- •2. Метод Зейделя
- •4. Отделение корней.
- •5. Метод половинного деления.
- •6. Метод хорд.
- •7. Метод касательных.
- •8. Теорема о методе касательных.
- •9. Видоизмененный метод Ньютона.
- •10. Комбинированный метод.
- •11. Метод итераций.
- •12. Теорема о сходимости метода итераций.
- •13. Выбор коэф-та в методе итераций.
- •14. Метод итерации решения нелинейных систем второго порядка.
- •15. Метод простой итерации решения систем общего вида.
- •16. Метод Ньютона решения систем.
- •17. Теорема о сходимости метода Ньютона. Модиф-й метод Ньютона.
- •18. Метод скорейшего спуска решения систем.
- •19. Метод скорейшего спуска решения линейных систем.
- •20. Формула трапеций.
- •21. Нахождение остаточного члена в формуле трапеций.
- •23. Оценка погрешности в формуле Симпсона.
- •24. Метод Эйлера решения д.У.
- •24. Модиф-й метод Эйлера.
- •26. Усовер-й метод Эйлера.
- •28. Интерполирование ф-ий. Постановка задачи.
- •29. Конечные разности.
- •31. Ф-ла Ньютона для разностных узлов.
- •33.М-д Конечных разностей.
- •35. Ур-ие Лапласа в конечных разностях.
Метод простой итерации. Рассмотрим систему: Ax=b
а11 а12 а1n x1 b1
A=a21 a22 a2n X=x2 B= b2
an1 an2 ann xn bn
Преобразуем эту систему, предположив, что aii0,тогда
x1=1+12x2+…+1 nxn xn=n+n1x1+…+n n-1xn-1
где i=bi/aii ij= -ai j/ai i Введём новые матрицы:
11 12 1n 1
=21 22 2n =2
n1 n2 nn n X=x+
Эту систему будем называть методом последовательных приближений, за нулевое приближение можно взять,напр., столбец свободных членов, т.е. X(0)= x(1)= x(0)+… x(k+1)= x(k)+ Если последовательность решений имеет предел, то этот предел является решением исходной системы: x(0)…x(к+1)… Limk- x(k+1)=x – решение. т.о. xi(0)=i ii=0 - всегда
Достаточные условия сходимости процесса итерации: Если для приведенной системы x=x+ выполнено по крайней мере одно из условий:1) n 2) n
|I j|<1 |I j|<1
j=1 i=1
то процесс итерации сходится к единствен- ному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения.
Следствие: n
Для исходной системы i jxj=bi (i=1..n)
j=1
метод сходится если выполнимы неравенства:
|ai i|> iJ|ai j|, т.е. все модули диагональных коэф для каждого уравн. > суммы модулей всех остальных коэф.
2. Метод Зейделя
Этот метод явл модификацией метода простой итерации. Основная идея закл в том, что при вычислении (к+1) приближения неизвестной хi учитывается уже раннее вычисленные (к+1) приближения неизвестных х1…xi-1. Пусть дана приведенная линейная система: x1(0)…xn(0) – задано
Предположим, что катое приближение корнейxi(k) известны, вычислим xi(k+1) приближение.
Достаточные условия сходимости метода Зейделя:
Если для приведенной системы x=x+ выполнено по крайней мере одно из условий: 1) n 2) n
|ij|<1 |ij|<1
j=1 i=1
то процесс итерации сходится к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения.
Следствие: n
Для исходной системы i=1 ijxj=bi (i=1..n) метод сходится если выполнимы неравенства: |aii|>ij|aij|, т.е. все модули диагональных коэф-в для каждого уравнения больше суммы моделей всех остальных коэф-в.
3.Достаточное усл. сходимости процесса итерац.Под нормой матрицы A=||aij|| понимается действительное число удовлетворяющее св-ву: 1) ||A||=>0 2)||A||=|| ||A|| 3)||A+B||<=||A||+||B||
4) ||AB||<=||A||*||B|| Основные нормы: ||A||1=maxi j |ai j| ||A||2=maxj i |ai j| ||A||3=i,, j |ai j|2.
Теорема: Процесс итерации для системы х=x+ сх-ся к единственному решению, если какая-либо норма матрицы |||| <1 (ИЛИ) х(к)=x(к-1)+ сх-ся, если |||| <1.
Д-во:В высшей алгебре доказано,что указан- ные три нормы экв-ны. Построим послед-ть приближений x(0), x(1)= x(0)+,
x(2)= x(1)+=(x(0)+)+=2x(0)++ …
x(k)=x(k-1)+ (или) x(k)=(E++2+…+(k-1))x(0)+ (k)x(0)
Т.к. ||||<1, то limk- (k)=0
limk-(E++2+…+(k-1))= limk- (k)=(E-)-1
Таким образом: x=limk-x(k)=(E-)-1, т.е. сходимость доказана.это равенство М запи- сать (E-)x= => x=x+
4. Отделение корней.
Теорема: Если непр-я ф-я f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a,b], т.е. f(a)*f(b)<0, то внутри этого отрезка наход-ся по меньшей мере один корень ур-я f(x)=0.
х* - точное значение корня.
Значение корня будет единично, если f’(x) сущ-ет и сохраняет знак внутри интервала [a,b]
5. Метод половинного деления.
Будем считать уравнение f(x)=0 на [a,b]. Известно, что f(a)*f(b)<0, т.е. нужно найти такое значение х: |x-x*|<. Метод состоит в последовательном построении интервалов [an,bn], где n-0,1…, вложенных друг в друга и содержащих решение х*. Пусть a0=a b0=b. Пусть построена послед-ть интервалов [ai,bi], таких, что f(ai)*f(bi)<0. Тогда полагаем, что сi=(ai+bi)/2. Если f(ci)=0, то х*=сi. Если f(ci)0 то: 1) f(ai)*f(ci)<0 2)f(bi)*f(ci)<0
Если (1) – то ai+1=ai bi+1=ci. Если (2)- то ai+1=сi bi+1=bi.
В любом случае получен интервал вдвое меньше предыдущего и f(ai+1)*f(bi+1)<0 т.е. корень сод-ся в этом промежутке [ai+1,bi+1]. Процесс заканчивается либо когда f(ci)=0 либо |bn-an|<. Тогда х=сi либо
х=(bn+an)/2 очевидно bn-an=(b-a)/2n Значение а1,…аn и b1…bn образуют последовательности которые в пределе выдают значение корня:
х=limn-an= limn-bn х-an<=(b-a)/2n откуда число шагов k: k=log2((b-a)/)+1