35. Ур-ие Лапласа в конечных разностях.

∂²у/∂х²+∂²u/∂y²=0 ур-ие Лапласа с help этого ур-ия М поставить 3 задачи зависимости от нач. /краевых/ условий. Будем решать задачу Дерихле т.е. найти реш-ия ур-ия Лапласа в заданной области, ограниченной контуром Г причем U(p)=φ(p) p€Г для всех точек Р принад-их границе,т.е. на границе обл-ти задана непрерыв. ф-ия. Перейдем от ДУ к разностному аналогу.∂²u/∂x²=(u(x+h,y)-2u(x,y) +u(x-h,y))/h² ; ∂²u/∂y²=(u(x,y+h)-2u(x,y)+u(x,y- -h))/h² <-разностное ур-ие для частичных произв-ых 2го пор-ка, подставим его в исходное u(x,y)=1/4(u(x+h,y)+u(x-h,y)+ u(x,y+h)+u(x,y-h)) <-разностный аналог-это ур-ие соот-ет 1ой разностной схеме

b(x,y+h) т.е. значение в кажд т.

E(x-h,y) h c(x+h,y) среднее арифмет по 4

D(x,y-h) соседн точкам

2я разностная схема

E(x-h y+h) B(x+h y+h)

D(x-h,y-h) C(x+h,y-h)

U(xy)=1/4(u(x+h,y+h)+u(x+h,y-h)+u(x-h,y-h)+ u(x-h,y+h)) 1и2ая схемы явл-ся точными до h²

36.м-д Сеток построение шаблонов. Пусть в пл-ти ХоУ области G с границей Г Построим на пл-ти 2 семейства || прямых x=xo+ih y=yo+kh где i,k:0±1±2..

т пересечен-Узлы; 2 узла соседние если они удалены по осям Х и У на расстояние h

Выделим узлы принадлежащие области G+Г и узлы не принадлеж обл-ти, но располож на расстоянии меньшем h от границы. Узлы у кот 4 сосед узла € внутреннему выделенному мн-ву-Внутренние, остальные-Граничные. В кажд внутр т. Заменяем исходное ур-ие разностным по 1ой или 2ой схеме. В гранич т. u(Bh)=u(B)=φ(B) B-ближайшая к границе т. Для реш-ия сис-мы Ур-ий use итерацион-й м-д. для внутр узлов U_i,j^(k)=1/4(u_i-1,_j^(k-1)+u_i+1,_j^(k-1)+u_i,j-1^(k-1)+u_i,j+1^(k-1)) в гранич т. значение МБ исправлено по ф-лам линейной итерации. Uo(Ah)=u(A)=φ(A); uk(Ah)=u(A)+((u^k-1(B)-u(A))/h+δ)*δ

т. А ближайшая к

узловой т. Ah из Г

В-ближайшая к Ah

Внутренний узел. δ-удаление узла Ah от т. А //МБ δ>0 и <0// если узел находится на гран-е U^k(Ah)=U(A)=φ(A) на практике значения гран-х т. считают, на калькуляторе, постоянными после того как 1или2 раза их уточнили по ф-лам лин-ой интерполяции. При решении 4 выбора U_i,j⁽⁰⁾ use линейную интерполяцию, иногода use крупную сетку а потом решают ее на мелкой сетке.

ПОСТРОЕНИЕ шаблонов

для построения шаблонов

строим 2ую сетку,линии кот

проходят посередине м/у

лин 1ой сетки,узлы 1ой по-

падают в центр клеток 2ой

для решения надо 1ый шаблон и много 2ых

ф-лы м-да сеток. h_x=(b-a)/M h_y=(d-c)/N

U_i,1⁽⁰⁾=f₀₁+(f_M1-f₀₁)*i/M; U_i,j⁽⁰⁾=u₁₁⁽⁰⁾+(f_1N-u₁₁⁽⁰⁾)*(j-1)/N-1

U_i,j⁽⁰⁾=u_i-1,j⁽⁰⁾+(f_{M j}-u_{i-1, j}⁽⁰⁾)*(i-j+1)/m-j+1