2.1.3 Исследование влияния параметров на устойчивость системы.

Исследование проводится методом D– разбиений, и область устойчивости строится в плоскости двух задаваемых параметров системы: постоянная времени объекта управленияT_ои коэффициент усиления объектаk_о. Для выполнения исследования необходимо найти характеристический комплекс системы [1]. Для этой цели характеристический полиномG(p) системы выражение (21) преобразуется таким образом, что вместо числовых значений исследуемых параметров в него бы вошли их буквенные обозначения(30):

G(p) = (T_о×p+1)p +k_о·k_им·k_д·k_р (30)

G(p) = (T_о×p+1)p +k_о×199 (31)

Преобразуем характеристический полином в характеристический комплекс подстановкой p=jωв выражение (30):

G(jω) = (T_о×jω+1)jω +k_о×199 (32)

Запишем условия для граничной устойчивости системы:

(33)

Решив систему уравнений граничной устойчивости, найдем параметрические уравнения границы области устойчивости.

(34)

При ω=0:K=0,T=∞

Используем условия устойчивости:

с₀=0 и с₂=0, что даетT_о=0 иk_о=0.

Правило штриховки. Для его применения найдем определитель[1]:

(35)

(36)

Таким образом,

при любых ω

Следовательно, определитель положителен для положительных частот и штриховка должна вестись от кривой при движении по ней в сторону возрастания частот.

Область устойчивости в соответствии с полученными выражениями показана на рис.12.

Рис.12. Область устойчивости

Для проверки построений на графике нанесем точку (k_о,Т_о) (зависящие от ω). Примем точку А с координатами (2; 1), принадлежащую данной области устойчивости. Подставим координаты в выражение характеристического полинома и проверим на устойчивость по критерию Гурвица.

G(p) =p²+p+ 398

Первое условие: с₀ = 1> 0; с₁ = 1> 0;c₂ = 398 > 0

Второе условие:

∆ = = с₁·с₂-(0·с₀) =1·398-0·1= 398> 0.

Критерий устойчивости Гурвица подтверждает устойчивость полученной системы с выбранной точкой А, точка попадает в построенную область устойчивости, следовательно область устойчивости построена верно.

2.2 Исследование качества системы

2.2.1 Уравнение переходного процесса в системе

Передаточная функция замкнутой системы [2]:

Ф(р) = , (37)

где: А(р) и G(p) – степень полинома отp, тогда дифференциальное уравнение системы в операторной форме будет иметь вид:

G(p)·y(p) =A(p)·x(p), (38)

где: р - оператор дифференцирования; y(p)- выходной сигнал системы;x(t)- входное воздействие.

По графику ЛАХ КП.2068.998-26-8-00.00.000Д1 определяем что для улучшения качества системы необходимо уменьшить частоту среза ω_ср[1]. Для данной системы наиболее удачно подходит пропорциональный регулятор с коэффициентом усиленияk_рег – 0,1[2]. Передаточная функция системы примет значение:

W(p) =, (39)

Входным воздействием принимается единичная ступенчатая функция x(t) = 1(t), а выражениеG(p) подставим из (38), А(р) принимаем равным К. Тогда уравнение системы(39) примет следующий вид:

(0,05p²+p+19,9) ·y(t)=19,9(t) (40)