Учебники / Сборник задач по дисциплине Физические основы микроэлектроники

КАФЕДРА ФИЗИКИ

СБОРНИК ЗАДАЧ

по дисциплине

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МИКРОЭЛЕКТРОНИКИ

Для студентов специальности 21.02.02

2

УДК 621.382. 8(076.5)

Составители: А.Г. Захаров, Ю.Б. Какурин, Н.А. Филипенко

Сборник задач по дисциплине «Физические основы микроэлектроники». – Таганрог: Изд - во ТРТУ, 2005. – 91 с.

В сборнике приводятся вопросы теории, примеры решения и условия задач для работы в аудитории, а также самостоятельной работы по дисциплине «Физические основы микроэлектроники», изучаемой в V семестре. Сборник предназначен для студентов 3-го курса очной формы обучения по специальности 21.02. 02.

Табл.2. Ил.20. Библиогр.: 8 назв.

Рецензент: профессор кафедры физики ТРТУ канд. физ.-мат. наук, доцент А.Б. Колпачев.

91

Захаров Анатолий Григорьевич Какурин Юрий Борисович Филипенко Наталья Андреевна

СБОРНИК ЗАДАЧ

по дисциплине

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МИКРОЭЛЕКТРОНИКИ

Для студентов специальности 21.02.02

Ответственный за выпуск Захаров А.Г. Редактор Маныч Э.И.

Корректор Чиканенко Л.В.

ЛР №020565 от.23.06.1997г. Подписано к печати Формат 60x841/16. Бумага офсетная. Офсетная печать.

Усл. п. л.–5,8 Уч–изд. л.–5,7

Заказ № . Тираж 150 экз. «С»

_____________________________________________________________

Издательство Таганрогского государственного радиотехнического университета

ГСП 17А, Таганрог, 28, Некрасовский, 44 Типография Таганрогского государственного радиотехнического

университета ГСП 17А, Таганрог,28, Энгельса, 1

4

ЗАНЯТИЕ 1. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ

1.Уравнение Шредингера. Электрон в потенциальной яме.

2.Прохождения микрочастицы через потенциальный барьер.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Общее уравнение Шредингера:

ih ∂Ψ = − h2 ∆Ψ +UΨ,

∂t 2m

где Ψ (x,y,z,t) – волновая функция частицы; m – масса микрочастицы;

энергия поля, в котором движется микрочастица.

2. Стационарное уравнение Шредингера:

∆ψ + 2hm2 (E −U )ψ = 0 ,

где ψ(x,y,z) – амплитуда волновой функции Ψ (x,y,z,t); E – полная энергия микрочастицы; U – ее потенциальная энергия.

Стандартные условия, которым должны удовлетворять физически допустимые решения уравнения Шредингера: конечность, непрерывность и однозначность ψ-функции, непрерывность ее производной по координатам.

3.Условие нормировки для функции ψ:

∫ψ 2dx =1.

V

Приложение 1. Соотношения между некоторыми физическими единицами. Множители для образования дольных и кратных единиц…………………………………………………………………. 84

Приложение 2. Некоторые физические постоянные……………….. 85

Приложение 3. Основные параметры и свойства полупроводников и диэлектриков, применяемых в твердотельной электронике……….. 86

Приложение 4. Графики зависимостей удельного сопротивления от концентрации примесей для Ge, Si и GaAs при 300 К…………...… 88

6

k1 = 2hπ 2m( E −U ) ;

k = 2hπ 2mE .

С учетом введенных обозначений общие решения уравнений (1.1) и (1.2) будут иметь вид:

В (1.3) k1 = ik2. Найдем значения коэффициентов А, В, С и D. Из условия задачи U → ∞ следует, что k2 → ∞. Для того чтобы ψI оставалась при этом конечной, необходимо, чтобы В = 0. С другой стороны, чтобы ψI была конечной и при x → – ∞, необходимо, чтобы и А = 0. Таким образом,

в областях I и III ψI(x)=ψIII(x)=0.

Для определения C и D, воспользовавшись условием непрерывности волновой функции

ψI(0)=ψII(0)=0,

получаем C+D = 0 или С = – D. Подставив полученное соотношение в

(1.4), найдем

где C1 = 2iC.

Из условия непрерывности для правой стенки потенциальной ямы

ψII(l) = ψIII(l) = 0,

получим

С1sin kl = 0.

При С 1 ≠ 0 это возможно, когда

87

Продолжение таблицы

А=120А cм-2К-2 – постоянная Ричардсона для свободных электронов

86

Приложение 3

ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ И ДИЭЛЕКТРИКОВ,

ПРИМЕНЯЕМЫХ В ТВЕРДОТЕЛЬНОЙ ЭЛЕКТРОНИКЕ

7

kl = nπ; n = 1,2,…

Тогда kn может иметь следующие значения:

kn = n πl , n = 1,2,…

Подставляя kn в (1.5), получим следующее выражение для волновой функции ψII, которую обозначим через ψn:

ψn = Cn sin( n πlx ) .

Постоянная Cn находится из условия нормировки этой функции

Cn = 2l .

Таким образом, волновая функция микрочастицы в потенциальной яме имеет вид

ψn = 2l sin( n πlx ),

аэнергия состояния, описываемого данной волновой функцией, определяется выражением

En = h2 n2 . 8ml2

Пример 2. Одномерный потенциальный барьер имеет форму, представленную на рис. 1.2. Определите коэффициент прозрачности этого барьера для микрочастиц массой m и с энергией E (U1<E<U0), движущихся к нему слева.

8

Решение

Одномерное амплитудное уравнение Шредингера записывается в виде

Рис.1.2

Если частица расположена слева от барьера, то U = 0 и уравнение (1.6) принимает вид

Наконец, для микрочастиц, находящихся справа от выступа потенциального барьера, U = U1 < E. Здесь, поскольку мы рассматриваем волну, распространяющуюся в положительном направлении оси x, решение уравнения (1.6) будет следующим:

85

Приложение 2

НЕКОТОРЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ

84

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НЕКОТОРЫМИ ФИЗИЧЕСКИМИ ЕДИНИЦАМИ. МНОЖИТЕЛИ ДЛЯ ОБРАЗОВАНИЯ ДОЛЬНЫХ И КРАТНЫХ ЕДИНИЦ

1 ампер (А) =1 Кл/с 1 ангстрем = 10-10 м = 10-4 мкм

1 атмосфера (ат) = 760 мм рт. ст. = 101 325 Па

1 кулон (Кл) =1 А с 1 электрон-вольт (эВ) = 1,60 10-19 Дж 1 фарад (Ф) = 1 Кл/В

1 калория (кал) = 4,1868 Дж

1 генри (Гн) = 1 В с/А 1 джоуль (Дж) =107 эрг = 1 Вт с = 6,25 1018 эВ =1 Н м = 1 Кл В

1 микрометр (мкм) = 10-6 м 1 ньютон (Н) = 1 кг м/с2 1 сименс (См) = 1 Ом-1 1 тесла (Тл) = 1 Вб/м2 1 вольт (В) = 1 Вт/А 1 ватт (Вт) = 1 Дж/с

1 вебер (Вб) = 1 В с гига (Г) = × 109

мега (М)= × 106 кило (к) = × 103

микро (мк) = × 10-6 нано (н) = × 10-9 пико (п) = × 10-12

где

k3 = 2m(E −U1 ) . h

Запишем теперь условия, которым должны удовлетворять функции

ψL, ψM и ψR:

откуда получаем следующее выражение для коэффициента прозрачности барьера:

10

Пример 3. Потенциальная энергия имеет вид U(x) = Ũ(x) + αδ(x-x0), где Ũ(x) – ограниченная функция. Каковы свойства волновой функции микрочастицы ψ(x) и ее производной в окрестности точки x0 ?

Решение

Запишем уравнение Шредингера для данного случая:

Из уравнения (1.18) вытекает непрерывность функции ψ(x) в точке x0 и разрывный характер производной функции в этой точке. Величина

уравнения (1.18). Проинтегрировав (1.18) по области x0 − ε < x < x0 + ε,

ε> 0 и устремляя ε → 0, находим

∆ddxψ (x0) ≡ ddxψ (x0+0)– ddxψ (x0 − 0) = (2mα/ħ2)ψ(x0);

Пример 4. Определить коэффициенты прохождения и отражения микрочастиц в случае δ-функционального потенциала U(x) = αδ(x) (рис.1.3). Рассмотреть предельные случаи E → ∞ и E → 0.

Решение

Считаем для определенности, что микрочастицы движутся в положительном направлении оси x. Решения уравнения Шредингера, описывающего отражение таких частиц, при x < 0 и x > 0 имеют вид

83

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Захаров А.Г. Физические основы микроэлектроники: Учеб. пособие. – Таганрог: Изд–во ТРТУ, 1999. − 221 с.

2.Зи С. Физика полупроводниковых приборов: В 2–х кн. /Пер. с англ. 2-е изд., перераб. и доп. − М.: Мир, 1984. Кн.1, 456 с. Кн.2, 456 с.

3.Терехов В.А. Задачник по электронным приборам: Учеб. пособие для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Энергатомиздат, 1983. –

4.Росадо Л. Физическая электроника и микроэлектроника /Пер. с испан. С.И. Баскакова; Под ред. В.А. Терехова. – М.: Высш шк., 1991. – 351 с.

5.Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1981. – 648 с.

6.Иродов И.Е. Сборник задач по атомной и ядерной физике. – М.: Госатомиздат, 1963. – 346 с.

7.Мин Чен. Задачи по физике с решениями /Пер. с английского. Ю. А. Янайта; Под ред. В.И. Григорьева. – М.: Мир, 1978.

8.Маллер Р., Кейминс Т. Элементы интегральных схем /Пер. с англ.

− М.: Мир, 1989. − 630 с.