Глава 2. Геометрические прогрессии
§ 2.1. Основные понятия
12 36 Геометрическая прогрессия – это последова-
тельность вещественных чисел, каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего путем умножения его на некоторый фиксированный множитель ̸= 0:
если первый член прогрессии равен 1, то для натуральных
|
> 1 |
имеет место |
равенство |
= −1 . Отсюда |
2 |
= 1 , |
3 = 1 2, . . . , |
= 1 −1, . . . |
, где = 1, 2, 3, . . . . |
Если все > 0, логарифмы членов геометрической прогрессии образуют арифметическую прогрессию:
= 1 −1 ln = ln 1 + ( − 1) ln .
Первый член арифметической прогрессии 1 = ln 1, а раз- ность = ln . Аналогично, если { }, где = 1, 2, 3, . . . , – арифметическая прогрессия, то последовательность { } – геометрическая прогрессия
= 1 + ( − 1) = 1 ( ) −1.
На соответствии между арифметическими и геометрическими прогрессиями основан принцип работы логарифмической линейки – простейшего механического
ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ |
33 |
|
|
аналогового вычислительного устройства, которое успело послужить не одному поколению инженеров.
Иногда под геометрической прогрессией подразумевают конечное число последовательных ее членов. Величину называют знаменателем геометрической прогрессии. При
= 1 прогрессия стационарна, при > 0 строго моно-
тонна, а при < 0 немонотонна. Прогрессию полностью
определяют значения 1 и . Для любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, имеет место равенство
√ 1 +1 |
= 1 |
|
|
− |
1 |
|
|
= 1 − |
= 1 − = . |
||||||
= |
−1 +1 |
. Действительно, |
|
||||||||||||
√ |
|
− |
|
|
√ |
|
|
|
2 |
|
|
|
√ |
2 2( 1) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И наоборот, если – среднее геометрическое и , т. е.= √ · , то числа , и образуют геометрическую про-
грессию. Если нет причин поступать иначе, мы и далее будем обозначать члены геометрической прогрессии буквой
с соответствующим индексом. Сумму первых ее членов
∑
обозначим = = 1 + 2 + . . . + .
=1
Найдем сумму первых членов геометрической прогрессии
= 1 + 1 + 1 2 + . . . + 1 −2 + 1 −1.
Для этого умножим левую и правую части последнего равенства на знаменатель прогрессии :
= 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 −1 + 1 ,
34
вычтем полученное равенство из исходного:
|
− |
|
= |
1 − |
|
|
|
|
|
= |
1 − |
= |
|
− 1 |
. |
|
1 1 − |
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 − 1 |
||||||
Если знаменатель геометрической прогрессии по модулю меньше 1, т. е. | |< 1,
lim = 0 lim = 1 |
|
1 |
|
= . |
||
1 |
− |
|
||||
→∞ |
→∞ |
|
|
|
|
|
Таким образом, при |
| |< 1 |
существует |
lim→∞ , который |
|||
называют суммой бесконечно убывающей геометри-
1
ческой прогрессии: = 1 1 − .
Например, пусть дан прямоугольный равнобедренный треугольник площадью = 2 (рис. 4).
Рис. 4. Площадь заштрихованной области стремится к 2
ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ |
35 |
|
|
1. Опустим перпендикуляр из вершины прямого |
угла |
на гипотенузу. Перпендикуляр разобьет треугольник на два прямоугольных равнобедренных треугольника площадью 1. Заштрихуем тот, что слева. Площадь заштрихованной области 1 = 1 (рис. 4а).
2. Из вершины прямого угла незаштрихованного треугольника снова опустим перпендикуляр на гипотенузу. Перпендикуляр разобьет треугольник на два треугольника площа-
дью 1 2 . Заштрихуем тот, что выше. Теперь площадь заштри-
хованной области 2 = 1 + 12 (рис. 4б).
3. Продолжая дальше делить треугольник, на третьем шаге
получим заштрихованную область 3 = 1 + 1 |
+ 1 |
(рис. 4в). |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
||
На -м шаге площадь заштрихованной области будет |
||||||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
||||
= 1 + |
|
+ |
|
+ |
|
+ . . . + |
|
. |
|
|
2 |
4 |
8 |
2 −1 |
|
||||||
Поскольку площадь всего большого треугольника = 2, мы можем сделать величину сколь угодно близкой к 2, но никогда не достигнем этого предела.
Пусть даны две геометрические прогрессии { } и { }, где= 1, 2, 3, . . . c первыми членами 1, 1 и знаменателями
, соответственно. Выделим три операции над геометрическими прогрессиями, результатом выполнения которых являются геометрические прогрессии:
1. Последовательность, составленная из произведений