Глава 1. Арифметические прогрессии
§ 1.1. Основные понятия
4 12 Арифметическая прогрессия – это последова-
тельность вещественных чисел, каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего путем прибавления к нему некоторой фиксированной величины : если
первый член прогрессии равен 1, то для натуральных > 1
справедливо равенство = −1 + . Формулу, выражаю-
щую -й член последовательности через один или несколько
предыдущих, называют рекуррентной (от лат. recurrentis
– возвращающийся). По индукции из заданной выше рекуррентной формулы получим формулу -го члена арифмети-
ческой прогрессии: = 1 + ( − 1) , где = 1, 2, 3, . . ., и запишем прогрессию в виде
1, 1 + , 1 + 2 , 1 + 3 . . . .
Величину называют разностью прогрессии, или шагом
прогрессии. Арифметическая прогрессия при > 0 строго
монотонно возрастает, при < 0 строго монотонно убыва-
ет, при = 0 стационарна. Так, ряд натуральных чисел
{1, 2, 3, 4, . . .} – прогрессия с первым членом и разностью,
равными 1. Для любого члена арифметической прогрессии,
8
начиная со второго, выполняется равенство
= |
|
−1 |
+ |
+1 |
2 = −1 + +1. |
|
Действительно, |
|||||||
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
−1 + +1 |
= |
1 + ( − 2) + 1 + |
= |
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= |
2 1 + 2( − 1) |
= |
|
+ ( |
− |
1) = |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|||
Инаоборот, если – среднее арифметическое и , т. е.
= +2 , то числа , и образуют арифметическую прогрессию. Если нет причин поступить иначе, мы и дальше
будем обозначать буквой a с индексом члены арифметической прогрессии, а сумму первых ее членов :
∑
= = 1 + 2 + . . . + .
=1
Знак суммы ∑ ввел в XVIII веке Леонард Эйлер. В дальнейшем мы встретим знак ∏, которым в XIX веке Карл
Гаусс стал обозначать произведение множества индекси-
∏
рованных переменных: = 1 · 2 · . . . · .
=1
Найдем формулу для . Для этого запишем сумму первых членов прогрессии в порядке возрастания индексов, а ниже ту же сумму в порядке убывания индексов и сложим величины, попавшие в один столбец:
ГЛАВА 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ |
|
9 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
+ 2 |
+ . . . |
+ |
−1 |
+ |
|
|
= |
|
+ |
−1 |
+ . . . |
+ |
2 |
+ |
1 |
2 = |
1 + |
+ |
2 + −1 + . . . |
|
|
|
|
|
В первой строке каждое слагаемое больше предыдущего на величину . Во второй, наоборот, каждое следующее сла-
гаемое меньше предыдущего на . Таким образом, суммы
элементов соответствующих столбцов не меняются и всегда равны 1 + . Поскольку у нас столбцов,
2 = ( 1 + ) · |
= |
1 + |
· . |
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|||||||||
Из равенства |
= 1 + ( − 1) следует: |
|
|
|||||||||
|
|
= |
1 + |
· |
= |
|
2 1 + ( − 1) |
· |
. |
|||
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
Иногда под арифметической прогрессией подразумевают конечное число ее первых членов. Используют даже термин «конечная арифметическая прогрессия». Обычно такое «вольнодумство» не приводит к недоразумениям. Часто при определении арифметической прогрессии полагают ̸= 0, т. е. исключают случай стационарной прогрессии. Последнее непринципиально, но в некоторых случаях может вынудить нас делать лишние оговорки, например, в приведенном ниже утверждении о сумме двух арифметических
прогрессий.
Определим сумму двух последовательностей { (1)} и { (2)} как последовательность { }, для членов которой
10
имеет место равенство = (1) + (2). Произведение по- следовательности { (1)} на число определим как после-
довательность произведений соответствующих ее членов на
это число. Линейной комбинацией двух последовательностей { (1)} и { (2)} назовем последовательность { } = { (1)} + { (2)}, для членов которой имеет место равенство = (1) + (2), где и – константы. Тогда:
1) сумма двух арифметических прогрессий { (1)} и { (2)} –
арифметическая прогрессия
|
{ } = { (1)} + { (2)} = { (1) + (2)}, |
где = 1, 2, . . . , |
||||
у которой 1 = 1(1) |
+ 1(2) |
, а = (1) |
+ (2); |
|||
2) |
произведение |
|
арифметической |
прогрессии { (1)} |
||
на число – арифметическая прогрессия |
||||||
|
{ } = · { (1)} = { · (1)}, |
где = 1, 2, . . . , |
||||
у которой 1 = 1(1) |
, а = (1); |
|
|
|||
3) |
любая линейная комбинация |
двух арифметических |
||||
прогрессий { (1)} и { (2)} – арифметическая прогрессия
{ } = { · (1)+ · (2)}, где = 1, 2, 3, . . . , и – константы.
Заметим, сумма первых членов линейной комбинации двух арифметических прогрессий будет линейной комбинацией
ГЛАВА 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ |
11 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
сумм прогрессий: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= · (1) + · (2) |
∑ |
|
∑ |
∑ |
|
||||||
|
= |
(1) + |
(2). |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
=1 |
=1 |
|
|
Определим две прогрессии { } и { }: |
|
|
|||||||||
{ } = {1, 1, 1, 1, . . .} |
, где = 1, 2, 3, . . . . |
|
|||||||||
|
|
} |
= |
{ |
0, 1, 2, 3 . . . |
} |
|
|
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Первая прогрессия стационарная, вторая – последовательность неотрицательных целых чисел. Тогда арифметическую прогрессию { } с первым членом 1 и разностью можно представить как { } = 1{ } + { }.
Рассматривают также арифметические прогрессии второго порядка – последовательности чисел, разности которых образуют обычную арифметическую прогрессию (прогрессию первого порядка); арифметические прогрессии третьего порядка – последовательности чисел, разности которых образуют арифметическую прогрессию второго порядка и т. д. Арифметической прогрессией n-го порядка, где > 1, называют последовательность чисел, раз-
ности которых образуют прогрессию порядка − 1. Такие
прогрессии иногда называют арифметическими рядами. Их рассматривали еще в школе Пифагора. Чтобы получить
-й член прогрессии порядка + 1, достаточно найти сумму
первых членов прогрессии порядка .