 5.4. б), то при вычислении интеграла I₁ площади будут складываться алгебраически и минимум этого интеграла может соответствовать колебаниям с малым затуханием. Поэтому предлагалась другая интегральная оценка:т.е. сумма абсолютных величин всех площадей под кривой переходного процесса. Но вычисление её по коэффициентам уравнения затруднительно, однако использование вычислительных машин позволяет избежать этих трудностей. Широкое распространение получила квадратичная интегральная оценка:В литературе имеются формулы, выражающие величину непосредственно через коэффициенты дифференциального уравнения замкнутой системы.

Часто оказывается, что параметры системы, выбранные по минимуму этих оценок, соответствуют сильно колебательному процессу.

Поэтому применяется ещё другой вид интегральной оценки, которая называется улучшенной интегральной оценкой:.

33 Точность САУ в типовых режимах

Среди типовых режимов работы системы автоматического управления, определяющих точность этой системы, простейшими являются режимы работы при постоянной величине внешнего воздействия и при изменении внешнего воздействия с постоянной скоростью.

Неподвижное состояние

Ошибка системы в этом режиме при постоянных значениях управляющего и возмущающего воздействий называется статической. Найдём выражение для ошибки x(t). В общем случае САУ можно представить в виде (рис. 6.1).

Тогда

откуда

где − передаточная функция разомкнутой системы. Если в системе отсутствуют интегрирующие звенья, то

При такой форме записи передаточной функции последние коэффициенты многочленов R(p) и Q(p) равны единице. Из уравнения (6.1) можно получить выражение для статической ошибки, если положить . Тогда

Первое слагаемое представляет собой составляющую статической ошибки, определяемую задающим воздействием.

Для уменьшения ошибки необходимо увеличивать коэффициент усиления разомкнутой системы, но при этом уменьшается запас устойчивости и система может стать неустойчивой.

Системы, которые имеют статическую ошибку, получили название статических.

34 Движение с постоянной скоростью

Этот режим может существовать в установившемся состоянии при управляющем воздействии, изменяющимся по закону, где .

Установившаяся погрешность при этих условиях называется скоростной ошибкой. Точность астатических систем определяется скоростной ошибкой, величина которой задаётся в техническом задании на проектирование. Найдём выражение для ошибки, используя выражение для передаточной функции по ошибке:

Отсюда можно записать дифференциальное уравнение для ошибки в операторной форме:

(6.2)

где - количество интегрирующих звеньев.

Рассмотрим несколько случаев:

1..

из уравнения (6.2) получим: (6.3)

т. к. последний коэффициент многочлена Q(p) равен единице, а все производные от V будут равны нулю.

Ошибка системы определяется частным решением уравнения (6.3), которое можно найти, если подобрать такое значение x(t), при котором уравнение (6.3) обращается в тождество.

Пусть Подставляя это выражение в (6.3), получим:

Для уменьшения скоростной ошибки необходимо увеличивать коэффициент усиления разомкнутой системы, но это уменьшает запас устойчивости, т.е. существует противоречие между устойчивостью и точностью.

2)

Из уравнения (6.2) имеем:Полученное дифференциальное уравнение является однородным, а следовательно, будет отсутствовать частное решение. Поэтому

37 Регулирование по производным от ошибок

В большинстве случаев регулирование по производным от ошибки имеет целью повысить запас устойчивости системы, что позволяет увеличить коэффициент усиления разомкнутой системы и тем самым повысить ее точность. Регулирование по производным от ошибки предназначено также для улучшения динамических качеств системы управления: для повышения быстродействия, обеспечения устойчивости, сглаживания колебаний.

Структурная схема введения производной от ошибки в закон регулирования изображена на рис. 8.3 Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

где − постоянная времени дифференциатора (например, дифференцирующего операционного усилителя с малой постоянной времени ).

Регулирование по производным от ошибки может повышать точность системы даже в том случае, когда коэффициент усиления разомкнутой системы не меняется.

Передаточная функция разомкнутой следящей системы множетельно − делительного устройства при регулировании по производным от ошибки равна:

В этом случае передаточная функция по ошибке будет равна:

Поделив числитель на знаменатель, получим соотношения для определения коэффициентов ошибок:

При соответствующем выборе можно добиться условий или .

Наиболее эффективное снижение ошибок системы регулирования может быть достигнуто при одновременном использовании изодромных устройств и дифференцирующих элементов.

36. Повышение порядка астатизма

Повышение порядка астатизма используется для устранения установившихся ошибок в различных типовых режимах. Физически повышение порядка астатизма осуществляется за счет введения в канал регулирования интегрирующих звеньев.

Структурная схема регулирования с дополнительным интегрирующим звеном изображена на рис. 8.1

Передаточная функция интегрирующего звена:

где − коэффициент передачи интегрирующего звена.

− передаточная функция разомкнутой системы до введения интегрирующего звена. С целью повышения порядка астатизма введем в схему дополнительное последовательное интегрирующее звено (например, интегрирующий операционный усилитель) с передаточной функцией

39 Комбинированное управление

Под комбинированным управлением понимается такой способ построения автоматических систем, когда, наряду с регулированием по отклонению, используется регулирование по управляющему или возмущающему воздействиям.

Путём введения коррекций по внешнему воздействию удаётся теоретически (при определённых условиях) свести величину установившейся ошибки к нулю при любой форме внешнего воздействия. Это свойство называется инвариантностью системы по отношению к внешнему воздействию.

Внешние воздействия делятся на задающие, сигнал которых система должна воспроизводить, и возмущающие, действие которых надо нейтрализовать.

Структурная схема комбинированной САУ по задающему воздействию изображена на рис. 8.4.

Рис. 8.4.

Здесь, наряду с сигналом ошибки X(t), во внутреннюю цепь системы вводится ещё сигнал задающего воздействия g(t) через некоторую передаточную функцию .При =0 передаточная функция замкнутой системы равна: (8.1)При 0 имеем: откуда(8.2)где − эквивалентная передаточная функция замкнутой системы (с учётом разомкнутого контура).

Сравнивая уравнения (8.1.) и (8.2.), можно заметить, что они имеют одно и то же характеристическое уравнение замкнутой системы.

а, следовательно, введение регулирования по задающему воздействию не влияет на устойчивость.

Передаточную функцию ошибки можно найти по уравнению (2.1):

Установившаяся ошибка будет равна нулю при любой форме задающего воздействия в том случае, если Разложив это уравнение в степенной ряд, получим:где − безразмерное число.Таким образом, при введении регулирования по задающему воздействию (для получения полной инвариантности) необходимо вводить первую и высшие производные от задающего воздействия.Практически, точно можно ввести только первую производную а остальные могут быть получены только приближённо. Поэтому, может быть получена не полная, а частичная инвариантность.

Так, например, введением первой производной от задающего воздействия в системе с астатизмом первого порядка можно получить скоростную ошибку, равную нулю, т.е. повысить порядок астатизма на единицу.

Аналогичный результат получался и при введении интегрирующих звеньев, но при этом уменьшался запас устойчивости и система может стать неустойчивой. Как было показано выше, при комбинированном управлении не влияет на устойчивость. Вводя первую и вторую производную, можно повысить порядок астатизма на два и т.д.

Комбинированное управление может быть использовано также для снижения ошибки от возмущающего воздействия (рис. 8.5).

Передаточная функция по возмущению будет иметь вид

где − передаточная функция по возмущению в разомкнутой системе, W(P) – передаточная функция разомкнутой системы.

42 Коррекция систем управления

Коррекция систем управления применяется не только для повышения точности САУ, но и для улучшения динамических качеств системы, т.е. для обеспечения желаемого качества переходного процесса.

На первом этапе исследования САУ необходимо рационально выбрать параметры системы, чтобы обеспечить заданную точность и приемлемый характер переходного процесса, если параметры системы допускают вариации.

Если за счёт изменения параметров системы не удаётся добиться желаемого качества функционирования системы, то приходится идти на изменение структуры САУ и вводить корректирующие элементы. При этом надо добиваться простоты корректирующих устройств.

Различают последовательные корректирующие устройства, параллельные корректирующие устройства и устройства местной обратной связи.

Динамические свойства линейных систем можно сделать независимыми от типа корректирующего устройства, т.е. при присоединении к системе одного или другого типа корректирующего устройства обеспечивается полное динамическое подобие системы.

Использование того или иного типа корректирующего устройства определяется удобством технической реализации, стоимостью, надёжностью, габаритами и т.д.