- •Предисловие
- •Математическая символика
- •Введение
- •Глава 1. Линейные уравнения
- •§ 1.1. Уравнения с одной неизвестной
- •§ 1.2. Уравнения с двумя неизвестными
- •§ 1.3. Системы двух уравнений
- •§ 1.4. Системы трех и более уравнений
- •§ 1.5. Неравенства
- •Глава 2. Уравнения второго порядка
- •§ 2.1. Основные алгебраические тождества
- •§ 2.2. Квадратный трехчлен
- •§ 2.3. Уравнения с двумя неизвестными
- •§ 2.4. Симметричные формы
- •§ 2.5. Однородные многочлены
- •§ 2.6. Уравнения с тремя неизвестными
- •Глава 3. Уравнения старшего порядка
- •§ 3.1. Операции над многочленами
- •§ 3.2. Разложение многочленов на множители
- •§ 3.3. Неравенства
- •§ 3.4. Комплексные корни многочлена
- •§ 3.5. Формула Кардано
- •§ 3.6. Формула Феррари
- •§ 3.7. Границы корней многочлена
- •§ 3.9. Многочлены в других задачах
- •Задачи
- •Ответы
- •Древнегреческий алфавит
- •Биографические справки
- •Список литературы
§ 3.9. Многочлены в других задачах |
173 |
|
|||||||||||
Лагража будет равен произведению этого многочлена на 0: |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
( ) = |
|
( − 1)( − 2) |
= |
|
|
|
|||
0 |
· ( 0 − 1)( 0 − 2) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
0 |
|
|
[ 2 − ( 1 + 2) + 1 2]. |
|
|||||||
|
( 0 − 1)( 0 − 2) |
|
|||||||||||
Пример 3. Найти квадратный трехчлен, если его |
205 |
||||||||||||
корни (−1) и 4, а график проходит через точку с координа- |
|
||||||||||||
тами (6, 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Многочлен Лагранжа примет вид |
|
||||||||||||
3 |
[ 2 |
− (−1 + 4) − 4] = |
3 |
( 2 − 3 − 4). |
|
||||||||
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|||||||
(6 + 1)(6 − 4) |
14 |
|
|||||||||||
Ответ: |
3 |
( 2 − 3 − 4). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
14 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задачи к параграфу на с. 204, п. 41–42. |
|
|
|
|
|
§ 3.9. Многочлены в других задачах
168 188 |
Охватить все приложения многочленов в элемен- |
|
||||||||||
тарной и высшей математике нереально. В этом параграфе |
|
|||||||||||
мы ограничимся несколькими примерами. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 1. Решить уравнение √3 |
|
|
+ √ |
|
= 6. |
|
|
|||||
|
|
|
205 |
|||||||||
+ 24 |
12 − |
|||||||||||
Решение. Введем переменные = √3 |
|
и = √ |
|
. |
|
|||||||
+ 24 |
12 − |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+ = 6 |
= 6 − |
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда 3 + 2 = 36 |
3 + (6 |
− |
)2 = 36 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
174 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
3 + 2 −12 = 0 ( 2 + −12) = 0 ( +4)( −3) = 0.
Рассмотрим три случая: |
|
|
|
|||||||||||
1) |
|
= −24. Проверка: √3 |
|
+ √ |
|
|
= 6; |
|
||||||
= 0 |
0 |
36 |
||||||||||||
2) |
= −4 = −88. Проверка: √3 |
|
|
|
|
√ |
|
= 6; |
||||||
−64 |
+ |
100 |
||||||||||||
3) |
|
= 3. Проверка: √3 |
|
+ √ |
|
= 6. |
||||||||
= 3 |
27 |
9 |
Ответ: 1 = −24, 2 = −88, 3 = 2.
Теперь немного теории. Пусть дано неравенство
> − > 0.
Разумеется, для входящих в неравенство переменных должны выполняться условия:
( > 0)&( ̸= 1)&( > 0)&( > 0).
1)< 1 < , поскольку в таком случае логарифм – убывающая функция: ( −1 < 0)&( − < 0) ( −1)( − ) > 0;
2)> 1 > , поскольку теперь логарифм – возрастающая функция: ( − 1 > 0)&( − > 0) ( − 1)( − ) > 0.
Значит, неравенство − > 0 выполняется тогда и только тогда, когда ( − 1)( − ) > 0. Повторив те же рассуждения для случая < , мы придем к заключению, что в области определения соответствующих выражений знак − совпадает со знаком ( − 1)( − ). В математике имеется функция sgn («сигнум»), название
§ 3.9. Многочлены в других задачах |
175 |
которой происходит от латинского signum — знак. Определяется функция так:
1, если > 0;
( ) = 0, если = 0;
−1, если > 0.
Ее впервые ввел Леопольд Кронекер. Теперь вывод относительно разности логарифмов можно сформулировать следующим образом: ( − ) = [( − 1)( − )]. В дальнейшем два выражения ( , , , . . .) и ( , , , . . .) будем называть знакоэквивалентными, если
[ ( , , , . . .)] = [ ( , , , . . .)]
для любого набора значений , , , . . ., при котором определены все входящие в равенство выражения. Отношение знакоэквивалентности будем обозначать:
( , , , . . .) ( , , , . . .).
Если ( , , , . . .) принимает только положительные значения на всей области определения, то ( , , , . . .) 1, если отрицательные, то ( , , , . . .) −1. Ниже представлены некоторые знакоэквивалентные пары выражений.
176 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
Знакоэквивалентные выражения:
1.log − log ( − 1)( − ).
2.log ( − 1)( − 1).
3.log − log ( − 1)( − 1)( − 1)( − ).
4.( − ) ( − 1)( − ).
5.( − ) ( − ).
6.−1 ( − ).
7.√ − √ ( − ).
8. |
1 |
1 |
|
|
( − ). |
|
||||||||
|
√ |
|
|
− √ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
9. |
(√ |
|
|
− √ |
|
|
) |
( − ). |
||||||
− |
− |
|||||||||||||
10. |
(√ |
|
− √ |
|
) |
( − ). |
||||||||
+ |
+ |
Предлагаем читателю в порядке упражнений доказать знакоэквивалентность выражений начиная со второго пункта. Обратите внимание, что правые части всех перечисленных выше отношений – многочлены от , , , . . . Эти отношения не стоит заучивать. При наличии навыка они выводятся довольно легко.
205 Пример 2. Решить неравенство
log +1( 2 − 2 − 2) − log 1 (7 − ) < 1.
+1
§ 3.9. Многочлены в других задачах |
|
|
|
|
|
|
177 |
|||||||||||
Решение: |
|
|
|
> −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+ 1 > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
+ 1 = 1 |
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̸ |
|
|
|
̸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОДЗ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 > 0 |
|
|
|
|
; 1 |
√3 1 + √3; + |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(−∞ − |
|
|
) ( |
∞) |
||||||
7 |
|
− − |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
> 0 |
|
|
< 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
√ |
|
) |
( |
√ |
|
) |
|
|||
пустимых значений |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Таким образом, −1; 1 − |
|
3 |
1 + |
|
3; 7 . Область до- |
отражена в верхней части схемы (рис. 32).
Рис. 32. Промежутки знакопостоянства
Преобразуем неравенство к виду
log +1( 2 − 2 − 2) + log +1(7 − ) − log +1( + 1) < 0
log +1 [( 2 − 2 − 2)(7 − )] − log +1( + 1) < 0.
Влевой части последнего неравенства заменим разность логарифмов на знакоэквивалентное выражение (п. 1, с. 176):
[( 2 − 2 − 2)(7 − ) − ( + 1)] < 0 − ( 3−9 2−13 +15) < 0.
178 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
Найдем среди делителей свободного члена целый корень
= 3 и разделим многочлен на ( −3) по схеме Горнера (см. пр. на с. 114). Результат деления – квадратный трехчлен
2−6 −5. Найдем его корни и запишем исходный многочлен
в виде произведения линейных членов:
( √ )( √ )
− ( − 3) − (3 − 14) − (3 + 14) .
√√
Точки 0, 3, 3 − 14, 3 + 14 делят вещественную ось на
5 промежутков знакопостоянства. Определим знак на од-
ном из интервалов, а знаки остальных расставим по прин-
ципу чередования (см. пр. на с. 130). Промежутки знакопо-
стоянства отмечены на схеме (см. рис. 32). Нас интересуют |
||||||||||||||||||||||||||||
С учетом |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
) |
|
|
( |
√ |
|
|
|
|
) |
||||||
значения |
−∞; 3 − |
|
|
14 |
|
(0; 3) 3 + |
|
|
14; +∞ . |
|||||||||||||||||||
|
ОДЗ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1; 1 − √ |
|
|
1 + √ |
3; 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
( |
; 3 |
|
|
|
|
|
) |
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(−∞ |
|
− |
√ |
|
|
) |
|
(0; 3) |
( |
|
√ |
|
|
|
|
∞) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
3 + 14; + |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|||||
(−1; 3 − |
|
14) (0; 3) (3 + |
14; 7). |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: (−1; 3 − |
|
14) (0; 3) (3 + |
|
14; 7). |
|
|
|
|
|
|
205 Пример 3. Решить неравенство
log +2(2 2 − 7 + 8) − log +2( 2 − 2 + 2) > 0.
§ 3.9. Многочлены в других задачах |
179 |
Решение:
+ 2 > 0
+ 2 ̸= 1
ОДЗ: (−2; −1) (−1; +∞).
2 2 − 7 + 8 > 0
2 − 2 + 2 > 0
Разность логарифмов знакоэквивалентна (п. 1, c. 176) выражению ( + 1)( 2 − 5 + 6), и, таким образом,
( + 1)( − 2)( − 3) > 0 (−1; 2) (3; +∞). |
|
Решение входит в ОДЗ. |
|
Ответ: (−1; 2) (3; +∞). |
|
Пример 4. Решить неравенство |
205 |
( 2 − 1) 2−5 +6 − ( 2 − 1) 2− −2 ≤ 0.
Решение. Здесь следует сначала решить задачу со строгим неравенством, а затем исследовать поведение функции
( ) = ( 2 − 1) 2−5 +6 − ( 2 − 1) 2− −2
на границах промежутков знакопостоянства. В противном случае мы можем сделать поспешные выводы. Например, по виду уравнения заключить, что значения = ±1 – решения,
180 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
а это, как видно на графике функции ( ) (рис. 33а), не так. ОДЗ: 2 − 1 > 0 (−∞; −1) (1; +∞).
Рис. 33. График функции ( )
Разность показательных функций знакоэквивалентна (п. 4, c. 176) выражению ( 2 − 2)(−4 + 8), и, таким образом,
√ |
|
√ |
|
√ |
|
|
√ |
|
|
( − |
2)( + |
2)(2 − ) < 0 (− 2; |
2) (2; +∞). |
√√
С учетом ОДЗ, (− 2; −1) (1; 2) (2; +∞). Теперь
пора вспомнить, что в условии задачи речь шла о нестрогом
неравенстве. У нас имеется 5 граничных точек: −√2, −1, 1, |
|
√ |
√ |
2 и 2. В точках ± 2 и 2 график функции пересекает ось
, но с точками ±1 дело обстоит иначе:
lim ( ) = −1, lim ( ) = −∞.
→−1−0 |
→1+0 |
§ 3.9. Многочлены в других задачах |
181 |
Поскольку ( ) не определена на интервале (−1; 1), переменная стремится к (−1) слева, а к 1 – справа. Первый предел равен (−1), т. е. график функции обрывается в точке с координатами (−1; −1) (см. рис. 33б). Тем не менее в самой точке = −1 функция не определена, так как выражение ( 2 − 1) 2− −2 имеет в этой точке неопределенность вида 00 (любая степень ноля – ноль, но любое число в нулевой степени – единица). = 1 – вертикальная ассимптота. Сам по себе график может стать источником заблуждений. Например, рассматривая рис. 33а, можно заподозрить, что график функции слева и справа прижимается к двум вертикальным ассимптотам. Однако это не так. Просто при
→ ±∞ функция очень быстро стремится к бесконечности:
→−∞ |
( |
) = +∞ |
→+∞ |
−∞ |
. |
lim |
|
|
, lim ( ) = |
|
Поэтому предположения, сделанные на основе графика, тре- |
|
|||||
буют теоретического обоснования. Обратите внимание на |
|
|||||
тот замечательный факт, что решение строгого неравенства |
|
|||||
заняло у нас всего несколько минут и три строки. Основной |
|
|||||
объем работы ушел на обоснование границ. |
|
|||||
√ |
|
|
√ |
|
|
|
Ответ: [− 2; −1) (1; |
2] [2; +∞). |
|
||||
Пример 5. Решить неравенство |
205 |
182 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
|
|
log +3(2 2 − 6 + 4) − log +3( 2 |
− 5 + 4) |
|
< 0. |
|||||||||||||||||||
|
(√ |
|
− |
√ |
|
)((8 − )−2 2+5 −6 − (8 − )− 2 ) |
|
|||||||||||||||||
|
5 − |
6 − |
|
|||||||||||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
+ 3 > 0 |
|
|
( 3; |
2) |
( |
− |
2; + ) |
|
|
||||||||||||
|
|
+ 3 = 1 |
|
− − |
|
|
∞ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
6 + 4 > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
; 1) |
(4; + |
|
) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОДЗ: |
|
|
|
|
|
|
5 + 4 > 0 |
|
|
−∞ |
|
|
∞ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
− |
|
≥ |
0 |
|
|
( |
|
|
; 5] |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
≥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−3; −2) (−2; 1) (4; 5].
Заметим, что из отношений знакоэквивалентности (c. 176)
следует:
log +3(2 2 −6 + 4) −log +3( 2 −5 + 4) ( + 2)( 2 − ) =
(8 ) |
|
|
(8 |
)( |
√ |
|
|
|
− |
√ |
|
|
|
|
)+ 5 6) = |
|
|
|
|
|
(7 |
)( |
|
|
|
||||||||
|
= ( |
− 1)( + 2), |
|
|
5 − |
6 |
− |
−1; |
||||||||
− |
|
−2 2 |
+5 −6 |
− − |
− 2 |
|
|
|
− |
|
|
− |
|
2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= ( − |
7)( − 2)( − 3), |
|
|
|
( − 1)( + 2)
(−1)( − 7)( − 2)( − 3) − ( −1)( −2)( −3)( −7)( +2).
§ 3.9. Многочлены в других задачах |
183 |
Неравенство − ( −1)( −2)( −3)( −7)( + 2) < 0 выполняется для (−3; −2) (0; 1) (2; 3) (7; +∞). В ответе учтем ОДЗ.
Ответ: (−3; −2) (0; 1).
Пример 6. Выразить cos(6 ) и sin(6 ) через cos( ) и sin( ). 206
Решение. Достроим снизу изображенный на с. 58 треугольник Паскаля. Теперь последняя строка содержит коэффициенты бинома ( + )6:
|
1 |
4 |
6 |
4 |
1 |
|
1 |
5 |
10 |
10 |
|
5 |
1 |
1 |
6 |
15 |
20 |
15 |
6 |
1 |
По формуле Муавра (с. 145), |
|
|
|
|||
|
(cos + sin )6 |
= cos 6 + sin 6 . |
(7) |
С другой стороны, по формуле бинома Ньютона:
(cos + sin )6 = (cos )6 + 6(cos )5 sin +
+15(cos )4( sin )2 + 20(cos )3( sin )3+
+15(cos )2( sin )4 + 6 cos ( sin )5 + (sin )6 =
=cos6 + · 6 5 sin − 15 cos4 sin2 −
−·20 cos3 sin3 + 15 cos2 sin4 + ·6 cos sin5 −sin6 =
=cos6 − 15 cos4 sin2 + 15 cos2 sin4 − sin6 +
+· (6 5 sin − 20 cos3 sin3 + 6 cos sin5 ). (8)
184 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
Осталось приравнять правые части равенств (7) и (8).
Ответ:
cos 6 = cos6 − 15 cos4 sin2 + 15 cos2 sin4 − sin6 , sin 6 = 6 5 sin − 20 cos3 sin3 + 6 cos sin5 .
Следующая задача связана с рядом Фибоначчи. Первые два члена этого ряда – единицы, а каждый следующий равен сумме двух предыдущих:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 . . . .
206 Пример 7. Найти формулу -го члена ряда Фибоначчи.
Решение. Пусть – -й член ряда Фибоначчи, где = 0, 1, 2, . . . Тогда 0 = 1 = 1 и = −1 + −2 для
= 2, 3, . . .
Введем производящую функцию
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
∑ |
( ) = |
= 0 |
+ 1 |
+ 2 |
2 + 3 |
3 + . . . = lim |
. |
|
=0 |
|
|
|
→∞ |
=0 |
|
|
|
|
|
Операции с такими суммами требуют теоретического обос-
нования, но все же мы рискнем продолжить рассуждения.
Умножим левую и правую части равенства = −1 + −2
§ 3.9. Многочлены в других задачах |
185 |
на и просуммируем полученные равенства по :
∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
−1 + |
−2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
=2 |
|
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
−2. |
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
−1 |
−1 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
=2 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
−1 |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= ( ) |
− |
|
0 − |
|
, |
|
|
= |
|
|
|
|
= ( ) |
− |
1, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
=2 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
−2 |
|
∑ |
|
= ( ) и, таким образом, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( ) − 0 − 1 = ( ( ) −1) + 2 ( ) ( ) = − |
|
|
1 |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 + − 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Разложим на множители квадратный трехчлен |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
( |
− − |
|
√ |
|
|
)( |
− − |
|
|
|
|
|
√ |
|
) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
+ |
|
1 = |
|
|
1 − 5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 + 5 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
( − |
−1−2√ |
|
|
)( − |
−1+2√ |
|
) |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
−1−2 |
|
5 |
|
|
|
− |
−1+2 |
5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь найдем значения и , при которых выполняется
последнее равенство:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1+ |
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( + ) − |
5 |
− |
−1− 5 |
||||||||||||||
|
|
+ |
|
|
|
= |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
( − |
|
√ |
|
)( − |
|
√ |
|
) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
− |
−1−2 |
5 |
|
|
− |
−1+2 |
5 |
|
|
−1−2 |
5 |
−1+2 |
5 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
186 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1+√5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 √5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
√5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
+ = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ − −2 |
= 1 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
( |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Таким образом, |
|
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
−1−2 |
√ |
|
|
|
− |
−1+2 |
√ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
5 |
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5+1 + |
|
5 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|||||||||||||||||
= |
|
5 |
|
√5 + 1 · |
1 + √2 + |
√52 |
1 · 1 |
|
|
|
√2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5−1 |
|
√√
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5−1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Нетрудно доказать: |
√ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
4 |
|
|
|
и |
√ |
|
|
−1 |
= |
|
4 |
|
. Тогда |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
5+1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
√ |
|
|
( |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|||||||||
|
5 − 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
( ) = |
5 |
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
5 + 1 |
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5 |
|
2 |
|
|
1 + |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 − |
√ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
52−1 |
|
5+1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Мы знаем, что при | |< 1 имеют место равенства: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
= 1 + + 2 + 3 + . . . и |
1 |
|
|
|
|
= 1 − + 2 − 3 + . . . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 − |
1 + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
− |
|
√5 − 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 − 1 |
|
∑ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Следовательно, ( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
|
|
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
+√ |
|
2+ 1 · |
∞ (√ |
|
2+ 1 ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0
§ 3.9. Многочлены в других задачах |
187 |
= |
55 |
|
|
|
(−1) |
(√52− 1) |
|
+ |
(√52+ 1) |
|
|
= |
|||||||||||||||||
|
√ |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|||
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
√ |
|
|
∞ |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
∞ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5 |
∑ |
(−1) ( 5 − 1) + 1) + ( 5 + 1) |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
5 |
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приравняв коэффициенты степенных рядов в последнем
равенстве, получим формулу -го члена ряда Фибоначчи.
Ответ:
|
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
+1 |
√ |
|
|
+1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= |
|
5 |
· |
|
(−1) ( 5 − 1) |
|
+ ( 5 + 1) |
|
, |
||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 +1 |
|
|
где = 0, 1, 2, . . . .
Сомневающиеся могут проверить результат численно.
Задачи к параграфу на с. 205, п. 43–46. |
|