- •Предисловие
- •Математическая символика
- •Введение
- •Глава 1. Линейные уравнения
- •§ 1.1. Уравнения с одной неизвестной
- •§ 1.2. Уравнения с двумя неизвестными
- •§ 1.3. Системы двух уравнений
- •§ 1.4. Системы трех и более уравнений
- •§ 1.5. Неравенства
- •Глава 2. Уравнения второго порядка
- •§ 2.1. Основные алгебраические тождества
- •§ 2.2. Квадратный трехчлен
- •§ 2.3. Уравнения с двумя неизвестными
- •§ 2.4. Симметричные формы
- •§ 2.5. Однородные многочлены
- •§ 2.6. Уравнения с тремя неизвестными
- •Глава 3. Уравнения старшего порядка
- •§ 3.1. Операции над многочленами
- •§ 3.2. Разложение многочленов на множители
- •§ 3.3. Неравенства
- •§ 3.4. Комплексные корни многочлена
- •§ 3.5. Формула Кардано
- •§ 3.6. Формула Феррари
- •§ 3.7. Границы корней многочлена
- •§ 3.9. Многочлены в других задачах
- •Задачи
- •Ответы
- •Древнегреческий алфавит
- •Биографические справки
- •Список литературы
§ 3.3. Неравенства |
125 |
Ответ:
(10 −5)2(10 −4)(10 −6)−72 = (100 2−100 +33)(10 −8)(10 −2).
Иногда перед поиском корней многочлена полезно оценить |
|
их границы (с. 164). |
|
Задачи к параграфу на с. 197, п. 19–26. |
|
§ 3.3. Неравенства
107 132 Рассмотрим многочлен третьей степени с одной неизвестной, графиком которого является кубическая парабола (рис. 21). В общем виде уравнение кубической параболы выглядит так:
3( ) = 3 + 2 + + .
Кубический многочлен имеет один или три вещественных корня, при этом допускаются кратные корни, т. е. совпадающие. Совпадать могут два корня, либо все три, в последнем случае многочлен представляется в виде ( − )3. Функция = 3( ) может иметь один локальный максимум и один локальный минимум, которые находятся из условия равенства нулю производной 3′( ) = 3 2 + 2 + .
126 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
Рис. 21. Кубическая парабола
Если старший коэффициент > 0,
lim ( ) = −∞ и lim ( ) = +∞.
§ 3.3. Неравенства |
|
|
|
|
|
127 |
||
Если < 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
( |
) = +∞ и |
+ |
|
( |
) = −∞ |
. |
→−∞ |
|
|
|
→ ∞ |
|
|
|
|
На рис. 21а изображен график кубической параболы
3( ) = 3 − 2 − − 1. Уравнение 3( ) = 0 имеет един-
ственное решение, соответствующее точке пересечения гра-
фика с осью . Формула Кардано (с. 149) дает значение
√
3 = 98+15 33 . Теперь начнем увеличивать свободный член
9
до тех пор, пока график не коснется оси в точке локального максимума (см. рис. 21б). Это произойдет, когда свободный член достигнет значения = −275 и уравнение примет вид 3 − 2 − − 275 = 0. Теперь многочлен имеет кратный корень 1,2 = −13 , соответствующий точке касания
графика с осью |
и 3 |
= −31 . Положим, = 2711 , много- |
||
член примет вид 3 |
− 2 |
− + 2711 (см. рис. 21в). Формула |
||
|
|
√ |
|
|
Кардано даст значения трех корней: 1 = 1−23 |
3 , 2 = 31 и |
√
3 = 1+23 3 . Поднимем график еще выше, так, чтобы он касался оси в точке локального минимума (см. рис. 21г). Свободный член = 1, и 3( ) = 3 − 2 − + 1. Многочлен легко раскладывается на множители ( − 1)2( + 1) и
имеет три корня: 1 = −1 и кратный корень 2,3 = 1. Еще раз поднимем кубическую параболу вверх, увеличив на 1
(см. рис. 21д). Многочлен примет вид 3( ) = 3 − 2 − + 2
и теперь имеет один вещественный корень, который можно
128 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
получить по формуле Кардано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
√ |
3 |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(172 + 12 |
177) − 2(172 |
+ 12 |
|
177) |
|
t − |
|
|||||||
1 = |
|
|
1 |
|
|
|
|
1, 2. |
||||||
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
(172 + 12 177) |
|
|
|
|
|
|
|
Уже само аналитическое представление корня объясняет, почему мы не спешим предъявить соответствующую формулу. На рис. 21е также изображена кубическая парабола
3( ) = 3, имеющая корень третьей кратности = 0. Как видно на графиках (см. рис. 21а–21д), если корень имеет единичную кратность, многочлен в соответствующей точке пересекает ось и меняет знак на противоположный. Корни единичной кратности называют простыми. Если встречается корень второй кратности, в этой точке график только касается оси , но многочлен не меняет знак. Многочлен на рис. 21е в точке = 0 имеет корень третьей кратности и в этой точке меняет знак на противоположный. Под каждым графиком помещена схема промежутков знакопостоянства, на основании которой можно сразу записывать ответы к соответствующим неравенствам.
200 Пример 1. Решить неравенство 3( ) > 0 (см. рис. 21а).
Ответ: ( 3; +∞).
200 Пример 2. Решить неравенство 3( ) < 0 (см. рис. 21б).
Ответ: (−∞; 1) ( 1; 3).
200 Пример 3. Решить неравенство 3( ) ≥ 0 (см. рис. 21в).
Ответ: [ 1; 2] [ 3; +∞).
§ 3.3. Неравенства |
129 |
Пример 4. Решить неравенство 3( ) ≤ 0 (см. рис. 21г). 200
Ответ: (−∞; 1] { 2}.
Теперь немного теории. До сих пор мы не определили понятие кратности корня. По теореме на с. 110, если число является корнем многочлена ( ), многочлен делится на
( − ) без остатка. Иначе говоря, ( ) = ( − ) −1( ). Если имеет место равенство
( ) = ( − ) − ( ),
но ( ) не делится без остатка на ( − ) +1, то является k-кратным корнем многочлена. Линейный член ( − )
сохраняет знак при переходе через точку , если – четное число (см. рис. 21б и 21г), и меняет знак на противоположный в противном случае (см. рис. 21е). Одновременно при этом меняется и знак всего многочлена. Примем без доказательства тот факт, что любой многочлен с вещественными коэффициентами раскладывается в произведение линейных членов, соответствующих вещественным корням, и квадратных трехчленов c отрицательным дискриминантом. Теперь можно сформулировать алгоритм решения неравенств с многочленом в левой части:
1) разложить многочлен на степени линейных множителей, соответствующие их кратности, и квадратные трехчлены с отрицательным дискриминантом;
130 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
2)отметить на оси корни, которые войдут в решение и которые следует исключить из множества решений;
3)отметить дугами промежутки знакопостоянства (рис. 22);
4)определить подстановкой знак на любом из промежутков знакопостоянства и расставить знаки для остальных по принципу чередования.
200 Пример 5. Решить неравенство
( + 2) 2( − 1)3( − 2)2 > 0.
Решение. Многочлен в левой части неравенства обращается в ноль в точках −2, 0, 1, 2. Отметим их на схеме (рис. 22) крестиками, как не входящие в множество решений. Знак меняется только в точках, соответствующих корням нечетной кратности: (−2) и 1. Отметим промежутки знакопостоянства дугами и определим знак на одном из промежутков. Для этого подставим в многочлен, например, значение
3 из крайнего справа промежутка. Многочлен примет положительное значение. Теперь расставим по принципу чередования знаки в остальных промежутках, как показано на рис. 22.
Ответ: (−∞; −2) (1; 2) (2; +∞).
200 Пример 6. Решить неравенство
( + 3)( + 2)( − 3)(2 − )( − 1) ≥ 0.
§ 3.3. Неравенства |
131 |
Рис. 22. Промежутки знакопостоянства из примера 5
Решение. Многочлен в левой части неравенства обращается в ноль в точках −3, −2, 1, 2, 3. Отметим их на схеме (рис. 23) жирными точками, поскольку они войдут в решение. Все корни простые, т. е. единичной кратности, а значит, делят вещественную ось на шесть промежутков знакопостоянства. Подставив в многочлен = 0, найдем знак на интервале (−2; 1). На этом интервале будет знак «−». Опять по принципу чередования расставим знаки в остальных интервалах, как показано на рис. 23.
Ответ: (−∞; −3] [−2; 1] [2; 3].
Рис. 23. Промежутки знакопостоянства из примера 6
Пример 7. Решить неравенство |
200 |
( 2 + + 1)( − 1)2( − 3)(2 − )( − 4)3 ≤ 0.
Решение. Многочлен в левой части неравенства обращается в ноль в точках 1, 3, 4. Мы отметим их, как решения, жир-